第九章-弯曲变形 静不定梁(材料力学课件)

P
CL9TU2
二,弯曲变形的基本概念
1.挠曲线 挠曲线
挠曲线
CL9TU3
2.挠度和转角 挠度和转角
y
θ
规定: 规定:向上的挠度为正 逆时针的转角为正
θ
v
x
x
挠曲线方程: 挠曲线方程: v = f (x)
df θ 转角方程: 转角方程: ≈ tan θ = f ′(x) = dx
CL9TU3
§9-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
梁的转角方程和挠曲线方程分别为: 梁的转角方程和挠曲线方程分别为:
Px θ= ( x 2l ) 2 EI
y
P
x
A B
l
2
Px 2 v= ( x 3l) 6 EI
Pl = 2 EI
x
最大转角和最大挠度分别为: 最大转角和最大挠度分别为:
θ max = θ B
v max
Pl 3 = vB = 3EI
P
B
C
x
l 2
由边界条件: 由边界条件: x = 0时,v = 0
l 由对称条件: 由对称条件: x = 时,v ′ = 0 2
得: D = 0
Pl 2 C 得: = 16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为: 段梁的转角方程和挠曲线方程分别为:
P 2 2 θ= (4 x l ) 16 EI A Px v= (4 x 2 3 l 2 ) 48 EI
y
P
B
x
C
x
最大转角和最大挠度分别为: 最大转角和最大挠度分别为:
θ max = θ A = θ B
v max = v
l x= 2
l 2
l 2
Pl 2 = 16 EI
Pl 3 = 48 EI
例:已知梁的抗弯刚度为EI.试求图示简支 已知梁的抗弯刚度为 . 梁的转角方程,挠曲线方程,并确定 梁的转角方程,挠曲线方程,并确定θmax和vmax .
6
梁的转角方程和挠曲线方程分别为: 梁的转角方程和挠曲线方程分别为: qa 2 2 θ1 = (11a 3x1 )
6 EI q 2 3 3 a ≤ x 2 ≤ 2a [ 3ax 2 + ( x 2 a ) + 11a θ2 = 6 EI qa 3 2 v1 = (11a x1 x1 ) 0 ≤ x1 ≤ a 6 EI q v2 = [ 4ax 2 3 + ( x 2 a ) 4 + 44a 3 x 2 ] a ≤ x 2 ≤ 2a 24 EI
q
A
B
qa
x1
x2
C
D
E
x
qa
a a a
a
〃 q 〃 = qax = qaxx a ) 2 ′ = qa x 2 + C EIv1 EIv 2 EIv1 2 ( 1 2 1 1 2 2 qa 3 EIv1 = x1 + C1 x1 + D1 6 ′ = qa x 2 q ( x a ) 3 + C EIv 2 2 2 2 2 6 qa 3 q EIv 2 = x2 ( x 2 a ) 4 + C2 x 2 + D2 6 24
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大, 摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大, 就会影响零件的加工精度,甚至会出现废品. 就会影响零件的加工精度,甚至会出现废品.
CL9TU1
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行 桥式起重机的横梁变形过大 则会使小车行 走困难,出现爬坡现象. 走困难,出现爬坡现象.
y
q
B C D E
x
A
a
a
a
a
CL9TU5
解:由对称性,只考虑半跨梁ACD 由对称性,只考虑半跨梁
M 1 ( x1 ) = qax1 (0 ≤ x1 ≤ a )
q M 2 ( x 2 ) = qax 2 ( x 2 a ) 2 2 〃 = qax EIv1 1
( a ≤ x 2 ≤ 2a )
〃 = qax q ( x a ) 2 EIv 2 2 2 2 y
y
q
x
l
CL9TU5
y ql q 2 解: ( x ) = x x M 2 2 ql q 2 EIv ′′ = x x A 2 2 x ql 2 q 3 EIv ′ = x x + C 4 6 ql 3 q 4 EIv = x x + Cx + D 12 24
q
B
x l
由边界条件: 由边界条件: x = 0时,v = 0
一,梁的挠曲线近似微分方程式 曲线 y = f ( x )的曲率为
K=
y ′′ (1 + y ′ )
2 3/ 2
M = ρ EI z
1
v ′′ =± ≈ ± v ′′ 2 3/2 ρ (1 + v ′ ) 1
M = ± v ′′ EI z 或 EIv ′′ = ± M
y
M >0 Mv ′′ > 0 M
y
P
A B
x
l
CL9TU6
解:M ( x ) = P (l x )
EIv ′′ = P x P l
y
P
x
A B
l
x
P 2 EIv ′ = x Pl x + C 2 P 3 Pl 2 EIv = x x + Cx + D 6 2
由边界条件: 由边界条件:x = 0时,v = 0, v ′ = 0 得: C = D = 0
第九章 弯曲变形 静不定梁
§9-1 概 述 一,工程实践中的弯曲变形问题 在工程实践中,对某些受弯构件,除要求 在工程实践中,对某些受弯构件, 具有足够的强度外,还要求变形不能过大, 具有足够的强度外,还要求变形不能过大,即 要求构件有足够的刚度, 要求构件有足够的刚度,以保证结构或机器正 常工作. 常工作.
θ max = θ A = θ B
v max = v
ql = 24 EI
l x= 2
5ql 4 = 384 EI
例:已知梁的抗弯刚度为EI.试求图示悬 已知梁的抗弯刚度为 . 臂梁在集中力P作用下的转角方程, 臂梁在集中力 作用下的转角方程,挠曲线方 作用下的转角方程 程,并确定θmax和vmax. 并确定
例:已知梁的抗弯刚度为EI.试求图示简 已知梁的抗弯刚度为 . 支梁在集中力P作用下的转角方程, 支梁在集中力 作用下的转角方程,挠曲线方 作用下的转角方程 程,并确定θmax和 vmax. 并确定
y
P
A B
C
x
l 2
l 2
CL9TU7
P AC 解: 段:M ( x ) = x 2 y P EIv ′′ = x 2 A P 2 EIv ′ = x + C x 4 l 2 P 3 EIv = x + Cx + D 12
y
M <0 M v ′′ < 0 M
x
x
EIv ′′ = M
CL9TU4
梁的挠曲线近似微分方程: 梁的挠曲线近似微分方程
EIv ′′ = M ( x ) 或: d v EI 2 = M ( x ) dx
2
二,用积分法求梁的变形
EIv ′′ = M ( x )
EIv ′ =
EIv =
∫
M ( x ) dx + C
0 ≤ x1 ≤ a
最大转角和最大挠度分别为: 最大转角和最大挠度分别为:
θ max
v max 11qa = θ A = θ 1 x1 = 0 = 6 EI 19qa 4 = v 2 x2 = 2 a = 8 EI
3
作 业
1,2,4(a,e)
�
C1 = C2 ′ = v ′, v = v 由连续条件: 由连续条件:x1 = x 2 = a时, v1 2 1 2 得 D1 = D2
由边界条件: 由边界条件:x1 = 0时, v1 = 0 得 D1 = 0
′ = 0 得 C = 11 qa 3 x 由对称条件: 由对称条件: 2 = 2a时, v 2 2
CL9TU2
但在另外一些情况下, 但在另外一些情况下,有时却要求构件具 有较大的弹性变形,以满足特定的工作需要. 有较大的弹性变形,以满足特定的工作需要. 例如,车辆上的板弹簧, 例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的 变形,以缓解车辆受到的冲击和振动作用. 变形,以缓解车辆受到的冲击和振动作用.
P 2 P 2
∫∫
M ( x ) dx dx + Cx + D
式中积分常数C, 由边界条件和连续条件确定 式中积分常数 ,D由边界条件和连续条件确定
例:已知梁的抗弯刚度为EI.试求图示简 已知梁的抗弯刚度为 . 支梁在均布载荷q作用下的转角方程, 支梁在均布载荷 作用下的转角方程,挠曲线 作用下的转角方程 方程,并确定 方程,并确定θmax和vmax.
x = l时,v = 0
ql 3 , D=0 得: C = 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为: 梁的转角方程和挠曲线方程分别为:
y
q 2 3 3 θ= (6lx 4 x l ) 24 EI qx v= (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
A
x
qห้องสมุดไป่ตู้
B
x l
3
最大转角和最大挠度分别为: 最大转角和最大挠度分别为: