2020版 第8章 第5节 椭圆

第五节椭圆
[考纲传真] 1.了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质．
1．椭圆的定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a＞c，则集合P为椭圆．
(2)若a＝c，则集合P为线段．
(3)若a＜c，则集合P为空集．
2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程x2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)
y2
a2＋
x2
b2＝1(a>b>0)
图形
性质
范围
－a≤x≤a，
－b≤y≤b
－b≤x≤b，
－a≤y≤a
对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)，
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)，
B1(－b,0)，B2(b,0)
离心率e＝
c
a，且e∈(0,1)
a，b，c的关系c2＝a2－b2 [常用结论]
与椭圆定义有关的结论
以椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)上一点P (x 0，y 0)(y 0≠0)和焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)为顶点的△PF 1F 2中，若∠F 1PF 2＝θ，则
(1)|PF 1|＋|PF 2|＝2a .
(2)4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos θ.
(3)S △PF 1F 2＝1
2|PF 1||PF 2|·sin θ，当|y 0|＝b ，即P 为短轴端点时，S △PF 1F 2取最大值，为bc .
(4)焦点三角形的周长为2(a ＋c )．
(5)已知过焦点F 1的弦AB ，则△ABF 2的周长为4a .
[基础自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)平面内与两个定点F 1，F 2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆． ( )
(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距)． ( )
(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆． ( )
(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m ＞0，n ＞0，m ≠n )表示的曲线是椭圆． ( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．(教材改编)设P 是椭圆x 225＋y 2
16＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )
A ．4
B ．5
C ．8
D ．10 D [依椭圆的定义知：|PF 1|＋|PF 2|＝2×5＝10.]
3．若方程x 25－m ＋y 2
m ＋3＝1表示椭圆，则m 的取值范围是( )
A ．(－3,5)
B ．(－5,3)
C ．(－3,1)∪(1,5)
D ．(－5,1)∪(1,3)
C
[由方程表示椭圆知⎩⎨⎧
5－m >0，
m ＋3>0，
5－m ≠m ＋3，
解得－3<m <5且m ≠1.]
4．已知椭圆x2
25＋
y2
m2＝
1(m>0)的左焦点为F1(－4,0)，则m＝() A．2 B．3 C．4 D．9
B[由左焦点为F1(－4,0)知c＝4.又a＝5，∴25－m2＝16，解得m＝3或－3.又m>0，故m＝3.]
5．(教材改编)已知椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率为
1
2，则椭圆的标准方程为________．
x2
4＋
y2
3＝1[设椭圆的标准方程为
x2
a2＋
y2
b2＝1(a>b>0)．因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e＝
1
2，所以
⎩⎪
⎨
⎪⎧
c＝1，
c
a＝
1
2，
a2＝b2＋c2，
解得
⎩
⎨
⎧a＝2c＝2，
b2＝3，
故椭圆的标准方程为
x2
4＋
y2
3＝1.]
椭圆的定义与标准方程
1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆
x2
3＋y
2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是()
A．23B．6C．43D．12
C[由椭圆的方程得a＝ 3.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为|BA|＋|BC|＋|CA|＝|BA|＋|BF|＋|CF|＋|CA|＝(|BA|＋|BF|)＋(|CF|＋|CA|)＝2a＋2a＝4a＝4 3.]
2．(2019·济南调研)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()
A.
x2
64－
y2
48＝1 B.
x2
48＋
y2
64＝1
C.
x2
48－
y2
64＝1 D.
x2
64＋
y2
48＝1
D [设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝|C 1C 2|，所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且 2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 2
48＝1.]
3．(2019·徐州模拟)已知F 1、F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1⊥PF 2，若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.
3 [设|PF 1|＝r 1，|PF 2|＝r 2，则⎩⎨⎧
r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2
， 所以2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以S △PF 1F 2＝12
r 1r 2＝b 2
＝9，所以b ＝3.] 4．已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点⎝ ⎛⎭⎪⎫
－32，52，(3，
5)，则椭圆方程为________．
y 210＋x 26＝1 [设椭圆方程为mx 2＋ny 2
＝1(m ，n >0，m ≠n )．由⎩⎪⎨⎪⎧
⎝ ⎛⎭⎪⎫－322m ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫522n ＝1，3m ＋5n ＝1，
解得m ＝16，n ＝110. ∴椭圆方程为y 210＋x 2
6＝1.]
[规律方法] 1.椭圆定义的应用技巧
(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等．
(2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 2．求椭圆标准方程的常用方法
(1)求椭圆的标准方程多采用定义法和待定系数法．
(2)利用定义法求椭圆方程，要注意条件2a >|F 1F 2|；利用待定系数法要先定形(焦点位置)，再定量，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式．
椭圆的几何性质
►【例1】 (1)(2017·浙江高考)椭圆x 29＋y 24＝1的离心率是( )
A.133
B.53
C.23
D.59
(2)若椭圆上存在点P ，使得点P 到两个焦点的距离之比为2∶1，则此椭圆离心率的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，13
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
13，12 C.⎝ ⎛⎭
⎪⎫13，1 D.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫13，1 (1)B (2)D [(1)∵椭圆方程为x 29＋y 2
4＝1， ∴a ＝3，c ＝a 2－b 2＝9－4＝ 5. ∴e ＝c a ＝53. 故选B.
(2)设P 到两个焦点的距离分别为2k ，k ，根据椭圆定义可知：3k ＝2a ，又结合椭圆的性质可知，椭圆上的点到两个焦点距离之差的最大值为2c ，即k ≤2c ，∴2a ≤6c ，即e ≥13.又∵0<e <1，∴1
3≤e <1.]
►考法2 根据椭圆的性质求参数的取值范围问题
【例2】 (1)已知椭圆x 2m －2＋y 2
10－m ＝1的长轴在x 轴上，焦距为4，则m
等于( )
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5
(2)(2019·合肥质检)如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝1
2，F ，A 分别是椭圆的一个焦点和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·P A →的最大值为________．
(1)A (2)4 [(1)∵椭圆x 2m －2＋y 2
10－m
＝1的长轴在x 轴上，
∴⎩⎨⎧
m －2＞0，
10－m ＞0，m －2＞10－m ，
解得6＜m ＜10.∵焦距为4，∴c 2＝m －2－10＋m ＝4，解
得m ＝8.
(2)由题意知a ＝2，因为e ＝c a ＝12，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2＝3.故椭圆方程为x
2
4
＋y 2
3＝1.设P 点坐标为(x 0，y 0)．所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤ 3.因为F (－1,0)，A (2,0)，PF →＝(－1－x 0，－y 0)，P A →＝(2－x 0，－y 0)，所以PF →·P A →＝x 2
0－x 0－2＋y 20＝14x 20－x 0＋1＝14
(x 0－2)2. 当x 0＝－2时，PF →·P A →取得最大值4.] [规律方法] 1.求椭圆离心率的方法
(1)直接求出a ，c 的值，利用离心率公式直接求解.
(2)列出含有a ，b ，c 的齐次方程或不等式，借助于b 2＝a 2－c 2消去b ，转化为含有e 的方程或不等式求解.
2.利用椭圆几何性质求参数的值或范围的思路,求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系.建立关于a 、b 、c 的方程或不等式.
(1) 已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦
点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 离心率的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，1
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤
13，22 C.⎣⎢⎡⎭
⎪⎫13，1 D.⎝ ⎛
⎦
⎥⎤0，13 (2)已知焦点在x 轴上的椭圆C ：x 2a 2＋y 2
＝1(a >0)，过右焦点作垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，且|AB |＝1，则该椭圆的离心率为________．
(1)C (2)
3
2
[(1)如图所示，∵线段PF 1的中垂线经过F 2，∴|PF 2|＝|F 1F 2|
＝2c ，
即椭圆上存在一点P ，使得|PF 2|＝2c ，∴a －c ≤2c ≤a ＋c .∴e ＝c a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫
13，1.
(2)因为椭圆x 2a 2＋y 2
＝1(a >0)的焦点在x 轴上，所以c ＝a 2－1，又过右焦点且垂直于x 轴的直线为x ＝c ，将其代入椭圆方程中，得c 2
a 2＋y 2＝1，则y ＝± 1－c 2
a 2，又|AB |＝1，所以21－c 2a 2＝1，得c 2a 2＝34，所以该椭圆的离心率e ＝c
a ＝
3
2(负值舍去)．]
直线与椭圆的位置关系
【例3】 已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 2
2＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：
(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．
[解] 将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，得方程组⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝2x ＋m ，①x 24＋y 2
2＝1，②将
①代入②，整理得9x 2＋8mx ＋2m 2－4＝0.③
方程③根的判别式Δ＝(8m )2－4×9×(2m 2－4)＝－8m 2＋144.
(1)当Δ>0，即－32<m <32时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个不重合的公共点．
(2)当Δ＝0，即m ＝±32时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l 与椭圆C 有两个互相重合的公共点，即直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．
(3)当Δ<0，即m <－32或m >32时，方程③没有实数根，可知原方程组没有实数解．这时直线l 与椭圆C 没有公共点．
[规律方法] 直线与椭圆的位置关系的类型及解题方法
(1)类型：一是判断位置关系；二是根据位置关系确定参数的取值范围. (2)解题方法：一是联立方程，借助一元二次方程的判别式Δ来判断，二是借助几何性质来判断，如下面的跟踪训练.
直线y ＝kx －1与椭圆x 24＋y 2
a ＝1相切，则k ，a 的取值范围分别
是( )
A ．a ∈(0,1)，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，12
B ．a ∈(0,1]，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫
－12，12
C ．a ∈(0,1)，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0∪⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，12
D ．a ∈(0,1]，k ∈⎝ ⎛⎦
⎥⎤
－12，12
B [∵直线y ＝kx －1是椭圆的切线，且过点(0，－1)， ∴点(0，－1)必在椭圆上或其外部， ∴a ∈(0,1]． 由方程组⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝kx －1，x 24＋y 2
a
＝1消去x ，得
(a ＋4k 2)y 2＋2ay ＋a －4ak 2＝0. ∵直线和椭圆相切，
∴Δ＝(2a )2－4(a ＋4k 2)(a －4ak 2) ＝16ak 2(a －1＋4k 2)＝0， ∴k ＝0或a ＝1－4k 2.
∵0＜a ≤1，∴0＜1－4k 2≤1， ∴k 2
＜⎝ ⎛⎭⎪⎫122，∴k ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－12，12]
1．(2018·全国卷Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
4＝1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )
A.13
B.12
C.22
D.223
C [不妨设a >0，因为椭圆C 的一个焦点为(2,0)，所以c ＝2，所以a 2＝4＋4＝8，所以a ＝22，所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝2
2.]
2．(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1，F 2是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点．若PF 1⊥PF 2，且∠PF 2F 1＝60°，则C 的离心率为( )
A ．1－3
2 B ．2－
3 C.
3－12
D.3－1
D [由题设知∠F 1PF 2＝90°，∠PF 2F 1＝60°，|F 1F 2|＝2c ，所以|PF 2|＝c ，|PF 1|＝3c .由椭圆的定义得|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，即3c ＋c ＝2a ，所以(3＋1)c ＝2a ，故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝23＋1
＝3－1.故选D.]
3．(2016·全国卷Ⅰ)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1
4，则该椭圆的离心率为( )
A.13
B.12
C.23
D.34
B [不妨设直线l 经过椭圆的一个顶点B (0，b )和一个焦点F (c,0)，则直线l 的方程为x c ＋y b ＝1，即bx ＋cy －bc ＝0.由题意知|－bc |b 2＋c 2＝14×2b ，解得c a ＝1
2，即e
＝1
2.故选B.]
4．(2017·全国卷Ⅰ)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2
m ＝1长轴的两个端点．若
C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( )
A ．(0,1]∪[9，＋∞)
B ．(0，3]∪[9，＋∞)
C ．(0,1]∪[4，＋∞)
D ．(0，3]∪[4，＋∞)
A [法一：设焦点在x 轴上，点M (x ，y )． 过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ， 则N (x,0)．
故tan ∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN ) ＝3＋x |y |＋3－x
|y |1－3＋x |y |·3－x |y |＝23|y |x 2＋y 2－3.
又tan ∠AMB ＝tan 120°＝－3，
且由x 23＋y 2m ＝1可得x 2＝3－3y 2
m ，
则23|y |3－3y 2m ＋y 2
－3＝
23|y |⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3m y
2＝－ 3. 解得|y |＝
2m 3－m
. 又0<|y |≤m ，即0＜2m
3－m ≤m ，结合0＜m ＜3解得0＜m ≤1.
对于焦点在y 轴上的情况，同理亦可得m ≥9. 则m 的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A.
法二：当0<m <3时，焦点在x 轴上， 要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan 60°＝3，即3m ≥3，
解得0<m ≤1.
当m >3时，焦点在y 轴上，
要使C 上存在点M 满足∠AMB ＝120°， 则a b ≥tan 60°＝3，即m 3≥3，解得m ≥9.
故m 的取值范围为(0,1]∪[9，＋∞)． 故选A.]。