圆内接四边形的性质

11.2.5 圆内接四边形的性质

1、（1）圆的内接四边形对角互补。

如图：四边形ABCD内接于⊙o ，则有：∠A＋∠B=1800.∠B＋∠C=1800.

(2)圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。

如图：∠CBE是圆内接四边形ABCDD的一外角，则有：∠CBE=∠D.

2、圆内接四边形的判定。

（1）判定定理：如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。（2）推论；如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。

〖例1〗如图所示，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相交于E，EG平分∠BEC，且与BC、AD分别相交于FG.

求证：∠CFG=∠DGF.

分析：已知四边形ABCD内接于圆，自然想到圆内接四边形的性质定理，即∠BCE=∠BAD,又EG平分∠BEC,故△CFE∽△AGE.

[证明]因为四边形ABCD是圆内接四边形。

所以∠ECF=∠EAG.

又因为EG平分∠BEC,

即∠CEF=∠AEG,所以△EFC∽△EGA.

所以∠EFC=∠EGA.

而∠DGF=1800-∠EGA,∠CFG=1800-∠EFC,

所以∠CFG=∠DGF.

3、切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

几何语言：∵PT切⊙0于T,PBA是⊙0的割线.

∴PT2=PA·PB(切割线定理)

4、割线定理:从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。

几何语言：∵PT是⊙0的切线，PBA、PDC是⊙0的割线.

∴PO·PC=PA·PB (割线定理)

由上可知：PT2=PA·PB=PC·PD.

5、相交弦定理

圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。（经过圆内一点引两条弦，各弦被这点所分成的两段的积相等）

证明：连结AB，CD由圆周角定理的推论，得∠A=∠C，∠B=∠D。（圆周角推论2: 同(等)弧所对圆周角相等）

∴△PAB∽△PCD

∴PA∶PC=PB∶PD，PA·PD=PB·PC

6、弦切角定理

弦切角定理:

弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角度数的一半。

等于它所夹的弧的圆周角度数。

如上图，已知:直线PT切圆O于点C，BC、AC为圆O的弦。求证:∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

证明:设圆心为O，连接OC，OB,。

∵PC²=PB·AP

∴PC/AP=PB/PC

又∵∠CPB=∠BPC

∴△CAP∽△BCP

∴∠CAP=∠BCP

∴∠TCB=∠BAC

∴∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC

综上所述:∠TCB=1/2∠BOC=∠BAC