高等数学随堂讲义二重积分概念

的网眼 (小闭矩形)
(i) (ii)
i 可分为三类:
i P ;
i 上的点都是 P 的内点; i 上的点都是 P 的外点, 即 i 上含有 P 的边界点.
(iii)
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
将所有属于第(i) 类小矩形
(图 21-1 中紫色部分)的面 积加起来, 记这个和数为
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
(3) 取极限: 当直线网 T 的网眼越来越细密,
T 的细度 有
即分割
就
|| T || max d i ( d i 为 i 的直径)趋于零时, 1 i n
f ( , )
i 1 i i
n
i
V .
如求非 这些都是
这类问题在物理学与工程技术中也常遇到, 均匀平面的质量、重心、转动惯量等等.
S P (T ) sP (T ) . 由于
S K (T ) S P (T ) sP (T ),
所以也有
S K (T ) . 由上述推论, P 的边界K 的面积
为零.
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
定理21.3
若曲线 K 为定义在
[a , b] 上的连续函数
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
由确界存在定理可以推得, 数集
对于平面上所有直线网,
{ sP (T )} 有上确界,
T
{ S P (有下确界 T )} .
T
记
I P sup{ sP (T )}, I P inf{ S P (T )},
显然有
0 IP IP .
通常称
(1)
二重积分的性质
其中
f ( x , y ) 称为二重积分的被积函数, x, y 称为积
D 称为积分区域.
分变量,
当
f ( x , y ) 0 时, 二重积分
f ( x , y )d 在几何上
D
就表示以 体积. 当
z f ( x , y )为曲顶, D 为底的曲顶柱体的 f ( x , y ) 1时, 二重积分
O
z
z f ( x, y )
f ( x , y ) 为定义在可求
面积的有界闭域 D上的
x
y
非负连续函数.
面
求以曲
z f ( x , y ) 为顶, D 为
图 21-2
底的柱体 (图21-2) 的体积 V.
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
采用类似于求曲边梯形面积的方法. (1) 分割:先用一组平行于坐标轴的直线网 T 把区域
上
y ( 1 ( x )) (或 x ( 1 ( y )) ). 所以在
[t i 1 , t i ] 上的曲线面积为零, 从而整个曲线面积为零.
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
推论 2
由平面光滑曲线或按段光滑曲线所围的平面图形 都是可求面积的. 注1 平面中并非所有的点集都是可求面积的. 例如
体积
Vi 的近似值(如
即
x
O
( i ,i )
y
图21-3),
Vi f ( i , i ) i .
n n
图 21 3
把这些小平顶柱体的体积加起来, 就得到曲顶柱体
体积 V 的近似值
V Vi f ( i , i ) i .
i 1 i 1
§1二重积分概念
记 T 为由 可证得

2
, S P (T2 ) I P

2
.
(3)
T1 与 T2 这两个直线网合并所成的直线网,
sP (T1 ) sP (T ), S P (T2 ) S P (T ).
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的性质
于是由(3)可得
sP (T ) I P
(2) 近似求和: 由于
i 的直径都很小时,
相差无几, 因而可在
i 上任取一点
( i , i ),
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
用以
f ( i , i )为高, i 为底
z
的小平顶柱体的体积
f ( i , i ) i 作为 Vi 的
D 分成 n 个小区域
的一个分割). 以
i ( i 1, 2, , n) ( 称 T 为区域 D
i 表示小区域
i 的面积.
这个直
线网也相应地把曲顶柱体分割成 n 个以 曲顶柱体
i 为底的小
故当每个
Vi ( i 1, 2, , n).
f ( x , y ) 在 D 上连续, f ( x , y ) 在 i 上各点的函数值
, 均存在且不同时为零. 由隐函数存在性定理, t0 [ , ], ( t0 ) 0 (或 ( t0 ) 0 ), 因此 U ( t0 ; ), x ( t ) (或 y ( t ) ) 在 再由有限覆盖定理, 可把区间 U ( t0 ; ) 上有反函数.
数学分析 第二十一章 重积分 二 重积 分是 定积 分在 平面上的推广 , 不同之处在 于: 定积分定义在区间上,区 间的 长度容易计算 , 而二重 积分定义在平面区域上 , 其 面积的计算要复杂得多.
§1 二重积分概念
一、平面图形的面积 二、二重积分的定义及其存 在性
三、二重积分的性质
*点击以上标题可直接前往对应内容
I P 为 P 的内面积,
定义1
IP
为 P 的外面积.
若平面图形 P 满足 的图形,
I P = I P , 则称 P 为可求面积
I P I P I P 作为 P 的面积.
并把共同值
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
定理20.1
平面有界图形 P 可求面积的充要条件是:
0 , 平面图形 P 能被有限个面积总和

的小矩形所覆盖.
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
定理21.2
平面有界图形 P 可求面积的充要条件是: P 的边界 K 的面积为零. 证 由定理21.1, P 可求面积的充要条件是: 的
对任给
0 , 存在直线网T, 使得
f ( x)
的图象, 证 由于
则曲线 K 的面积为零.
f ( x ) 在闭区间
因而,
[a , b] 上连续,
所以它在
[a , b] 上一致连续.
0 , 0 , 当
a x0 x1 xn b ， max{xi xi xi 1 | i 1, 2, , n} 时, 可使 f ( x ) 在每个小区间 [ xi 1 , xi ] 上的振幅都成
y
P
sP (T ), 则有 sP (T ) R (这
里
O
图 21 1
x
R 表示包含P 的那个矩
形 R 的面积);
将所有第 (i) 类与第 (iii) 类小矩形的 记这个和数为
面积加起来(图 21-1中除青色部分),
S P (T ), 则有 sP (T ) S P (T ).
§1二重积分概念
|| T || 时, (4) 式都成立.
选取一些特殊的分割方法,
直线网来分割 D, 则每一小网眼区域的

的面积
x y .
此时通常把

D
f ( x , y )d 记作 (6)
f ( x , y)dxdy .
立
i

ba
.
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
即若把曲线 K 按 则每一小段都能被以 覆盖.
x x0 , x1 , , xn ,分成 n 个小段
xi 为宽, i 为高的小矩形所
由于这 n 个小矩形面积的总和
x
i 1 i
n
i

x ba
的任意性, 得
所以
由

IP IP ,
因而平面图形 P 可求面积.
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
推论
平面有界图形 P 的面积为零的充要条件是它 的外面积 使得
I P 0 , 即对任给的
S P (T ) ,
0 , 存在直线网 T,
或对任给的 小于
从而对直线网 T 有 充分性 设对任给的

2
, S P (T ) I P

2
.
S P (T ) sP (T ) .
0,
存在某直线网 T, 使得
S P (T ) sP (T ) .
但
sP (T ) I P I P S P (T ),
I P I P S P (T ) s P (T ) .

D
f ( x , y )d 的值
就等于积分区域 D 的面积.
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
注1 由二重积分定义知道, 若 可积, 则与定积分情形一样,
f ( x , y ) 在区域 D 上
对任何分割 T, 只要当 因此为方便计算起见, 常 如选用平行于坐标轴的
f 在 D 上属于分割 T 的一个积分和.
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
定义 2
设
f ( x , y ) 是定义在可求面积的有界闭域 D上
J 是一个确定的实数, 若对任给的正数
的函数.
, 总存在某个正数
当它的细度
, 使对于 D 的任何分割 T,
属于 T 的所有积分和都
对任给的
0 , 总存在直线网 T, S P (T ) sP (T ) .
及
使得
(2)
证 必要性 设有界图形 P 的面积为
I P I P I P . 0 , 由 I P
存在直线网
I P . 由定义 1, 有
IP
的定义知道, 分别
T1 与 T2 , 使得
sP (T1 ) I P
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
平面图形的面积
我们首先定义平面图形的面积. 我们称平面图形 P 是有界的, 使得 P R . 如果存在一矩形 R , 设 P 是一平面有界图形, 用平行于二坐标轴的某一 组直线网 T 分割这个图形 (图21-1) , 这时直线网 T
所要讨论的二重积分的实际物理背景.
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
上面叙述的问题都可归为以下数学问题.
设 D 为 xy 平面上可求面积的有界闭域,
定义在 D上的函数. 可求面积的小区域
f ( x , y) 为
个
用任意的曲线网把 D 分成 n
1 , 2 , , n .
i 1

n
i
,
因此由定理21.1 的推论即得曲线 K 的面积为零.
推论 1
参量方程
x ( t ), y ( t ) ( t ) 所表示的
其面积一定为零.
光滑曲线或按段光滑曲线,
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
证 由光滑曲线的定义，
D ( x , y ) x , y Q [0,1] .
易知
0 I D I D 1,
因此
D 是不可求面积的.
注2 以下讨论的有界闭区域都是指分段光滑曲线围成 的有界闭区域.
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
二重积分的性质
二重积分的定义及其存在性
二重积分的几何背景是 求曲顶柱体的体积. 设
i i n
|| T || 时,
i 1 i
有
f ( , )
记作
J ,
(4)
f ( x , y)
则称
f ( x , y ) 在 D 上可积, 数 J 称为函数
在D 上二重积分,
J f ( x , y )d ,
D
(5)
§1二重积分概念
平面图形的面积
二重积分的定义及其存在性
以
i 表示小区域 i 的面积, 这些小区域构成 D 的 一个分割 T, 以 d i 表示小区域 i 的直径, 称 || T || max d i
在每个
n
为T 的细度.
i 上任取一点
i i i
1 i n
( i , i ), 作和式
f ( , )
i 1
.
称它为函数
[ , ] 分成 n 段: t0 t1 t n , 使得在每一段 [t i 1 , t i ] 上，x ( t ) (或 y ()t存在 )
反函数
有连续的
t 1 ( x ) (或 t 1 ( x ) ), 于是在 [t i 1 , t i ]