三角恒等变换1

龙文个性化辅导讲义（2010 ~ 2011 学年第 1 学期）

任教科目：数学

授课题目：三角恒等变换

年级：高一

任课教师：谭老师

龙文师资培训部编制

主管签名：__________ 教务长签名：__________

日期：__________ 日期：__________

龙文个性化辅导教案

授课教师谭婷汀授课对象

授课时间授课题目三角恒等变换课型复习使用教具讲义、白纸、水笔

教学目标1、了解两角差。两角和的正弦、余弦、正切公式，掌握其公式并能利用它解

决某些问题

2、能从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，

并能进行简单的恒等变换

3、认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断

提高从整体上把握过程的能力

4、通过三角恒等变换，加强三角恒等变换与三角函数之间性质的内在联系，

使对三角函数性质的研究得到延伸，体现了数学知识的内在美

教学重点和难点1、三角函数的化简、求值及三角恒等式的证明是三角变换的基本问题

2、三角函数的最值问题是三角函数性质和三角恒等变换的综合应用，是数形

结合的较好体现，是一个考点

3、在高考命题中，单摆、弹簧振子、圆上一点的运动等周期现象是新的命题

背景。

参考教材教材，教材全解，高考复习资料

教学内容

一、知识结构框架：

差角余弦公式

和

（

差

）

角

公

式

倍

角

公

式简单三角恒等变换

二、知识要点回顾：

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

--=

+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）；

⑹()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

++=

- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．

2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴sin 22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-

⇒升幂公式2

sin 2cos 1,2cos 2cos 12

2

α

αα

α=-=+

⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=

，21cos 2sin 2α

α-=． ⑶2

2tan tan 21tan α

αα

=

-．

3、

⇒

（后两个不用判断符号，更加好用）

4、合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的

B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。()22sin cos sin αααϕA +B =A +B +，其中tan ϕB

=A

．

5、三角变换是运算化简的过程中运用较多的变换，提高三角变换能力，要学会创设条件，灵活运用三角公式，掌握运算，化简的方法和技能．常用的数学思想方法技巧如下：

（1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的相异角，可根

据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如：

αα

αααααα

ααα半角公式sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12t an 2cos 12sin ;2cos 12cos :-=

+=+-±=-±

=+±=2tan 12tan 1 cos ;2tan 12tan 2

sin :

222αααααα万能公式+-=+=

①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是

2

α

的二倍；

2

α

是

4

α

的二倍；

②2

304560304515o o

o

o

o

o

=-=-=；问：=12sin π ；=12cos

π

； ③ββαα-+=)(； ④

)4

(

2

4

απ

π

απ

--=

+；

⑤)4

(

)4(

)()(2απ

απ

βαβαα--+=-++=；等

（2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如在三角函数中

正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。

（3）常数代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，

例如常数“1”的代换变形有： o o 45tan 90sin cot tan cos sin 122===+=αααα （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式，一般采用降

幂处理的方法。常用降幂公式有： ； 。降幂

并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式，常用升幂公式有： ； ；

（5）公式变形：三角公式是变换的依据，应掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用。

如：

_______________tan 1tan 1=-+αα； ______________tan 1tan 1=+-α

α

； ____________tan tan =+βα；___________tan tan 1=-βα； ____________tan tan =-βα；___________tan tan 1=+βα；

=αtan 2 ；=-α2tan 1 ；

=++o o o o 40tan 20tan 340tan 20tan ；

=+ααcos sin = ； =+ααcos sin b a = ；

（其中=ϕtan ；）

=+αcos 1 ；=-αcos 1 ；

（6）三角函数式的化简运算通常从：“角、名、形、幂”四方面入手；

基本规则是：见切化弦，异角化同角，复角化单角，异名化同名，高次化低次，

无理化有理，特殊值与特殊角的三角函数互化。

如：=+)10tan 31(50sin o o ；