第八章系统状态变量案例
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第八系统的状态变量分析PPT学习教案
x1 uc，x2 iL2，x3 iL3
又由KCL、KVL定理得，
.
ic x1 x2 x3
.
us x1 L2 x2
．
us x1 L3 x3 R(is x3 )
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整理得到状态方程
0
11
x1
x2
x3
-1 L2 -1
C 0
C 0 -R
0
L3
L3
其第一项的逆变换将是状态矢量的零输入解，第二 项的逆变换是状态矢量的零状态解。
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连续系统稳定性的判断
稳定系统：A的特征值Rei 0
这需要解方程 aI - A 0
转移函数分母的特征多项式 s -
此方程的根在s平面上的位置决定了系统的稳定 情况，当根落在s平面的左半平面，可确定系统 为稳定的。
y2 b0 b1
x1
b3
x2
x3
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三. 离散系统状态方程的建立
离散系统是用差分方程描述的，选择适当的状态变量把 差分方程化为关于状态变量的一阶差分方程组，这个差 分方程组就是该系统的状态方程。
如果有p个输入，q个输出的n阶离散系统，其状态方程的一 般形式是
x1 x2
t
f
t
列出它的状态方程和输出方程。
解：按式写出其系统函数
H s
1
s -3
s3 a2s2 a1s a0 1- -a2s-1 - a1s-2 - a0s-3
按系统函数可画出其框图和信号流图
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x3
x2
x1
f
--
x3
a2
x2
a1
x1 a0
又由KCL、KVL定理得，
.
ic x1 x2 x3
.
us x1 L2 x2
．
us x1 L3 x3 R(is x3 )
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整理得到状态方程
0
11
x1
x2
x3
-1 L2 -1
C 0
C 0 -R
0
L3
L3
其第一项的逆变换将是状态矢量的零输入解，第二 项的逆变换是状态矢量的零状态解。
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连续系统稳定性的判断
稳定系统：A的特征值Rei 0
这需要解方程 aI - A 0
转移函数分母的特征多项式 s -
此方程的根在s平面上的位置决定了系统的稳定 情况，当根落在s平面的左半平面，可确定系统 为稳定的。
y2 b0 b1
x1
b3
x2
x3
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三. 离散系统状态方程的建立
离散系统是用差分方程描述的，选择适当的状态变量把 差分方程化为关于状态变量的一阶差分方程组，这个差 分方程组就是该系统的状态方程。
如果有p个输入，q个输出的n阶离散系统，其状态方程的一 般形式是
x1 x2
t
f
t
列出它的状态方程和输出方程。
解：按式写出其系统函数
H s
1
s -3
s3 a2s2 a1s a0 1- -a2s-1 - a1s-2 - a0s-3
按系统函数可画出其框图和信号流图
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x3
x2
x1
f
--
x3
a2
x2
a1
x1 a0
第8章 线性系统的状态空间分析PPT课件
x1k xx2k
xnk
u1k uu2k
unk
y1k yy2k
ynk
c11 c12 c1n
Cc21
c22
c2n
cn1 cn2 cqn
d11 d12 d1p
Dd21
d22
d2p
dq1 dq2 dqp
对于线性定常系统A、B 、G、H 、C、D为常系数矩阵， G、 H形式同A、B。
D D
DD
u
B
x
0
1J
u m1
y x2 0
1
x1 x2
若 y ,则 x1 i,x2 , x 3 且 x3 x2
二阶
结论： 同一系统 动态方程 的维数、 变量、系 数矩阵都
x1 x2
R L
Cm
x3
J
0
Ce L 0 1
不唯一。
y x3 0
00001xxx132xxx11200L1x2
输出方程：
y(t)g [x(t)u ,(t)t] ,
动态方程：
x(t) f[x(t),u(t),t] y(t)g[x(t),u(t),t]
x(tk1)f[x(tk),u(tk),tk]
y(tk)g[x(tk),u(tk),tk]
线性系统动态方程的一般形式
x(t)A(t)x(t)B(t)u(t) y(t)C(t)x(t)D(t)u(t)
结论：对同一系统，状态变量的选择不具有唯一性，动态方 程也不是惟一的。一般选择储能器件上的量做为状态变量。
例8-4 试列写图示系统的动态方程。
m x(x V )kxF 初速度≠0
y 1 x 1 x y 2 x x 2 y 3 x
x x12xx2 m 1[(x2V)kx1F]
信号与系统(精编版)第8章 系统的状态变量分析
第8章 系统的状态变量分析
6
8.1.2 由电路引出系统的状态方程与输出方程
先从一个具体电路(系统)的例子看方程的列写。图8.1-2(a) 为二阶电路(系统)，图中is(t)为激励源(输入)，u(t)、iC(t)为两 个响应(输出)。从系统的观点看，该电路属于单输入两个输 出的系统，如图8.1-2(b)所示。
可将状态方程与输出方程分别写为更简洁的矢量矩阵形式，
即
(8.1-14)
(8.1-15)
第8章 系统的状态变量分析
19
式中
第8章 系统的状态变量分析
20
分别为状态矢量、状态矢量的一阶导数矢量、输入矢量
和输出矢量。其中上标T表示转置运算。
第8章 系统的状态变量分析
21
2. 离散系统的动态方程
图8.1-4是n阶离散系统的示意框图，它同样有p个输入， q个输出。对于离散系统，有关状态、状态变量的概念与连续 系统类似，因为离散信号定义的特殊性，致使状态变量、输
选择了uC、iL作为状态变量列写了状态方程式(8.1-8)， 我们亦可选择iC、uL作为该电路的状态变量列写出另外形式 旳状态方程。事实上，对于二阶系统，如果它的状态变量用
x1，x2来表示，则这组变量的各种线性组合
(8.1-18a)
(8.1-18b)
第8章 系统的状态变量分析
26
(3) 状态空间与状态轨迹概念。 为了使读者能够形象直观地接受状态轨迹概念，我们 对图8.1-2(a)电路简化配置参数：令RL=RC=0，L=0.5 H， C=0.5 F，uC(0)=0，iL(0)=0，is=1 A，解得状态变量
入、输出都是序列，状态方程表现为状态变量的一阶前向差
分方程组；输出方程更是与连续系统的输出方程形式上类似，
信号与线性系统分析 第八章 系统状态变量分析
这是由三个内部变量uC(t)、iL1(t)和iL2(t)构成的一阶微分方程组。 构成的一阶微分方程组。 这是由三个内部变量 、 和 构成的一阶微分方程组 若初始值u 已知， 若初始值 C(t0)、iL1(t0)和iL2(t0)已知，则根据 0时的给定激 、 和 已知 则根据t≥t 就可惟一地确定在t≥t 励uS1(t)和uS2(t)就可惟一地确定在 0时的解 C(t)、iL1(t)和iL2(t)。 和 就可惟一地确定在 时的解u 、 和 。
信号与系统 电子教案
第八章 系统状态变量分析
8.1 状态变量与状态方程
一、状态变量与状态方程 二、动态方程的一般形式
8.2 状态方程的建立
一、电路状态方程的列写 由输入二、由输入-输出方程建立状态方程
8.3 8.4 8.5
离散系统状态方程的建立 连续系统状态方程的解 离散系统状态方程的解
信号与系统 电子教案 前面的分析方法称为外部法，它强调用系统的输 前面的分析方法称为外部法，它强调用系统的输 外部法 输出之间的关系来描述系统的特性。其特点： 入、输出之间的关系来描述系统的特性。其特点： 只适用于单输入单输出系统， （1）只适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出 系统，将增加复杂性； 系统，将增加复杂性； 只研究系统输出与输入的外部特性， （2）只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的 内部情况一无所知，也无法控制。 内部情况一无所知，也无法控制。 本章将介绍的内部法——状态变量法是用n 本章将介绍的内部法——状态变量法是用n个状态 内部法——状态变量法是用 一阶微分或差分方程组（ 变量的一阶微分或差分方程组 状态方程） 变量的一阶微分或差分方程组（状态方程）来描述系 优点有： 提供系统的内部特性以便研究。 统。优点有：（1）提供系统的内部特性以便研究。 便于分析多输入多输出系统； （2）便于分析多输入多输出系统； 一阶方程组便于计算机数值求解。 （3）一阶方程组便于计算机数值求解。并容易推广用 于时变系统和非线性系统。 于时变系统和非线性系统。
信号与系统---第八章 系统的状态变量分析
f1 k c11 ... c1n x1 k d11 ... d1 p f 2 k ... ... ... ... ... ... ... ... ... c ... c x k d ... d nn n np n1 n1 f k y k p n
则：x1 t 0 c x2 t c f t
x2 t
1 R RL RC x1 t C x2 t f t L L L y1 t x1 t RC x2 t RC f t y2 t 0 x2 t f t
第八章 系统的状态变量分析
绪论 §8.1 状态方程 一、状态变量与状态方程 二、状态方程的一般形式 §8.2 状态方程的建立 一、电路状态方程的列写 二、连续系统状态方程的建立 三、离散系统状态方程的建立 §8.3 连续系统状态的解 一、状态方程的时域解 二、状态方程的变换解
§8.4 离散系统状态方程的解 一、离散系统方程的建立 二、状态方程的时域解 三、状态方程的变换解 四、可控性和可测性
输出方程：
y1 ic x2 x3
y2 u r is x3 x1 y1 0 1 1 0 0 u s x2 i y 0 0 1 0 r s 2 x 3
矩阵形式： x t
用电容上电压，电感上电流来描述系统的状态。即系统在某一时刻t 的状态可由必须数目的一组变量 x1t0 , x2 t0 ,......xn t0 上例中的电容电 压电感电流来描述。在 t 0 时在一定的输入下可唯一的确定 xn t ，并可由t时刻状态和输入确定该 的任意时刻状态 x1t , x2 t ,...... 时刻的输出。xi t i 1,2,...... n 是描述系统状态变化的一组变量，叫状 态变量 由状态变量组成的变量方程叫状态方程 动态方程或系统方程 由状态变量和输入表示输出解的方程叫输出方程
信号与系统分析第八章 系统的状态变量分析
对于一般情况而言， 连续动态系统在某一时刻t0的状 态， 是描述该系统所必需的最少的一组数x1(t0)， x2(t0)， …， xn(t0), 根据这组数和t≥t0时给定的输入就可以唯一地确定在 t≥t0的任一时刻的状态及输出。 这组描述系统状态随时间变 化所必需的数目最少的一组变量x1(t)、x2(t)、 …、 xn(t), 就 称为系统的状态变量。 状态变量
8.1 状 态 方
8.1.1
在状态变量分析法中， 首先需要选择一组描述系统的 关键性变量， 这组关键性变量称为描述系统的状态变量。 状态变量的选择必须使系统在任意时刻t的每一输出都可由 系统在t
为了说明状态变量和状态方程的概念， 首先分析图8.1 所示的包含两个动态元件的二阶系统， 输入us (t)为电压源， 输出为uL(t)
第八章 系统的状态变量分析
输入-输出分析法和状态变量分析法都是分析、 研 究系统特性的基本方法， 只是分析的角度不同。 一个 是从系统外部特性进行分析， 而另一个则是对系统内 部变量进行分析研究， 两种方法互为补充。 本章仅研 究线性时不变系统状态方程的建立、 求解以及可控制 性和可观测性。
第八章 系统的状态变量分析
y1(t) c11
y2 (t)
c21
y p (t) cq1
c12 c22
cq2
c1n
c2n
cqn
x1(t)
x2 (t
)
d11 d 21
xn (t) dq1
d12 d 22 dq2
d1 p d2p
f1 (t ) f2 (t)
dqp f p (t)
类似地， 对于线性离散系统， 也可以写出系统的状态方程
设一个n阶多输入 - 多输出线性离散系统， 它的p个输入为
8.1 状 态 方
8.1.1
在状态变量分析法中， 首先需要选择一组描述系统的 关键性变量， 这组关键性变量称为描述系统的状态变量。 状态变量的选择必须使系统在任意时刻t的每一输出都可由 系统在t
为了说明状态变量和状态方程的概念， 首先分析图8.1 所示的包含两个动态元件的二阶系统， 输入us (t)为电压源， 输出为uL(t)
第八章 系统的状态变量分析
输入-输出分析法和状态变量分析法都是分析、 研 究系统特性的基本方法， 只是分析的角度不同。 一个 是从系统外部特性进行分析， 而另一个则是对系统内 部变量进行分析研究， 两种方法互为补充。 本章仅研 究线性时不变系统状态方程的建立、 求解以及可控制 性和可观测性。
第八章 系统的状态变量分析
y1(t) c11
y2 (t)
c21
y p (t) cq1
c12 c22
cq2
c1n
c2n
cqn
x1(t)
x2 (t
)
d11 d 21
xn (t) dq1
d12 d 22 dq2
d1 p d2p
f1 (t ) f2 (t)
dqp f p (t)
类似地， 对于线性离散系统， 也可以写出系统的状态方程
设一个n阶多输入 - 多输出线性离散系统， 它的p个输入为
第八章 系统状态变量分析
习题八8-1对图8-1所示电路，列写出以)(t u C 、)(t i L 为状态变量x 1、x 2，以)(1t y 、)(2t y 为输出的状态方程和输出方程。
8-2 描述某连续系统的微分方程为)(2)()(2)()(5)()1()1()2()3(t f t f t y t y t y t y +=+++写出该系统的状态方程和输出方程。
8-3 描述连续系统的微分方程组如下，写出系统的状态方程和输出方程。
（1）)()()(2)(3)(211)1(1)2(1t f t f t y t y t y +=++)(3)()()(4)(212)1(2)2(2t f t f t y t y t y -=++ （2）)()()(12)1(1t f t y t y =+)()()()()(21)1(2)1(1)2(2t f t y t y t y t y =+++8-4 以x 1、x 2、x 3为状态变量，写出图8-3所示系统的状态方程和输出方程。
8-5 如图8-7所示连续系统的框图。
（1）写出以x 1、x 2为状态变量的状态方程和输出方程。
（2）为使该系统稳定，常数a ，b 应满足什么条件？8-6 描述某连续系统的系统函数为12492)(22+++=s s ss s H画出其直接形式的信号流图，写出相应的状态方程和输出方程。
8-7 某离散系统的信号流图如图8-13所示。
写出以x 1（k ）、x 2（k ）为状态变量的状态方程和输出方程。
8-8 如图8-14所示离散系统，状态变量x 1、x 2、x 3如图8-14所示。
列出系统的状态方程和输出方程。
习题八答案8-18-28-38-4解： 将系统函数)(s H 改写成211124192)(---+++=ss s s H 由此可画出直接形式的信号流图，如图8-10所示。
选取图8-10中积分器的输出作为状态变量。
由图8-10可写出如下方程 21x x =•① f x x x +--=•212412 ②f x x x x y 224922122++-=+=•③将式①和式②写成矩阵形式，得状态方程将式③写成矩阵形式，得输出方程8-7。
第八章系统的状态变量分析
特性。 2.适用于多输入-多输出系统。 3.可用来描述时变系统，非线性系统。 4.易于利用计算机求解。 三.本章主要内容 1.状态方程的普遍形式。 2.连续时间系统状态方程得建立及求解。 3.离散时间系统状态方程得建立及求解。 4.系统的可控性和可观性。
四.简单实例：串联谐振电路。
1.只关心激励e(t)与电容两端电压vc (t) 之间的关系列输入输出
即可利用以下幂次的各项之和表示矩阵a的特征值代人上式中的a之后方程仍满足平衡可求系数利用把无限和化成有限项之和方阵所以可把次数高于k次的项化为幂阿次的各项之和
第八章 系统的状态变量分析
§8.1 引言 §8.2 连续时间系统状态方程的建立 §8.3 连续时间系统状态方程的求解 §8.4 离散时间系统方程的建立 §8.5 离散时间系统状态方程的求解 §8.7 系统的可控性和可观性
一般取 t0 0 。系统为n阶系统，就有n个状态。
2.状态变量：能够表示系统状态的那些变量。n阶系统有n个 状态变量。对电路系统来说，通常选电容两端电压和经电感 电流为状态变量。
3、状态向量(矢量)：将n阶系统的n个状态变量 x1(t) ，x2 (t) ，… xn (t) 排成一个n*1阶的列变量x(t)，即：
(t (t
) )
f1[1 (t),2 (t),...k (t);e1 (t),e2 (t),...em (t),t] f2[1 (t),2 (t),...k (t);e1 (t),e2 (t),...em (t),t]
..
d dt
k
(t
)
fk [1 (t),2 (t),...k (t);e1 (t),e2 (t),...em (t),t]
1 1 0 0
四.简单实例：串联谐振电路。
1.只关心激励e(t)与电容两端电压vc (t) 之间的关系列输入输出
即可利用以下幂次的各项之和表示矩阵a的特征值代人上式中的a之后方程仍满足平衡可求系数利用把无限和化成有限项之和方阵所以可把次数高于k次的项化为幂阿次的各项之和
第八章 系统的状态变量分析
§8.1 引言 §8.2 连续时间系统状态方程的建立 §8.3 连续时间系统状态方程的求解 §8.4 离散时间系统方程的建立 §8.5 离散时间系统状态方程的求解 §8.7 系统的可控性和可观性
一般取 t0 0 。系统为n阶系统，就有n个状态。
2.状态变量：能够表示系统状态的那些变量。n阶系统有n个 状态变量。对电路系统来说，通常选电容两端电压和经电感 电流为状态变量。
3、状态向量(矢量)：将n阶系统的n个状态变量 x1(t) ，x2 (t) ，… xn (t) 排成一个n*1阶的列变量x(t)，即：
(t (t
) )
f1[1 (t),2 (t),...k (t);e1 (t),e2 (t),...em (t),t] f2[1 (t),2 (t),...k (t);e1 (t),e2 (t),...em (t),t]
..
d dt
k
(t
)
fk [1 (t),2 (t),...k (t);e1 (t),e2 (t),...em (t),t]
1 1 0 0
信号与系统第八章系统的状态变量分析
X(s)
H(s)
Y(s)
看出简单的方框图，变成流图形式是用一有始有终的 线段表示。起始点标为X(s),终点标为Y(s).
4、流图中的名词
结点：表示系统中变量或信号的点。 线段（支路）：两个结点之间的定向线段，表示信 号传输的路径。 箭头：表示信号的传输方向；
转移函数： 两个结点之间的增益称为转移函数，标 注在箭头附近。
三状态方程引入??t??????t????1111lldrdtddlll0ietit????????????????????????????????????????????????????????????状态方程?在状态空间分析方法中将状态方程以矢量和矩阵形式表示
第八章 系统的 状态变量分析
本章的主要内容
有二种方法。第一种方法：把所有输入支路增益除以 -G H （1+G2H2）
1 2
1 G2 H 2
X
H1 H 2 1 G2 H 2
1
X2 X3
-G3
X5 X4 H4 -G 4
1
H3
Y
另一种方法是把输出支路增益除以（1+G2H2）。
这两种方法等同。
H1 H 2
-G1 H 2 -G3
1
X2
X5 X4 H4 -G 4
H1 H 2 H 3 H 4 (1+G 2 H 2 ) (1+G3 H 3 )
1
X
Y
G4H 4 1+G3 H 3
并联环路增益相加。
H1 H 2 H 3 H 4 (1+G 2 H 2 ) (1+G3 H 3 ) -G1 H 2 H 3 H 4 G4 H 4 (1 G2 H 2 ) (1 G2 H 2 )(1 G3 H 3 )
第8章 系统的状态变量分析
+ annλn (t) + bn1x1(t) + bn2 x2 (t) +
+ b1m xm (t) + b2m xm (t)
+ bnm xm (t)
（8-4）
和
⎧ y1(t) = c11λ1(t) + c12λ2 (t) +
⎪⎪ ⎨
y2
(t
)
=
c21λ1
(t
)
+
c22λ2
(t
)
+
⎪
⎪⎩ yr (t) = cr1λ1(t) + cr2λ2 (t) +
的一阶导数与状态变量和激励的关系。式(8-3)形式的代数方程称为输出方程(output equation)，
它描述了系统输出与状态变量和激励之间的关系。
状态变量分析法对于离散时间系统也是同样适用的，即上面给出的概念对离散时间系统同
样有效。只不过对于离散时间系统，其状态方程是一阶联立差分方程组，状态变量λ[n]是离散
输出方程可写为
λ(t)n×1 = An×n λ(t)n×1 + Bn×m x(t)m×1
（8-6）
y(t)r×1 = Cr×n λ(t)n×1 + Dr×m x(t)m×1
（8-7）
其中
λ(t) = ⎡⎣λ1(t), λ2 (t), , λn (t)⎤⎦T ， λ (t ) = [λ1(t)，λ 2 (t)，… , λ n ( t )]T,
(constant matrix)；如果系数矩阵中有的是时间 t 的函数，则此系统是线性时变系统。
2. 离散时间系统状态方程和输出方程的一般形式
对于一个动态的离散时间系统，它的时域数学模型是一个高阶差分方程。作为其状态方程
+ b1m xm (t) + b2m xm (t)
+ bnm xm (t)
（8-4）
和
⎧ y1(t) = c11λ1(t) + c12λ2 (t) +
⎪⎪ ⎨
y2
(t
)
=
c21λ1
(t
)
+
c22λ2
(t
)
+
⎪
⎪⎩ yr (t) = cr1λ1(t) + cr2λ2 (t) +
的一阶导数与状态变量和激励的关系。式(8-3)形式的代数方程称为输出方程(output equation)，
它描述了系统输出与状态变量和激励之间的关系。
状态变量分析法对于离散时间系统也是同样适用的，即上面给出的概念对离散时间系统同
样有效。只不过对于离散时间系统，其状态方程是一阶联立差分方程组，状态变量λ[n]是离散
输出方程可写为
λ(t)n×1 = An×n λ(t)n×1 + Bn×m x(t)m×1
（8-6）
y(t)r×1 = Cr×n λ(t)n×1 + Dr×m x(t)m×1
（8-7）
其中
λ(t) = ⎡⎣λ1(t), λ2 (t), , λn (t)⎤⎦T ， λ (t ) = [λ1(t)，λ 2 (t)，… , λ n ( t )]T,
(constant matrix)；如果系数矩阵中有的是时间 t 的函数，则此系统是线性时变系统。
2. 离散时间系统状态方程和输出方程的一般形式
对于一个动态的离散时间系统，它的时域数学模型是一个高阶差分方程。作为其状态方程
系统的状态变量分析
形式与连续时间系统的形式相同。
用状态变量分析法研究系统具有如下优点。
(1) 便于研究系统内部的一些物理量在信号转换过程中的变化。这些物理量可以用状态矢
量的一个分量表现出来，从而便于研究其变化规律。
361
(2) 系统的状态变量分析法与系统的复杂程度无关，它和简单系统的数学模型相似，都表 现为一些状态变量的线性组合，因而这种分析法更适用于多输入多输出系统。
(3) 状态变量分析法还适用于非线性和时变系统，因为一阶微分方程或差分方程是研究非 线性和时变系统的有效方法。
(4) 状态变量分析法可以用来定性地研究系统的稳定性及如何控制各个参数使系统的性能 达到最佳等。
(5) 由于状态方程都是一阶联立微分方程组或一阶联立差分方程组，因而便于采用数值解 法，从而为使用计算机进行分析系统提供有效的途径。
时间信号。
上述关于状态变量和状态方程的基本概念，可用于讨论系统状态方程和输出方程的一般形
式。
1. 连续时间系统状态方程和输出方程的一般形式
一个动态连续时间系统的时域数学模型都是用输入、输出信号的各阶导数来描述的。作为
连续时间系统的状态方程表现为状态变量的一阶联立微分方程组，对于线性时不变系统，状态
方程和输出方程简化为状态变量和输入信号的线性组合，即线性时不变系统的状态方程和输出
的一阶导数与状态变量和激励的关系。式(8-3)形式的代数方程称为输出方程(output equation)，
它描述了系统输出与状态变量和激励之间的关系。
状态变量分析法对于离散时间系统也是同样适用的，即上面给出的概念对离散时间系统同
样有效。只不过对于离散时间系统，其状态方程是一阶联立差分方程组，状态变量λ[n]是离散
（8-8）
第8章 系统的状态变量分析
x1(t0 ), x2 (t0 )......, xn (t0 ).
8.1 系统的状态空间描述
说明：系统状态的数目是一定的,但状态的选择不唯一。
例：设二阶系统的初始状态为x1(t0 ), x2 (t0 )并且
g1(t0 ) a1x1(t0 ) a2 x2 (t0 )
g
2
(t0
)
b1
x1
(t0
用系统的状态方程和输出方程描述系统输入、状态变量、 输出之间的关系。
状态方程：表示系统状态变量与输入之间的关系/方程。 对n阶系统，状态方程是由n个一阶微分方程（差分方程）组 成的方程组。
输出方程：表示系统输出与输入和状态变量之间的关系/ 方程。
对n阶系统，若有q个输出，输出方程是由q个代数方程组 成的方程组。
（1）初始状态：设初始时刻 K0 0 ，对n阶系统， 初始状态通常指：y(1) , y(2) , , y(n) .
K0 时刻状态的一般定义： K0 时刻的状态是数目最少的一组数，知道了这组数
和 K0, K 区间上的输入，就可完全确定系统在K时
刻的输出。
8.1 系统的状态空间描述
（2）状态变量、状态矢量： 状态变量：表示状态随时间变化的一组变量。
C
R
f1
L2 uL2
f2
b
列状态方程:
选状态变量:
x1 iL1 , x2 iL2 , x3 iC。
设输出为:
y1 uL2 , y2 uab
第一步: 关于L1x1, L2 x（2 电感电压）列KVL方程： L1x1 uL1 f1 x3 R(x1 x2 ) f2 Rx1 Rx2 x3 f1 f2 L2 x2 uL2 x3 R(x1 x2 ) f2 Rx1 Rx2 x3 f2
8.1 系统的状态空间描述
说明：系统状态的数目是一定的,但状态的选择不唯一。
例：设二阶系统的初始状态为x1(t0 ), x2 (t0 )并且
g1(t0 ) a1x1(t0 ) a2 x2 (t0 )
g
2
(t0
)
b1
x1
(t0
用系统的状态方程和输出方程描述系统输入、状态变量、 输出之间的关系。
状态方程：表示系统状态变量与输入之间的关系/方程。 对n阶系统，状态方程是由n个一阶微分方程（差分方程）组 成的方程组。
输出方程：表示系统输出与输入和状态变量之间的关系/ 方程。
对n阶系统，若有q个输出，输出方程是由q个代数方程组 成的方程组。
（1）初始状态：设初始时刻 K0 0 ，对n阶系统， 初始状态通常指：y(1) , y(2) , , y(n) .
K0 时刻状态的一般定义： K0 时刻的状态是数目最少的一组数，知道了这组数
和 K0, K 区间上的输入，就可完全确定系统在K时
刻的输出。
8.1 系统的状态空间描述
（2）状态变量、状态矢量： 状态变量：表示状态随时间变化的一组变量。
C
R
f1
L2 uL2
f2
b
列状态方程:
选状态变量:
x1 iL1 , x2 iL2 , x3 iC。
设输出为:
y1 uL2 , y2 uab
第一步: 关于L1x1, L2 x（2 电感电压）列KVL方程： L1x1 uL1 f1 x3 R(x1 x2 ) f2 Rx1 Rx2 x3 f1 f2 L2 x2 uL2 x3 R(x1 x2 ) f2 Rx1 Rx2 x3 f2
第八章_状态变量分析法
uC
( I 0 ,U 0 )
O
uC
( I 0 ,U 0 ) iL
uC
( I 0 ,U 0 )
O
iL
O
iL
(a) 欠阻尼情况
(b) 无阻尼情况
(c) 发散情况
（2）无阻尼情况：状态轨迹是以原点为对称的椭圆。 （3）欠阻尼情况：状态轨迹是从t=0+ 到t= 时的螺旋线。
响应为增幅振荡情况：在t趋于 时，零输入响应成为无界，
1 ( t ) λ (t ) ( t ) 2
状态空间：
1 t t t 2 t n
状态矢量λ(t)所在的空间。如果一个系统需要n个状态变量来描述
，则状态矢量是n维矢量，对应的状态空间就是n维空间。 状态轨迹： 在状态空间中状态矢量端点随时间变化所描出的路径称为状态轨迹 。
状态变量分析法定义： （1）用任意瞬时的状态值和此以后的激励可以唯一地 确定的任意时的状态。 （2）用任意瞬时的状态值和此瞬时以后的激励值就可 以唯一地确定此瞬时电路中所有变量的值。 状态变量法是以系统内部变量为基础建立的系统方程 。由于它可以引用控制系统理论的概念、方法，又适宜于 计算机的数值求解，所以不仅对于单输入单输出系统的分 析，而且更适用于多输入多输出系统、非线性系统以及时 变电路的分析。
x Ax Bf
（1）当 f= 0，x0 0时，状态方程描述零输入响应；
（2）当f 0，x0= 0时，状态方程描述零状态响应； （3）当f 0，x0 0时，状态方程描述完全响应。
状态变量分析法的名词
状态失量的定义：
能够完全描述一个系统行为的n个状态变量构成状态矢量。如一个二
第八章 系统的状态空间分析
总之，对于电网络系统，我们可以选取全部独立电容电压和独立 电感电流作为系统的状态变量。
鉴于连续系统状态方程是状态变量的一阶微分方程的这一事实， 我们在选取独立电容电压 uc 、电感电流 iL 作为状态变量后，如果对接 有电容的节点列写 KCL 方程，对含有电感的回路列写 KVL 方程，那 么方程中就会含有我们需要的状态变量的导数项 uC 和 iL 。当然，这些 方程中也可能含有电压源电压、电流源电流、电容电压、电感电流及 电阻电流、电压等项，其中前面四项在状态方程中是允许的，而电阻 电流、电压等项是不允许的。因此，只要设法消去这些不允许的“非 法”项，我们就能得到标准的状态方程。对于输出方程，由于是代数 方程，一般可用观察法直接列出。
x(t0
)已知⎫ ⎬
⎭
(3 − 3(a)) (3 − 3(b))
式（3-3（a））是 x(t) 的一阶微分方程。若已知 x(t) 在初始时刻 t0 的
值 x(t0 ) 和 t ≥ t0 时的输入 f (t) ，则容易解出方程的未知量 x(t) 。再将 x(t) 和
f (t) 代入式（3-3（b））即可得到 t ≥ t0 时的输出 y(t) 。简言之，利用数
本章将讨论系统的状态变量分析法，用这种方法可以描述系统的 内部特征。用状态空间描述系统有很多优点：
1．能够揭示系统的内部特征。 2．可以使我们用同一方法处理多输入和多输出系统。 3．这种方法可以扩展到非线性时变系统的研究。 4．由于状态方程都是一阶微分方程或一阶差分方程，因而便于 采用数值解法，为使用计算机分析系统提供了有效的途径。 本章主要介绍以下几部分内容： 1. 介绍系统状态变量的概念和状态空间描述法。 2. 给出系统状态空间方程的建立和求解方法。 3. 简要地讨论状态空间中系统稳定性的判定问题。
信号与系统_张华清_第八章系统的状态变量分析
其特征根 1 2 2 是二重根。
齐次解的函数表达式为：
yh (k) (C1k C2 )(2)k， k 0
在特征根是共轭复根的情况下，齐次解的形式可以是等 幅、增幅或衰减等形式的正弦（或余弦）序列。
假设 1, 2 e j 是一对共轭复根，则在齐次解中，相
应部分齐次解为： C1 cos(k) C2 sin(k) k
k
例3.2-5
信号与系统 第三章例题
例3.2-5 已知某线性时不变离散系统的差分方程如下式所示，
试写出其齐次解的函数形式。
y(k) 4y(k 1) 4y(k 2) e(k) 3e(k 1)
解
此差分方程所对应的特征方程为
2 4 4 0 ( 2)2 0
法。
离散系统的数学模型为差分方程，所谓离散系统的时域 分析，就是在时间域（简称时域）中求解差分方程，以及求 解系统的单位序列响应、阶跃响应等。
求解差分方程与求解微分方程有许多相似之处，其经典 解法的全解也可分为齐次解和特解。
离散系统按照响应的不同来源也可分为零输入响应和零 状态响应；求零状态响应也可利用卷积计算求解。
其特征根为： 1 2，2 3 则其齐次解可写为： yh (k) C1(2)k C2 (3)k， k 0
将 y(0) = 1， y(1) = 0，代入上式，可得
C1 C2 1 2C1 3C2
0
C1 C2
3 2
所以
yh (k) 3(2)k 2(3)k， k 0
解
此齐次差分方程所对应的特征方程为
4 23 22 2 1 0 ( 1)2 (2 1) 0
第八章系统的状态变量分析-
四.简单实例：串联谐振电路。
1.只关心激励e(t)与电容两端电压 v c (t ) 之间的关系列输入输出
模型
iRL(Lit)(t)CLdddvcdLi(tt()tt)vc(t)e(t)
(1) (2)
Ld C 2 d vc 2 (tt)Rd C d c(v t)tvc(t)e(t)
2. iL(t)vc(t)在 e(t)的作用下，是一些随时间变化的量，若知道
部特性。 2.适于单输入单输出系统。 3.经典线性理论的系统函数概念不能用来处理非线性，时变系统。 二.现代理论的优点 1.引入描述系统内部特性的状态变量，建立状态方程，可以揭示系统的内部
特性。 2.适用于多输入-多输出系统。 3.可用来描述时变系统，非线性系统。 4.易于利用计算机求解。 三.本章主要内容 1.状态方程的普遍形式。 2.连续时间系统状态方程得建立及求解。 3.离散时间系统状态方程得建立及求解。 4.系统的可控性和可观性。
3、状态向量(矢量)：将n阶系统的n个状态变量 x1 (t) ，x2 (t) ，… xn (t) 排成一个n*1阶的列变量x(t)，即：
x (t)
x1 (t)
x
2
(t
)
...
x n ( t )
= x1(t)...x.n.(t.).T
Байду номын сангаас
每两个状态都为状态向量的一个分量，或称坐标。
4、状态空间：以n个状态变量为坐标轴而构成的n维空间称为状 态空间。任意状态x(t)都可用状态空间中的一个点来表示。
例：若有两个状态 x1 (t) , x2 (t ) ，则状态向量
x(t)
x1 x2
(t) (t)
状态空间是由 x1 (t) , x2 (t) 为轴构成的二维空间。 5、状态轨迹：在状态空间中状态矢量随时间变化而描出的路径。
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二、状态方程和输出方程
在选定状态变量的情况下 ，用状态变量分析系统时， 一般分两步进行： （1）第一步是根据系统的初始状态求出状态变量； （2）第二步是用这些状态变量来确定初始时刻以后的 系统输出。 状态变量是通过求解由状态变量构成的一阶微分方 程组来得到，该一阶微分方程组称为状态方程。 状态方程描述了状态变量的一阶导数与状态变量和 激励之间的关系 。而描述输出与状态变量和激励之 间关系的一组代数方程称为输出方程 。
写成矩阵形式： 状态方程
(t ) Ax(t ) Bf (t ) x 输出方程 y(t ) Cx(t ) Df (t )
其中A为n×n方阵，称为系统矩阵， B为n×p矩阵，称为控制矩阵， C为q×n矩阵，称为输出矩阵，D为q×p矩阵 对离散系统，类似
状态方程
x(k 1) Ax(k ) Bf (k ) 输出方程 y(k ) Cx(k ) Df (k )
状态与状态变量的定义
系统在某一时刻t0的状态是指表示该系统所必需最 少的一组数值，已知这组数值和t≥t0时系统的激励， 就能完全确定t≥t0时系统的全部工作情况。 状态变量是描述状态随时间t 变化的一组变量， 它们在某时刻的值就组成了系统在该时刻的状态。 在初始时刻的值称为初始状态。 对n阶动态系统需有n个独立的状态变量，通常用 x1(t)、x2(t)、…、xn(t)表示。 说明（1）系统中任何响应均可表示成状态变量及 输入的线性组合；（2）状态变量应线性独立； （3）状态变量的选择并不是唯一的 。
通常将状态方程和输出方程总称为动态方程或系统方程。
对于一般的n阶多输入-多 输出LTI连续系统，如图 。 其状态方程和输出方程为
f1(t) f2(t) ┇ fp(t)
{xi(t0)}
y1(t) y2(t) ┇
yq(t)
1 a11 x1 a12 x 2 a1n x n b11 f1 b12 f 2 b1 p f p x 2 a 21 x1 a 22 x 2 a 2n x n b21 f1 b22 f 2 b2 p f p x n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn1 f1 bn 2 f 2 bnp f p x
R2
us1
uC
us2
d uC 1 1 iL1 iL 2 dt C C d iL1 1 R 1 uC 1 iL1 u S 1 dt L1 L1 L1 d iL 2 1 R2 1 uC iL 2 u S 2 dt L2 L2 L2
这是由三个内部变量uC(t)、iL1(t)和iL2(t)构成的一 阶微分方程组。 若初始值uC(t0)、iL1(t0)和iL2(t0)已知，则根据t≥t0时 的给定激励uS1(t)和uS2(t)就可惟一地确定在t≥t0时的解 uC(t)、iL1(t)和iL2(t)。 u (t ) R 2 i L 2 (t ) u S 2 (t ) 系统的输出容易地由 iC (t ) i L1 (t ) i L 2 (t ) 三个内部变量和激励求 出： 一组代数方程
8.1 状态变量与状态方程 一、状态与状态变量的概念 从一个电路系统实例引入
以u(t)和iC(t)为输出 若还想了解内部三个 变量uC(t), iL1(t), iL2(t) 的变化情况。 这时可列出方程
R1 iL1 L1
a a
uC
iL2 L2 iC
R2
us1
u
us2
du C C iL 2 iL1 0 dt d iL1 R1iL1 L1 uC u S 1 0 dt d iL 2 L2 R2iL 2 u S 2 uC 0 dt
y1 c11 x1 c12 x 2 c1n x n d11 f1 d12 f 2 d1 p f p y 2 c 21 x1 c 22 x 2 c 2n x n d 21 f1 d 22 f 2 d 2 p f p y q c q1 x1 c q 2 x 2 c qn x n d q1 f1 d q 2 f 2 d qp f p
d uC 1 1 iL1 iL 2 dt C C d iL1 1 R1 1 uC iL1 u S 1 dt L1 L1 L1 d iL 2 1 R2 1 uC iL 2 u S 2 dt L2 L2 L2
R1 iL1
L1
a iL2 L2 iC u
状态变量分析的关键在于状态变量的选取以及状态方程的建立。
8.2 连续系统状态方程的建立 一、由电路图直接建立状态方程
首先选择状态变量 。 通常选电容电压和电 感电流为状态变量。 必须保证所选状态变 量为独立的电容电压 和独立的电感电流。
第八 章
8.1
系统状态变量分析
状态变量与状态方程
一、状态变量与状态方程 二、动态方程的一般形式
8.2
状态方程的建立
一、电路状态方程的列写 二、由输入-输出方程建立状态方程
8.3 8.4 8.5
离散系统状态方程的建立 连续系统状态方程的解 离散系统状态方程的解
第八章
系统状态变量分析
前面的分析方法称为外部法，它强调用系统的输 入、输出之间的关系来描述系统的特性。其特点： （1）只适用于单输入单输出系统，对于多输入多输出 系统，将增加复杂性； （2）只研究系统输出与输入的外部特性，而对系统的 内部情况一无所知，也无法控制。 本章将介的内部法——状态变量法是用n个状态 变量的一阶微分或差分方程组（状态方程）来描述系 统。优点有：（1）提供系统的内部特性以便研究。 （2）便于分析多输入多输出系统； （3）一阶方程组便于计算机数值求解。并容易推广用 于时变系统和非线性系统。