2021届绵阳一诊数学模拟5
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在 中，由余弦定理得 ，解得
所以 ，所以 ，
所以三角形的面积为
20.解(1)对 求导得 .所以有
当 时， 区间上单调递增， 区间上单调递减， 区间上单调递增；
当 时， 区间上单调递增；
当 时， 区间上单调递增， 区间上单调递减， 区间上单调递增.
(2)由（1）知 时， 在区间 上单调递减， 区间上单调递增.
20．已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ，是否存在实数 ，使得 在区间 的最小值为 且最大值为1？若存在，求出 的所有值；若不存在，说明理由.
21．已知函数 ，( 是自然对数的底数).
（1）求 在点 处的切线方程；
（2）若函数 ，证明： 有极大值 ，且满足 .
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22．在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）若射线 （ ）与直线 和曲线 分别交于 ， 两点，求 的值.
23．已知函数 .
（1）解不等式 ；
（2）记函数 的最小值为m，正实数a，b满足 ，试求 的最小值.
①若 ，即 时， 在区间 上单调递减，
所以区间 上最大值为 ，最小值为
即 解得 .
②若 ，即 时， 在区间 单调递减，在区间 单调递增，所以区间 上最小值为 ，最大值为 或
当 时， ，故所以区间 上最大值为 .
即 相减得 ，即 ，又因为 ，所以无解.
当若 时， ，故所以区间 上最大值为 .
即 相减得 ，解得 ，又因为 ，所以无解.
综上得 .
21.解（1） ，
所以 ，又
故， 在点 处的切线方程为
（2）因为 ，
设 ，
令 ，解得 .
在 时， ， 单调递减，
在 时， ， 单调递增；
又 ， .
由零点存在性定理：设 ，使得： ，
即 .
又 即
∵在 ， ，∴ 单调递增；
在 ， ，∴ 单调递减；
在 ， ，∴ 单调递增；
∴ 有极大值 .∵有 .
13．若实数 满足 ，则 的最小值是.
14．函数 的最大值为______．
15．已知函数 是定义在 的偶函数，且在区间 上单调递减，若实数 满足 ，则实数 的取值范围是__________．
16．已知函数 ， ，对一切 ， 恒成立，则实数 的取值范围为________.
3、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
所以数列 是以3为首项，3为公比的等比数列，
其通项公式为 .
（2）由（1）得， ，所以 ，
因为 ，所以 即 ，
解得 ，所以使得不等式成立的 的最大值为6．
19.解（1）在 中，因为 ，
由正弦定，所以
因为 是三角形的内角，所以 或
（2）由（1）知 ，因为 ，
所以 为等腰三角形，且 ，在 中，设 ，
又∵ ，∴ ，
.
综上可得：函数 有极大值 ，且满足 .
22.解（1）由 得 ，
将 （ 为参数）消去参数 ，得直线 的普通方程为 （ ）.
由 得 ，
将 ， 代入上式，得 ，
所以曲线 的直角坐标方程为 .
（2）由（1）可知直线 的普通方程为 （ ），
化为极坐标方程得 （ ），
当 （ ）时，设 ， 两点的极坐标分别为 ， ，
9．函数 的最小正周期为 ，若其图象向右平移 个单位后得到函数为奇函数，则函数 的图象（）
A．关于点 对称B．在 上单调递增
C．关于直线 对称D．在 处取最大值
10．如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高 ， ，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为45°， ，则两山顶A、C之间的距离为（）
参考答案
1、选择题1-5 BDCCD 6-10 ABCAB 11-12 DB
二、填空题13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解（1）
，
函数 的最小正周期为 ；
由 ，得 ，
所以 的减区间为
（2）由 可得， ，
， ，
又 ， ，
，
.
18.解（1）由已知 ，有 ，
两式相减得 ，即 ，
即 ，又因为 ，所以 ，
A． B．
C． D．
5．命题 ， ；命题 ： ；则下列是真命题的（）
A． B． C． D．
6．已知向量 ， ，且 ，则 （）
A． B． C．4D．5
7．设 ， ， ，则（）
A． B． C． D．
8．已知函数 的图象在点 处的切线 与直线 垂直，若数列 的前 项和为 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
则 ， ，
所以 .
23.解（1）依题意得 ，
因为 ，所以 ，或 ，或 ，
解得 ，或 ，或 .
所以 ，即不等式 的解集为 .
（2） ，
当且仅当 ，即 时取等号.
则 ， ，
因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，且 ，即 ， 时取等号，
所以 的最小值为 .
2021届绵阳一诊数学模拟5
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1．已知集合 ，集合 ，则集合 （）
A． B．
C． D．
2．设 ，若 ，则下列不等式中正确的是（）
A． B． C． D．
3．设一元二次不等式 的解集为 ，则ab的值为（）
A．-6B．-5C．6D．5
4．下列函数中，为偶函数的是（）
A． B．
C． D．
11.已知菱形 的边长为2， ，点 ， 分别在边 ， 上， ， ，若 ，则 的值为( )
A．3B． C． D．2
12．已知函数 ， 则方程 恰有两个不同的实根时，实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
2、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
17．已知函数 ．
（1）求函数 的最小正周期及单调递减区间；
（2）若 ， ，求 ．
18．已知数列 的前 项和为 ，满足 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）记数列 的前 项和为 ，求使得 成立的 的最大值．
19．在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， .
（1）求 ；
（2）若 为锐角， ， 边上的中线长 ，求 的面积.
所以 ，所以 ，
所以三角形的面积为
20.解(1)对 求导得 .所以有
当 时， 区间上单调递增， 区间上单调递减， 区间上单调递增；
当 时， 区间上单调递增；
当 时， 区间上单调递增， 区间上单调递减， 区间上单调递增.
(2)由（1）知 时， 在区间 上单调递减， 区间上单调递增.
20．已知函数 .
（1）讨论 的单调性；
（2）若 ，是否存在实数 ，使得 在区间 的最小值为 且最大值为1？若存在，求出 的所有值；若不存在，说明理由.
21．已知函数 ，( 是自然对数的底数).
（1）求 在点 处的切线方程；
（2）若函数 ，证明： 有极大值 ，且满足 .
请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22．在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 .
（1）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程；
（2）若射线 （ ）与直线 和曲线 分别交于 ， 两点，求 的值.
23．已知函数 .
（1）解不等式 ；
（2）记函数 的最小值为m，正实数a，b满足 ，试求 的最小值.
①若 ，即 时， 在区间 上单调递减，
所以区间 上最大值为 ，最小值为
即 解得 .
②若 ，即 时， 在区间 单调递减，在区间 单调递增，所以区间 上最小值为 ，最大值为 或
当 时， ，故所以区间 上最大值为 .
即 相减得 ，即 ，又因为 ，所以无解.
当若 时， ，故所以区间 上最大值为 .
即 相减得 ，解得 ，又因为 ，所以无解.
综上得 .
21.解（1） ，
所以 ，又
故， 在点 处的切线方程为
（2）因为 ，
设 ，
令 ，解得 .
在 时， ， 单调递减，
在 时， ， 单调递增；
又 ， .
由零点存在性定理：设 ，使得： ，
即 .
又 即
∵在 ， ，∴ 单调递增；
在 ， ，∴ 单调递减；
在 ， ，∴ 单调递增；
∴ 有极大值 .∵有 .
13．若实数 满足 ，则 的最小值是.
14．函数 的最大值为______．
15．已知函数 是定义在 的偶函数，且在区间 上单调递减，若实数 满足 ，则实数 的取值范围是__________．
16．已知函数 ， ，对一切 ， 恒成立，则实数 的取值范围为________.
3、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
所以数列 是以3为首项，3为公比的等比数列，
其通项公式为 .
（2）由（1）得， ，所以 ，
因为 ，所以 即 ，
解得 ，所以使得不等式成立的 的最大值为6．
19.解（1）在 中，因为 ，
由正弦定，所以
因为 是三角形的内角，所以 或
（2）由（1）知 ，因为 ，
所以 为等腰三角形，且 ，在 中，设 ，
又∵ ，∴ ，
.
综上可得：函数 有极大值 ，且满足 .
22.解（1）由 得 ，
将 （ 为参数）消去参数 ，得直线 的普通方程为 （ ）.
由 得 ，
将 ， 代入上式，得 ，
所以曲线 的直角坐标方程为 .
（2）由（1）可知直线 的普通方程为 （ ），
化为极坐标方程得 （ ），
当 （ ）时，设 ， 两点的极坐标分别为 ， ，
9．函数 的最小正周期为 ，若其图象向右平移 个单位后得到函数为奇函数，则函数 的图象（）
A．关于点 对称B．在 上单调递增
C．关于直线 对称D．在 处取最大值
10．如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高 ， ，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为45°， ，则两山顶A、C之间的距离为（）
参考答案
1、选择题1-5 BDCCD 6-10 ABCAB 11-12 DB
二、填空题13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解（1）
，
函数 的最小正周期为 ；
由 ，得 ，
所以 的减区间为
（2）由 可得， ，
， ，
又 ， ，
，
.
18.解（1）由已知 ，有 ，
两式相减得 ，即 ，
即 ，又因为 ，所以 ，
A． B．
C． D．
5．命题 ， ；命题 ： ；则下列是真命题的（）
A． B． C． D．
6．已知向量 ， ，且 ，则 （）
A． B． C．4D．5
7．设 ， ， ，则（）
A． B． C． D．
8．已知函数 的图象在点 处的切线 与直线 垂直，若数列 的前 项和为 ，则 的值为（）
A． B． C． D．
则 ， ，
所以 .
23.解（1）依题意得 ，
因为 ，所以 ，或 ，或 ，
解得 ，或 ，或 .
所以 ，即不等式 的解集为 .
（2） ，
当且仅当 ，即 时取等号.
则 ， ，
因为 ， ，
所以 ，
当且仅当 ，且 ，即 ， 时取等号，
所以 的最小值为 .
2021届绵阳一诊数学模拟5
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
1．已知集合 ，集合 ，则集合 （）
A． B．
C． D．
2．设 ，若 ，则下列不等式中正确的是（）
A． B． C． D．
3．设一元二次不等式 的解集为 ，则ab的值为（）
A．-6B．-5C．6D．5
4．下列函数中，为偶函数的是（）
A． B．
C． D．
11.已知菱形 的边长为2， ，点 ， 分别在边 ， 上， ， ，若 ，则 的值为( )
A．3B． C． D．2
12．已知函数 ， 则方程 恰有两个不同的实根时，实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
2、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
17．已知函数 ．
（1）求函数 的最小正周期及单调递减区间；
（2）若 ， ，求 ．
18．已知数列 的前 项和为 ，满足 ，且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）记数列 的前 项和为 ，求使得 成立的 的最大值．
19．在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， .
（1）求 ；
（2）若 为锐角， ， 边上的中线长 ，求 的面积.