《中心对称》典型例题(北师大版 八年级数学下册)
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《中心对称》典型例题
例1 如图,图中有ABC ∆及ABC ∆外一点O ,画出一个三角形C B A '''使C B A '''∆与ABC ∆关于O 点成中心对称.
例2 观察下面的图形哪些是中心对称图形,哪些不是中心对称图形?
例3 (济南市)如图,田村有一口呈四边形的池塘,在它的四个角A 、B 、
C 、
D 处均种有一颗大核桃树. 田村准备开挖池塘建养鱼池,想使池塘面积扩大一倍,又想保持核桃树不动,并要求扩建后的池塘成平行四边形形状,请问田村能否实现这一设想?若能,请你设计并画出图形;若不能,请说明理由(画图要保留痕迹,不写画法)
例4 下列几组几何图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形,完全正确的一组是( ).
A .正方形、菱形、矩形、平行四边形
B .正三角形、正方形、菱形、矩形
C .正方形、矩形、菱形
D .平行四边形、正方形、等腰三角形
例5 如图,已知:四边形ABCD 关于O 点成中心对称图形.
求证:四边形ABCD 是平行四边形.
例6 如图,已知:矩形ABCD 和D C B A '''关于点A 对称.
求证:四边形D B BD ''是菱形.
例7 (南昌市)按要求画一个图形:所画图形中同时要有正方形和圆,并且这个图形既是中心对称图形又是轴对称图形.
参考答案
例1 分析 根据中心对称的意义,点A '在AO 的延长线上,并且AO O A =',点B '在BO 的延长线上,并且BO O B =',点C '在CO 的延长线上,并且.CO O C ='
作图 (1)连结AO 并延长AO 到A ',使AO O A ='.
(2)分别连结BO 、CO ,延长BO 到B ',延长CO 到C ',使.,CO O C BO O B ='='
(3)依次连结A C C B B A '''''',,,则C B A '''∆与ABC ∆关于O 点成中心对称. 说明:此时下图是一幅以O 为对称中心的中心对称图形.
例2 分析 图形(1)、(4)是中心对称图形,这两个图形绕着中心旋转180°后与原来的图形重合,图形(2)、(3)不是中心对称图形,图形(2)的形状虽然能重合,但其中的黑框位置变了,图形(3)旋转后图形与原来的图形不重合.
例 3 分析:这是一道考查学生动手作图的能力设计题. 题中要求扩建后的池塘:面积扩大一倍,形状成平行四边形,且核桃树不动.
这样的图形设计方案,只能连结AC 与BD 交于O 点,将原池塘分割成四块,分别以AB 、BC 、CD 、DA 为对角线,向外作AOBE 、BOCF 、CODG 、DOAH.
连结EF 、FG 、GH 、HE ,就可得到EFGH .
如图,依据中心对称图形的性质,其设计合乎题设要求.
例4 分析 A 中平行四边形不是轴对称图形,B 中正三角形不是中心对称图形,D 中平行四
边形不是轴对称图形.正选C .
解答 本题主要考查轴对称和中心对称图形的判定,易错点是弄错图形的对称性,解题关键是要熟悉所学过的图形的对称性.
例5 分析:因为四边形ABCD 是中心对称图形,所以A 点与C 点,B 点与D 点是对称点. 所以线段AC 过O 点,线段BD 也过O 点,且两条线段都被O 点平分,故四边形ABCD 是平行四边形.
证明:连结AC 、BD .
∵ 四边形ABCD 关于O 点成中心对称图形,
∴ O 点在AC 上,也在BD 上,并且OD OB OC OA ==,
∴ 四边形ABCD 是平行四边形.
说明:要应用轴对称或中心对称解决问题,应该判断清楚图形的对称的特点,找到对称点.
例6 分析:根据题意知点B 与B '关于点A 对称,点D 和点D '关于点A 对称,又四边形ABCD 和D C B A '''是矩形,由中心对称的性质及矩形的性质即可证明.
证明:∵矩形ABCD 和D C B A '''关于点A 成中心对称图形.
∴ D A AD '=,B A AB '=(关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分).
∴ 四边形D B BD ''是平行四边形.
又∵四边形ABCD 是矩形,∴︒=∠90DAB
∴四边形D B BD ''是菱形.
例7 分析 这是一道具有开放特色的考题,题中给定的两个图形都既是轴对称图形,也是中心对称图形,故按要求画出的图形只要让两个图形的对称中心重合即可.
解答 具体作法是:先作出正方形,连结对角线找出对角线交点,再以对角线交点为圆心,以任意长为半径画图,所得图形都满足题设要求.举例如下:
说明 本题考查轴对称图形和中心对称图形的应用,解题关键是要探索出两个图形的对称中心重合.