化二次型为标准形的方法

化二次型为标准形的方法

内容摘要:高等代数作为我们数学专业的一门重要的基础课。它以线性空间为背景，以线

性变换为方法，以矩阵为工具，着重研究线性代数的问题。二次型式多元二次函数，其内容本属于函数的讨论范围，然而二次型用矩阵表示之后，用矩阵方法讨论函数问题，使得二次型的问题变得更加简洁明确，二次函数的内容也更加丰富多彩。而我们要讨论的是如何化二次型为标准形，也就是用矩阵方法把对称矩阵合同与对角矩阵。二次型是高等代数的重要内容之一，二次型的基本问题是要寻找一个线性替换把它变成平方项，即二次型的标准形。下面介绍了一些化二次型为标准形的方法：配方法，交变换法，初等变换法，雅可比方法，偏导数法

关键词：二次型 线性替换 矩阵 标准形

导言：二次型的理论来源于解析几何中二次曲线、二次曲面的化简问题。二次型是学中的

一个极其重要的问题，这个问题不仅在数学上，而且在物理学，工程学，经济学领域都有广泛的应用。在研究时为了研究的方便，我们经常要化二次型为标准形。我们知道，任一二次型和某一对称矩阵是相互唯一确定的，而任一实对称矩阵都可以化为一对角矩阵，相应的以实二次型都可以化为标准形，以下就是化二次型为标准形的几种方法，通过典型例题，体会二次型问题时的多样性和灵活性。

化二次型为标准形的方法

一． 配方法

配方法是解决这类问题时另一个常用方法，通过观察对各项进行配方，其实质就是运用非退化的线性替换。使用配方法化二次型为标准形时，最重要的是要消去像()i j x x i j ≠这样的交叉项，其方法是利用两数的平方和公式和两数的平方差公式逐步的消去非平方项并构造新的平方项。

定理:数域P 上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和

222

1122...n n d x d x d x +++的形。

1.如果二次型含有i x 的平方项，那么先把含有i x 的乘积项集中，然后再配方，再对其

余的项同样进行，直到都配成平方项为止，写出前面过程所经过的所有非退化的线性替换，就将二次型化为标准形了。

例 1.上述所给出的方法化二次型23(,,)f x x x =22

1122

23224x x x x x x +++为标准形，写出所用的变换矩阵。

解：原二次型中含有i x 的平方项，先将含有1x 的项集中，利用平方和公式消去12x x ， 然后对2x 配平方，消去23x x 项。此过程为

23(,,)f x x x =221122(2)x x x x +++222233(44)x x x x ++-2

34x

()()22

2

1223324x x x x x =+++-

于是作非退化的线性替换：

⇒1123

2233322x y y y x y y x y =-+⎧⎪

=-⎨⎪=⎩

即

123x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=112012001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

于是就得到

23(,,)f x x x =2221234y y y +-

所用的变换矩阵为

C =112012001-⎛⎫

⎪- ⎪ ⎪⎝⎭

且有

'C AC =100110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭110122020⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭112012001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭=100010004⎛⎫

⎪

⎪ ⎪-⎝⎭

2.如果所给二次型中不含有i x 平方项，但是0ij a ≠()i j ≠,我们就可以用前面所提到的方法构造出平方项，可以先做出可逆的线性变换

........i i j

j i j

k k

x y y x y y x y =-⎧⎪=+⎪⎨

⎪⎪=⎩,(1,2,,k n =且,)k i j ≠

代入到原二次型中，这时二次型中就含有平方项了，然后再按照上述1中的方法进行配方。

例2. 将二次型23(,,)f x x x =121323422x x x x x x -++化为标准形，并写出所用的变换矩阵。 解：由于所给的二次型中无i x 平方项，就需要构造出平方项，令

1122123

3x y y x y y x y

=+⎧⎪

=-⎨⎪=⎩ 即

123x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=110110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭123y y y ⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

代入到原二次型中有

23(,,)f x x x =12121231234()()2()2()y y y y y y y y y y -+-+++-

22

12

13444y y y y =-++ 此时就可以按照情形1中的步骤进行，将含有1y 的项集中，消去13y y 项，再分别对 2,3y y 配平方即可。 所以有

23(,,)f x x x =22

1213444y y y y -++

2222

113332444y y y y y y =-++-+

()2

22

1332

24y y y y =--++ 作非退化线性替换

113

22332z y y z y z y =-⎧⎪

=⎨⎪=⎩⇒11222331122y z z y z y z ⎧

=+⎪⎪=⎨⎪=⎪

⎩

即

123y y y ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

=11022010001⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

123z z z ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

于是能够得到

23(,,)f x x x =222

1234z z z -++

所用的变换矩阵为

C =110110001⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭1

10

2201

0001⎛⎫ ⎪

⎪ ⎪ ⎪

⎪⎝

⎭=111

2211122001⎛⎫

⎪ ⎪

⎪- ⎪ ⎪ ⎪

⎪⎝⎭

且有

'C AC =11022

1

1011

122⎛⎫ ⎪

⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭021201110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭1

11

22111

2

2001⎛⎫

⎪ ⎪

⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=100040001-⎛⎫ ⎪ ⎪

⎪⎝⎭ 二.正交变换法

由于实对称矩阵必定与对角矩阵合同，因此任何实二次型必定可以通过一个适当的正交线性变换将此实二次型化简成为不含混合项的形式。

定理:任意一个实二次型11

n n

ij i j i j a x x ==∑∑，ij ji a a =都可以经过正交的线性替换变成平方和

222

1122...n n y y y λλλ+++其中平方上的系数12,...n λλλ就是矩阵A 的特征多项式的全部的根。

方法步骤：①将实二次型表示成矩阵形式T AX f X =并写出矩阵A 。

②求出矩阵A 的所有特征值12,...n λλλ，可能会出现多重特征值，分别记它们的重数为

2

1,,n k k k （21n k k k +++=n ）