高二数学空间直线和平面单元练习

个平面 .
17. 正方体 AC1 中， M、 N 分别为 B1C1 和 BB1 的中点，则 MN和 B1D1 所成角为
.
18. 矩形 ABCD中， AB=4,AD=3,PA⊥平面 AC，且 PA=1，则 P 到 BC的距离为
.
19.P 是边长为 a 的正三角形外一点， 且 PA=PB=PC=，a 则 PB 与平面 ABC所成角的正弦值
∴
HD
HG=
PA
15
5
PD
55
tan ∠ QGH= 1
5
5
5
∠ QGH=arctan 5
2.(1) 延长 BD交α 于 D B 、 C 在 α上的射影为 G、 H.则
G、 H、D 共线 BG=2GH ∴ BC=CD
∴∠ BAD=90° ,GA⊥ AD,∠BAG为所求 .
sin ∠ BAC=BG
2a
2a
A.0 个
B.1
个
C.2
个
D.
最多 1 个
15. 正方体 ABCD— A1B1C1D1 中， M、N 分别是棱 A1A 和 B1B 的中点， 若 θ为 CM和 D1N 所成的
角，则 sin θ 的值为 ( )
1
A.
B.
9
2
C.
3
25
D.
3
4 5
9
二、填空题
16. 一条直线与这条直线外的四点最多可确定
.
2.(1997 全国理 ) 如图在正方体 (1) 证明： AD⊥ D1F； (2) 证明 AED⊥面 A1FD1；
ABCD— A1B1C1D1 中， E、 F 分别是 BB1、 CD的中点 .
3.(1998 年 ) 已知斜三棱柱 ABC— A1B1C1 的侧面 A1ACC1 与底面 ABC垂直，∠ ABC= 90°，
的对角线 AC 与 BD的关系是 ( )
A.AC⊥BD
B.AC
与 BD共面 C.AC=BD
D.
不能确定
7. 已知 ABCD为正方形，过 A 作 SA⊥平面 ABCD，若 AB=SA，则面 SAB与面 SCD所构成二
面角的度数是 ( )
A.30 °
B.45
°
C.60
°
D.90
°
8. 异面直线所成角取值集合为 A，直线与平面所成角取值集合为 B，平面斜线与平面所
成角取值集合为 C，则它们角的集合关系为 ( )
A.A B C
B.B
AC
C.C
AB
D.C
BA
9. 一直线与直二面角的两个面所成角分别为 θ 1 与 θ 2，则 θ1+θ 2 的值是 ( )
A.90 °
B.
不超过 90° C. 不小于 90° D. 以上三种情况都可能
10. 如图， PC⊥平面 α 于 C， ABα ，PB⊥ AB，则线段 PB、 PA、 PC的关系式是 ( )
60°角，则这样的直线有 ( )
A.2 条
B.2
条或 3 条 C.4
条
D.2
条或 3 条或 4 条
5. 异面直线在同一平面的射影不可能是 ( )
A. 两条平行直线 B. 两相交线 C. 一点与一直线 D. 同一直线
6. 空间四边形 ABCD四条边的中点为 E、F、 G、 H，且 EFGH为菱形，则空间四边形 ABCD
∴ A′ E=HB′ = 22 1 = 5
B′ G=2 1 2 5 55
∴ HG= 5 2 5 3 5 55
【能力素质提高】 1.(1) 过 C′作 C′ G⊥面 BAD于 G，连结 DG. ∵ AD=BA=2 AD⊥ AB ∴∠ ADB=45° 又∵∠ ADC=180° -45 ° =135° ∴∠ BDC=135° -45 ° =90° 即 BD⊥ DC BD⊥ DC′ BG⊥ BD ∴∠ GDC′ =60° C′ G为所求
为( )
A. 1 2
B.
1 14
C.
2
4
1 15 4
13. 三棱锥 P— ABC中， 顶点 P 在底面 ABC上的射影为
D.
13
2
O且 S△OAB=S△OBC=S△ , OCA 则 O 是△ ABC
的( )
A. 内心
B.
外心
C.
重心
D.
垂心
14.a 、b 是异面直线， AB为其公垂线，直线 l ∥ AB，则 l 与 a、 b 的交点个数为 ( )
∵ AB=a,AC= 2 a,OG=
2
3
a,AG=
2a
4
4
PG= PA2 AG2
a2 9 a2 8
34
a
4
△ OHG∽△ PAG OH PA OG PG
PA OG a
OH=
=
PG
2a 4= 17
a 8
17
a
7
【渗透拓展创新】
1.(1) 若存在 Q，则 PA⊥面 ABCD AQ⊥ QD
设 BQ=x,则 CQ=a-x
∴∠ GAC′ =60°
63 2
(1 题图 )
(2
题图 )
2.(1) 取 BC中点 O，则 AB=AC AO⊥ BC.BC′ =CC C′ O⊥ BC.
∴ BC⊥面 AOC BC⊥ AC′
(2) 面 BB′ C′ C⊥面 ABC ∴ AO⊥面 BB′ C′C C ′ O⊥底面 ABC，面 ABC∥面 A′ B′ C′
△ ABQ∽△ QCD 即 1 = a x 有解 x1
x2-ax+1=0( 有解 ) 亦即 Δ≥ 0,a 2-4 ≥0,a ≥ 2
(2) Δ =0 即 a=2 时， x=1,Q 为中点取 AD中点 H，过 H 作 HG⊥PD于 G，则 GH∥ CD， CH⊥
AD， QH⊥面 PA D
由三垂线定理 QG⊥ PD，∠ QGH为所求 HG HD PAA PD
15.D 16.8 个 17.60 ° 18. 13 19. 6 20.60 °或 120° 21. 2
5
3
22. 延长 AO到 E 则 AE⊥ BC，又∵ DO⊥面 ABC，∴ DE⊥ BC ∠ DEO=30° 又∵ AO=a ∴
OE=1 a DE= 3 a BC= 3 a
2
3
1
1
∴ S△ = BDC BC· DE= ·
α =arcsin
21b
【高考真题演练】 1. 本题涉及的面较广， 但均考查基础知识与三种语言互译能力， 以及空间想像力， 要求 把线 线，面线，面面关系转化清楚，正确的为 (1)(4). 2.(1) 欲证 AD⊥ D1F，只需证 AD⊥ DF， ( ∵ DF 为 D1F 在面 AC 上的射影 ) 而这是显然的 ( 或 证 AD⊥面 D1C.) (3) 欲证面 AED⊥ A1FD1，只需在其中一个平面内“找”一条直线是另一个平面的垂线即 可，则 ( Ⅰ ) 已知 D1F⊥ AD,D1 下是否垂直于 AE或 DE，取 AB 的中点 G，连结 A1 D，则 A1G ∥ D1F; 另证 A1G⊥ AE,∴ D1F⊥ AE,这里关键是 AB的中点 G的选取，也需要空间想象力 .
C′ G=C′ D· sib60 ° =2
2·
3 =6
2
(2)DG=C′ D· cos60° =2 2 · 1 = 2 又 AD=2 A 到 BD的距 离 AO=AD· sin45 ° =2 2
2 α× = 2
2
∴ AG∥OD，即 AG⊥ DG，∠ GAC′为所求 .
CG
tan ∠ GAC′ =
AG
3.(1) 欲求角只需找到 AA1 在面 ABC上的射影， 由于面 A1ACC1⊥面 ABC，AC为射影， 求出 ∠A1AC即可，∠ A1AC=45°；
a，点 D在平
23. 正方体 ABCD—A′ B′ C′ D′中， E、 F 分别是棱 B′ B、 CD的中点， AA′ =2，求 F 到 面 A′ D′ E 的距离 .
【能力素质提高】 1. 已知直角梯形 ABCD中，AD∥ BC，AB⊥ AD，∠ C=45°,AD=AB=2,把梯形沿 BD折起成 60°
2. 等边 ABC的 A∈平面 α， B、 C 到面 α 的距离分别为 2a、 a，且 AB=BC=AC=b. (1) 求面 ABC与α 所成二面角的大小； (2) 若 B、 C 到 α的距离分别为 3a、 a 呢 ?
【高考真题演练】
1.(1997 全国 ) 已知 m、 l 是直线， α、 β 是平面，给出下列命题 .
的二面角 C′ -BD-A. 求： (1)C ′到平面 ADB的距离； (2)AC ′与 BD所成的角 .
2. 斜三棱柱 ABC— A′ B′C′的底面是正三角形，且 C′ B=C′ C. (1) 证明： AC′⊥ BC； (2) 若侧面 BCC′ B′垂直于底面，侧棱长为 3，底棱长为 2，求两底面间的距离 .
3. 正方体 ABCD中， E、 F 为 BC、 DC的中点 PA⊥平面 ABCD， PA=AB=a，求 B 到面 PEF 的 距离 .
【渗透拓展创新】 1. 已知矩形 ABCD， AB=1，BC=a，又 PA⊥平面 ABCD，且 PA=1. (1) 问 BC边上是否存在在点 Q，使 PQ⊥ QD，并说明理由； (2) 若 BC边上有且只有一个点 Q，使 PQ⊥ QD，求此时二面角 Q-PD-A的大小 .
A.PA＞PC＞ PB
B.PC
＞ PB＞ PA
C.PA＞PB＞ PC
D.PB
＞ PA＞ PC
11. 矩形 ABCD中， AB= 2 ,BC= 6 , 沿对角线 AC折起成直二面角，则 AC与 BD的距离
为( )
A.2 2
B.
2
C.1
D.2
3
12. 等边△ ABC的边长为 1， BC上的高是 AD，若沿 AD折成直二面角，则 A 到 BC的距离
(2) 如果一个平面内有无数条直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
(3) 如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行；
(4) 垂直于同一平面的两平面平行 .
其中正确的是 ( )
A.(1)(3)(4) B.(2)(3)(4) C.(3)
D.(4)
4. 经过空间一点作直线，使它与异面直线都成
是
.
20. α -l- β 是直二面角， A∈ l,AB α ,AB β ,AB、 AC 与 l 所成角均为 45°，则∠
BAC=
.
21. 正方体 ABCD— A1B1C1D1 的棱长为 a，则截面 A1BD 底面 A1B1C1D1 所成角 的正切
是.
三、解答题 22. 已知二面角 A-BC-D 等于 30°，△ ABC是等边三角形，其外接圆半径为 面 ABC上射影是△ ABC的中心 O，求 S△ . DBC
一、选择题
高二数学空间直线和平面单元练习
1. 下列各条件可以确定平面的是 ( )
A. 六边形
B.
两两相交的三条直线
C. 两两平行的三条直线
D.
梯形
2. 正方形的一条对角线与正方体的棱所组成的异面直线有
()
A.12 对
B.10
对
C.8
对
D.6
对
3. 给出下列四个命题：
(1) 如果一个平面内有两条直线分别平行于另一个平面，那么这个平面平行；
∴ OC′为两平面间的距离， OC′为所求 .
∵ BC=AC=AB=2 ∴ CO=1 CC′ =3 ∴ OC′ = 32 1 2 2
3. 取 BD中点 O， AC交 EF于 G.连结 PG.过 O作 OH⊥ PG于 H，则 ∵ BD∥EF ∴求 B 到面 PEF的距离即为 O到面 PEF的距离 .
∴面 PAG⊥面 PEF， OH⊥面 PEF ∴OH为所求 .
BC=2,AC=2 3 , 且 AA1⊥ A1C，AA1=A1C.
(1) 求侧棱 AA1 与底面 ABC所成角的大小； (2) 求侧面 A1ABB1 与底面 ABC所成二面角的大小； (3) 求顶点 C 到侧面 A1ABB1 的距离 .
[ 参考Leabharlann Baidu案 ]
【课内四基达标】 1.D 2.D 3.C 4.D 5.D 6.C 7.B 8.C 9.B 10.B 11.C 12.B 13.C 14.D
(1) 若 l 垂直于 α 内的两条相交直线，则 l ⊥α ；
(2) 若 l 平行于 α ，则 l 平行于 α内的所有直线；
(3) 若 m α ，l β ，且 l ⊥ m,则α ⊥ β ；
(4) 若 l β ，且 l ⊥ α ，则 α ⊥ β；
(5) 若 m α ,l β , 且 α⊥ β 则 m∥ l. 其中正确命题序号是
∠ BAG=arcsin
AB b
b
(2) BG
BD
=3
CH CD
b
∴ BC=2CD CD=
2
AD2=AC2+CD2+AC· CD=7b2 4
∴ AD= 7 b 2
AC CD 3
C到 AD的距离为
2
21b
AC
14
设所成角为 α ，则
sin α = a 21b
14
14a 14 21a 21b 21b
14 21a
3 a×
3a= 1a
2
2
32
(22 题图 )
(23
题图 )
23. 取 AB中点 H，则 HF∥AD∥ A′D′，连结 HB′交 A′ E 于 G.
又∵ AD⊥面 ABB′ A′ ∴HF⊥ HG ①
∵△ HBB′≌△ EB′ A′∴∠ HBE′ +∠A′ EB′ =90°∴ HG⊥ A′ E ②
HB⊥面 A′ B′ E， HG为所求 .