同济大学理论力学 导学5静力学应用问题

理论力学导学 第1篇 静力学_
第5章 静力学应用问题
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y FAB
θ
当力F较大时，滑块有向左滑动的趋 势，摩擦力向右。
β
B Fs FN
F=Fmax x
∑F ∑F
x
=0
FAB sin θ − Fmax cos β + Fs = 0
y
= 0 − FAB cos θ − Fmax sin β + FN = 0
由于结构和荷载是 FB 对称的，可直接得 出支座约束力。
3 FAy = FB = F = 75 kN 2
FAx = 0
节点法计算各杆内力 （1）取A节点为研究对象，作受力分析
FAC FAx A FAy FAG
∑ Fy = 0
FAy − FAG sin 45o = 0
Fd
Fd = f d FN
由平衡方程求得 静动摩擦力有范围
库仑定律 动滑动摩擦力为一定值
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(2) 摩擦因数（ 摩擦因数（无量纲常数） 无量纲常数） 摩擦因数的大小与接触物体的表面状况（粗糙度，温度， 湿度等）有关。可由实验确定或在工程手册中查得 。 静滑动摩擦因数恒为正值，且 0 ≤ fs ≤ 1 (3) 摩擦角（ 摩擦角（休止角） 休止角）与自锁条件
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(3) 零杆的判断截面法 桁架在特定的外载情况下，有一些杆件的内力为零，这 些不受力的杆件往往可以不经过计算而直接用分析的方法得 出，从而使计算得以大大地简化。零杆的判断应以节点为考 察对象，平面桁架的零杆表现形式通常有以下两种： ① 当节点只有二个力（不共线）作用时，欲平衡，此 二个力必须均为零。 ② 当节点只有三个力作用而平衡时，若其中有两个力 共线，则不在此线上的第三个力必须为零。
法一：解析法 当力F较小时，滑块有向右滑动的趋 势，摩擦力向左。
=0 =0
FAB sin θ − Fmin cos β − Fs = 0 − FAB cos θ − Fmin sin β + FN = 0 Fs = f s FN
Fs FN
∑F ∑F
x
y
Fmin
M ( sin θ − fs cos θ ) M sin (θ − ϕf ) = = r cos θ ( cos β + f s sin β ) r cos θ cos ( β − ϕf )
r r r 当静滑动摩擦力达到最大值 Fmax 时，全约束力 FR = FN + Fs
亦达到最大值。此时全约束力与正压力的夹角即为摩擦角ϕ f 且有
tan ϕf = f s
摩擦自锁的几何条件是
ϕ < ϕf
即主动力合力的作用线落在摩擦锥（角）以内，不论此合力 多大，物体的平衡不被打破，这种现象称为摩擦自锁。
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3.典型例题
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例1：如图所示桁架结构，已知：F=50 N，l=1 m，试求桁架中 各杆的内力。 解： 取桁架结构为研究 l l l l 对象，作受力分析
A FAx FAy G F H F F K l C D E B
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1.内容提要 1) 平面桁架概念 平面桁架是由链杆连接而成的承载结构。 实际桁架经理想化后得到分析桁架的受力简图，即桁架均 为二力杆经铰接构成。平面静定桁架的杆件数m与铰链数n必须 满足：2n = m +3，但也必须指出：此条件是必要条件，而不是 充分条件。 2) 平面静定桁架的计算方法 (1)节点法 由于桁架受力简图中，各杆均为二力杆，故依此取各 杆件的连接点（节点）研究，它们均为平面汇交力系，即对 每一个节点，可建立二个平衡方程，则n个节点就可列出2n 个独立的平衡方程，以此可求解出2n个未知量，其中杆件未 知量为2n - 3个，另3个为外约束的未知量。
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3) 滑动摩擦 (1) 滑动摩擦力的指向 滑动摩擦力的指向恒与物体间相对的运动的趋势相反。 粗糙的接触面上不一定存在摩擦力，摩擦力随物体 间相对的运动趋势所产生，最终达到极限值。求解静滑动 摩擦问题，关键在于判别物体处于那一种平衡状态。滑动 摩擦力的产生，变化，极限的关系见下表。
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静滑动摩擦 态势 无滑动趋势 有滑动趋势
P
将动未动
F P
动滑动摩擦 滑动
F P Fd
图 例 主动 力F的 大小 摩擦 力大 小 不同 点
F FN
P Fs
FN
FN
Fsmax
FN
F＝0
Fs = 0
力F较小
Fs = F
力F达到一 定值
Fmax = f s FN
∑ Fx = 0
FAx + FAC + FAG cos 45o = 0
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FAG G
FGC FGH F C FCD
（2）取G节点为研究对象，作受力分析
∑F = 0 ∑F = 0
y
FGC + FAG cos 45o − F = 0 FGH + FAG sin 45o = 0
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(2) 截面法 根据问题的要求，用一截面（任意曲面）截出一部分桁 架为研究对象，选取合适的方程，求出所需求的未知量。 一般用截面法求解的问题，不是计算整个桁架各杆件 的内力，而是求桁架中被关注杆件的内力，且一般每一次截 出的截面，未知量尽量不超过3个。当截出的截面中未知量 不可避免地超出三个时，则利用选取适当的投影轴或选取适 当的矩心，先求出部分未知量，进而再取其他截面，求出其 他的未知量。
FGC = −25 kN
x
FGH = 75 kN
（3）取C节点为研究对象，作受力分析
FAC FGC
FCH
∑F = 0 ∑F = 0
y
FGC + FCH cos 45o = 0
FGC = 35.4 kN
x
FCD + FCH sin 45o − FAC = 0 FCD = −100 kN
D -100 0 E -25 B 75
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(4) 动滑动摩擦 动滑动摩擦力略小于静滑动摩擦力，动滑动摩擦因数 也略小于静滑动摩擦因数。 fd < fs Fd = f d FN 4) 有滑动摩擦时的平衡求解 (1) 在静滑动摩擦情况下物体平衡，由于静滑动摩擦力在
0 ≤ Fs ≤ Fmax 中变化，即静滑动摩擦力不一定达到极限，因此
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第5章 静力学应用问题 目录
1. 内容提要… … … … … … … … … … … … …3 2.基本要求… … … … … … … … … … … … …10 3.典型例题… … … … … … … … … … … … …11 4. 补充习题 … … … … … … … … … … … … … …29
要注意到库仑定律适用的状态。 (2) 因为静滑动摩擦力有变化范围，所以相应的主动力或位 置的变动也存在着范围，不是一个定值。 (3) 在物体的重心相对摩擦力作用面较高的状态，存在着 物体倾覆（翻倒）的情况。此时是先滑动还是先倾覆，与 主动推力的大小及作用位置有关。 (4) 在动滑动摩擦情况下，动滑动摩擦力是一定值。
FHD 2 2 =− F 3
∑ Fx = 0
− FHD cos 45o − F1 = 0
F1 = 2 F 3
截面法求桁架内力时，所选取的截面可以是任何形状， 只要把桁架分成两部分即可，取其中一部分作为研究对象。 注意联合截面法和节点法一起求解。
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FAG 1 =− F 2
（压）
B FDK
45o
J F
D
零力杆的判断有助于计算的简便
FD
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例3：如图所示桁架，已知：F，l，试求桁架中1、2、3杆的内力。 解： 1 H
G m C 3 D F 2 m l l
用m-m截面将桁架分成两部分 取上半部分为研究对象，作受 力分析
∑F
x
=0
G
F3 = 0
A l G FGA F3 D F l 1 l
B
∑M
H F2
=0
− F2 ⋅ 3l − F ⋅ 2l = 0
2 F2 = F 3
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F1 FHD
H
45o
取H节点为研究对象，作受力分析
F2
∑F
y
=0
− FHD sin 45o − F2 = 0
例4：在平面曲柄连杆机构中，曲柄OA长r，作用有一力偶M，滑块 B与水平面之间的摩擦因数为fs=tanϕf。OA水平，连杆AB与铅垂线之 间的夹角为θ，力F与水平面成β角。试求机构在图示位置保持平衡 时力F的值。不计机构重量，θ>ϕf。
A
θ
O M
解： 当力F较小时，滑块有向右滑 动的趋势；反之，当力F较大时， 滑块有向左滑动的趋势。因此，在 某个容许范围内保持平衡。
（4）节点D可根据零力杆判断法则，得：FDH=0
A
在实际工程中，为 了清楚起见，常将计算 75 结果用图的形式表示出 来，其中正号表示拉力， 负号表示压力。
-75
C -25
-100
-75
G 50
H 50
K 50
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例2：如图所示桁架，已知：F，l，试求桁架中AB杆的内力。
Fs = f s FN
Fmax
M ( sin θ + fs cos θ ) M sin (θ + ϕf ) = = r cos θ ( cos β − f s sin β ) r cos θ cos ( β + ϕf )
保持机构平衡时力F的值为： 即：
Fmin ≤ F ≤ Fmax
M sin (θ − ϕf ) M sin (θ + ϕf ) ≤F≤ r cos θ cos ( β − ϕf ) r cos θ cos ( β + ϕf )
I n G H
解： 取桁架结构为研究 对象，作受力分析 m
J F
E C FCy FJH
A
45o
B
∑M
C
=0
FCx
l
K m
l n
D FD
FD ⋅ 2l − F ⋅ 2.5l = 0
5 FD = F 4
x
J
FDB FDK FD F D
取m-m截面右侧，作受力分析
o o o F sin 45 − F cos 45 + F cos 45 =0 F = 0 DK D ∑ x
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法二：几何法
θ
F=Fmin
β
FAB ϕf B
ϕf
F=Fmin x
β
FR1
ϕf
Fmin FAB = sin (θ − ϕf ) sin ( 90o − β ) + ϕf
θ
FAB
Fmin
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2. 基本要求 1) 平面桁架 (1) 了解桁架的构成，会运用平衡条件判断零杆，使桁架的求 解得以简化。 (2) 掌握节点法解题的步骤（选取节点时顺序），正确地画出 所取节点的受力图。 (3) 掌握截面法解题的步骤（灵活地选取截面），正确地画出 所取截面的受力图。 2) 滑动摩擦 (1) 正确分析物体的相对运动趋势和确定滑动摩擦力的指向。 (2) 掌握静滑动摩擦力有取值方法以及平衡范围的概念。 (3) 理解极限摩擦力的概念，正确地应用库仑定律。 (4) 掌握自锁的概念。在简单的平面情况（物体受二力或三力 时的平衡）下，能用几何条件求解摩擦平衡问题。
FDK =
1 F 4
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节点E根据零力杆判断法则，得：FEI=0 节点I根据零力杆判断法则，得：FIG=0 取n-n截面右侧，作受力分析 y
G FGA FAB FBK
∑F
y
=0
H
FAB cos 45o + FDK cos 45o + FD cos 45o − F cos 45o = 0
F
B
β
（1）取杆OA为研究对 FAB θ 象，作受力分析
A M
O FO
∑M = 0
M − FAB cos θ ⋅ r = 0
FAB = M ( r cos θ )
力偶只能用 力偶来平衡
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y FAB
θ
（2）取滑块B为研究对象，作受力分析
β
B
F=Fmin x