大学物理学机械波练习题

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《大学物理学》机械波部分自主学习材料(解答)
一、选择题
10-1.图(a )表示0t =时的简谐波的波形图,波沿x 轴正方向传播,图(b )为一质点的振动曲线,则图(a )中所表示的0x =处质点振动的初相位与图(b )所表示的振动的初相位分别为( C ) (A )均为2π; (B )均为
π-; (C )π
与π-; (D )2π-与
2
π。

【提示:图(b )为振动曲线,用旋转矢量考虑初相角为
2
π-
,图(a )为波形图,可画出过一点时间的辅助波形,
可见0x =处质点的振动为由平衡位置跑向负方向,
则初相角为2
π】
10-2.机械波的表达式为0.05cos(60.06)y t x ππ=+,式中使用国际单位制,则( C ) (A )波长为5m ; (B )波速为1
10m s -⋅;
(C )周期为
1
3秒; (D )波沿x 正方向传播。

【提示:利用2k πλ=知波长为1003λ=
m ,利用u k ω=知波速为1
100u m s -=⋅,利用2T πω=知周期为1
3
T =秒,机械波的表达式中的“+”号知波沿x 负方向传播】
10-3.一平面简谐波沿x 轴负方向传播,角频率为ω,波速为u ,设4
T
t =时刻的波形如图
所示,则该波的表达式为( D )
(A )cos[()]x
y A t u
ωπ=-
+; (B )cos[()]2x y A t u π
ω=--;
(C )cos[()]2x y A t u π
ω=+-;
(D )cos[()]x
y A t u
ωπ=++。

【提示:可画出过一点时间的辅助波形,
可见在4
T
t =时刻,0x =处质点的振动
为由平衡位置向正方向振动,相位为2
π
-,
那么回溯在0t =的时刻,相位应为π】
O
O
10-4.如图所示,波长为λ的两相干平面简谐波在P 点相遇,波在点1S 振动的初相是1ϕ,到P 点的距离是1r 。

波在点2S 振动的初相是2ϕ,到P 点的距离是2r 。

以k 代表零或正、负整数,则点P 是干涉极大的条件为( D ) (A )21r r k π-=; (B )212k ϕϕπ-=; (C )21
2122r r k ϕϕππλ
--+=; (D )12
2122r r k ϕϕπ
πλ
--+=。

【提示:书上P62页原公式为21
2
122r r k ϕϕπ
π
λ
---=】
10-5.在驻波中,两个相邻波节间各质点的振动( B )
(A )振幅相同,相位相同; (B )振幅不同,相位相同; (C )振幅相同,相位不同; (D )振幅不同,相位不同。

【提示:由书上P67页驻波两波节间各点振动相位相同】
10--1.如图所示,有一横波在时刻t 沿Ox 轴负方向传播,则在该时刻( C ) (A )质点A 沿Oy 轴负方向运动;
(B )质点B 沿Ox 轴负方向运动; (C )质点C 沿Oy 轴负方向运动; (D )质点D 沿Oy 轴正方向运动。

【提示:可画辅助波形来判断】
10--2.设有两相干波,在同一介质中沿同一方向传播,
其波源相距32
λ
,如图所示,当A 在波峰时,B 恰
在波谷,两波的振幅分别为A 1和A 2,若介质不吸收
波的能量,则两列波在图示的点P 相遇时,该处质点的振幅为( A ) (A )12A A +; (B )12A A -; (C
; (D。

【提示:利用书上P62页公式为:21
2
123222
r r πλ
ϕϕπ
ππλλ---=-
⋅=-,加强】
8.如图所示,两相干平面简谐波沿不同方向传播,波速均为s m u /40.0=,其中一列波在A 点引起的振动方程为
11cos(2)2
y A t π
π=-
,另一列波在B 点引起的振动方程为
22cos(2)2
y A t π
π=+
,它们在P 点相遇,m AP 80.0=,m BP 00.1=,则两波在P 点
的相位差为: ( A ) (A )0; (B )π/2; (C )π; (D )3π/2。

【同上题提示】
10--3.当波在弹性介质中传播时,介质中质元的最大变形发生在( D ) (A )质元离开其平衡位置最大位移处; (B )质元离开其平衡位置A /2处; (C
)质元离开其平衡位置/A 处; (D )质元在其平衡位置处。

(A 为振幅)
【书P56页:体积元的动能和势能具有相同的相位,在平衡位置处动能和势能都达最大值】
A
B
1
S 2
S r



32
λP B
u
u
10.一个平面简谐波沿x 轴负方向传播,波速u=10m/s 。

x =0处,质点振动曲线如图所示,则该波的表式为
B ) (A ))2
20
2cos(2π
π
π+
+
=x t y m ;
(B ))
2
202
cos(2π
ππ
-+
=x t y m ;
(C ))2
20
2
sin(2π
π
π
++=x t y m ;
(D ))2
20
2
sin(

π
π
-
+
=x t y m 。

【提示:给出的是y -t 图,图中可定出振幅和周期、初相位,波数k 可由u k
ω=
得出】
11.一个平面简谐波沿x 轴正方向传播,波速为u =160m/s ,t =0时刻的波形图如图所示,则
该波的表式为(A )3cos(40)42y t x ππ
π=+-m ;
(B )3cos(40)42y t x π
π
π=++m ; (C )3cos(40)4
2
y t x π
π
π=--m ;
(D )3cos(40)42
y t x π
π
π=-
+m 。

【提示:给出的是y -x 图,图中可定出振幅和波长,圆频率ω可由u
k
ω
=
得出,初相位可用辅助波形判
断,本题可判断出x =0处,质点的振动是从平衡位置向正方向,则初相位为2
π
-

12.一个平面简谐波在弹性媒质中传播,媒质质元从最大位置回到平衡位置的过程中( C ) (A )它的势能转化成动能; (B )它的动能转化成势能;
(C )它从相邻的媒质质元获得能量,其能量逐渐增加; (D )把自己的能量传给相邻的媒质质元,其能量逐渐减小。

【同9题提示】
13.一平面简谐波在弹性媒质中传播时,在传播方向上某质元在某一时刻处于最大位移处,则它的 ( B ) (A )动能为零,势能最大; (B )动能为零,势能也为零; (C )动能最大,势能也最大;(D )动能最大,势能为零。

【同9题提示】
14. 电磁波在自由空间传播时,电场强度E 与磁场强度H
( C )
(A )在垂直于传播方向上的同一条直线上;(B )朝互相垂直的两个方向传播; (C )互相垂直,且都垂直于传播方向; (D )有相位差π/2。

【提示:参看电磁波示意图】
15. 在同一媒质中两列相干的平面简谐波强度之比是4:21=I I ,则两列波的振幅之比
21:A A 为 ( B )
(A ) 4; (B ) 2; (C ) 16; (D ) 1/4。

【提示:强度定义为振幅的平方】
16. 在下面几种说法中,正确的是:( C )
(A )波源不动时,波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的;
-)
-
(B )波源振动的速度与波速相同;
(C )在波传播方向上,任一质点的振动相位总是比波源的相位滞后; (D )在波传播方向上,任一质点的振动相位总是比波源的相位超前。

【中学问题】
17.两个相干波源的相位相同,它们发出的波叠加后,在下列哪条线上总是加强的?( A ) (A )两波源连线的垂直平分线上; (B )以两波源连线为直径的圆周上; (C )以两波源为焦点的任意一条椭圆上; (D )以两波源为焦点的任意一条双曲线上。

【提示:找出距离相同的那些点】
18.平面简谐波4sin(53)x t y ππ=+与下面哪列波相干可形成驻波?( D )
(A ))2325(2sin 4x t y +
=π; (B ))23
25(2sin 4x t y -=π;
(C ))2325(2sin 4y t x +=π; (D ))2
3
25(2sin 4y t x -=π。

【提示:找出正好方向相反的那个波】
19.设声波在媒质中的传播速度为u ,声源的频率为S ν,若声源S 不动,而接收器R 相对于媒质以速度R υ沿S 、R 连线向着声源S 运动,则接收器R 接收到的信号频率为:( B ) (A )S ν; (B )
R S u u υν+; (C )R
S u u
υν-; (D )
S R u u νυ-。

【提示:书中P71页,多普勒效应中,迎着静止波源运动频率高,公式为0'u u
υνν+=,远离静止波源运
动频率低,公式为0'u u
υνν-=

20.两列完全相同的平面简谐波相向而行形成驻波。

以下哪种说法为驻波所特有的特征:( C )
(A )有些质元总是静止不动; (B )迭加后各质点振动相位依次落后; (C )波节两侧的质元振动相位相反; (D )质元振动的动能与势能之和不守恒。

【提示:书中P67页,驻波波节两边的相位相反,两波节之间各点的振动相位相同】 二、填空题
10-7.一横波在沿绳子传播时的为0.20cos(2.50)y t x ππ=-,采用国际单位制,则(1)此横波沿x 的正向传播,波的振幅为0.20m 、频率为1.25Hz 、波长为2m 、波传播的波速为2.5/m s ;(2)绳上的各质点振动时的最大速度为0.5/m s π。

【提示:波动方程中的负号表明波沿x 的正向传播,利用波动标准方程cos()y A t k x ωϕ=-+比较可知振幅为0.20m 、频率为1.25Hz 、波长为2
m 、波传播的波速为/k υω=,得2.5/m s ;振动
速度不同于波速,应该用波动方程对时间求导,得最大速度为0.5/m s π。

】 10--4.图示中实线表示t =0时的波形图,虚线表示t =0.1秒时的波形图。

由图可知该波的
角频率ω=2.51
s π-;周期T =0.8 s ;
波速u =0.2 /m s ;
波函数为y =250.03cos(2.5)22
t x ππ
π-+
【提示:注意图中标的是厘米,图中可见波长为16厘米,可求出波数252
k π
=
;0.1秒波形向右跑了2
厘米,可求出波速0.2u
=,利用u k
ω=
知 2.5ωπ=,0.8T =;初相位看O 位置,O 位置在t =0和t =0.1
秒时间从平衡位置向下振动,旋转矢量初相位是2
πϕ=】
10-10.一周期为0.02秒,波速为100/m s 的平面简谐波沿ox 轴正向传播,0t =时,波源处的质点经平衡位置向正方向运动,则其波动方程为 ,距离波源15m 处的M 点的振动方程为 ,距离波源5m 处的N 点的振动方程为 。

【提示:∵ 0.02T
=,∴2100T
π
ωπ=
=,利用k u
ω=
知波数k π
=,由旋转矢量法知初相位
2
πϕ=-
,故波动方程为
cos(100)2y A t x πππ=--;将15x =代入,有cos(100)2M y A t ππ=+,
将5x =代入,有
cos(100)2
N y A t π
π=+】
4.一平面简谐波的周期为2.0s ,在波的传播路径上有相距为2.0cm 的M 、N 两点,如果N 点的相位比M 点相位落后π/6,那么该波的波长为 ,波速为 。

【提示:利用比例: :20.02:
6
π
λπ
=∴0.24m λ=,利用u T
λ
=
知0.24
0.12/2
u m s =
=】 5.处于原点(x =0)的一波源所发出的平面简谐波的波动方程为)cos(Cx Bt A y -=,其中
A 、
B 、
C 皆为常数。

此波的速度为 ;波的周期为 ;波长为 ;离波源距离为l 处的质元振动相位比波源落后 ;此质元的初相位为 。

【提示:以波的标准方程
cos()y A t k x ωϕ=-+比较,有u k
ω
=
=
B C
,2T π
ω
=
=
2B
π,
2k πλ=
=2C
π, 0l ϕϕ-=
lC -,∴落后lC ,此质元的初相位为lC -】
o
6.一驻波的表达式为22cos(
)cos 2x
y A t ππνλ
=,两个相邻的波腹之间的距离为 。

【提示:书中P67页,驻波相邻两波腹之间的距离为半个波长,即为/2λ】
7.一驻波方程为2
410cos 2cos 400y x t π-=⨯(SI 制),在x =1/6(m )处的一质元的振幅为 ,振动速度的表达式为 。

【提示:将x =1/6代入方程,有
2210cos 400y t -=⨯,有振幅为2210m -⨯,将驻波方程对t 求导,有
16cos 2sin 400d y
x t dt π=-,将x =1/6代入有:8sin 400t υ=-(或8cos(400)2
t πυ=+】 P69例.一列平面简谐波沿x 正方向传播, 波方程为3
10cos(200 )y t x ππ-=-(SI 制)。

如果在上述波的波线上L x =( 2.25L m =)
的A 处放一垂直波线的波密介质反射面,且假设反射波的振幅与入射波相等,则反射波的方程为 ;驻波方程为 。

【提示:将 2.25x =代入波方程,有简谐波正方向传播到A 处的振动方程为310cos(200)4
A y t π
π-=-,
考虑到反射波有半波损失,则反射波在A 处的振动方程为3310cos(200)4
fA y t π
π-=+,则以A 处为原
点的反射波方程为3310cos(200)4
fA y t x π
ππ-=++;将 2.25x =-代入反射波方程,有反射波在O
处的振动方程为
310cos(200)2fO y t ππ-=+,
则反射波波动方程为310cos(200)2
f y t x π
ππ-=++;驻波方程为
f y y y λ=+,有3210cos()cos(200)44
y x t ππππ-=⨯++】
10-30.两艘潜艇相向而行,甲潜艇速度为50km /h ,发出一个103
Hz 的音频信号,乙潜艇的
速度为70km /h ,若声音在水中的传播速度为5470 km /h ,则乙潜艇接收的音频频率
【提示:本题是波源与观察者同时相对介质运动的问题。

利用公式0
's
u u υν
νυ±=。

(1)取5470u =,50s υ=,070υ=,相向运动取0
's u u υννυ+=
-,有35540'105420
ν=
⨯=1022Hz 。

(2)反射回来的音50/km h
70/km h
频频率为'1022Hz ν
=,取5470u =,70s υ=,050υ=,相向运动取0
'''s
u u υννυ+=
-,有5520
''10225400
ν=
⨯=1045Hz 。

】 三、计算题
P53例2.一平面简谐波在介质中以速度u =20m/s 沿x 轴负方向传播,已知a 点的振动表达式为3cos 4a y t π=(SI 制)。

(1)以a 为坐标原点写出波动表达式;
(2)以距a 点5m 处的b 点为坐标原点,写出波动表达式。

解:(1)∵a 点的振动表达式为3cos 4a y t π=, 波动表达式为:cos()y A t
k x ωϕ=+,考虑到波沿x 轴负方向传播,
∴以a 为坐标原点的波动表达式可写成3cos(4)y t k x π=+ 利用波数k u
ω
=
,得4205k ππ=
=,
有以a 为坐标原点的波动表达式:3cos(4)5
y t x π
π=+; (2)将5x =-代入上式,有b 点的振动表达式为3cos(4)b y t ππ=-, 则以b 为坐标原点的波动表达式可写成3cos(4)y t k x ππ=+- 将5
k π
=
代入,有以b 为坐标原点的波动表达式3cos(4)5
y t x π
ππ=+
-。

10-8.波源作简谐运动,其运动方程为3
4.010cos 240y t π-=⨯,采用国际单位制,它所形成的波以30/m s 的速度沿一直线传播。

(1)求波的周期与波长;(2)写出波动方程。

解:(1)周期221240120T s π
πω
π=
=
=,波长11
301204
uT m λ==⨯=; (2)设直线传播方向为x 正向,波动表达式可写成3
410cos(240)y t k x π-=⨯- 利用波数k u
ω
=
,得240830
k π
π=
=,则波动方程:3410cos(2408)y t x ππ-=⨯-。

10-9.波源作简谐运动,其运动方程为0.05sin(102)y t x π=-,采用国际单位制。

(1)求波的波长、频率、波速与周期;(2)说明0x =时方程的意义,并作图表示。

解:波动方程可改写成标准式:0.05cos(102)2
y t x π
π=--。

(1)波长2k πλπ=
=,频率52Hz ωνπ==,波速5u k ωπ==,周期1
0.2T s ν
==;
u
a
b
(2)将0x =代入波动方程,有0.05cos(10)
O y t π
π=-,为波源的振动方程。

图像:
【注:波源的振动方程也可 以写成0.05sin10O y t π=】
10-12.图示为平面简谐波在0t =
,且此时图中P 点的运动方向向上。

求:(1)波动方程;(2)在距离原点为7.5米处质点的振动方程与0t =时该点的振动速度。

解:(
1)波动方程的标准式为: cos()y A t k x ωϕ=+。

图中可见0.1A m =,
圆频率2500ωπνπ==,波数210
k π
π
λ
=
=
,(图中可见,波长10m λ=)
根据P 点的运动方向向上,知简谐波沿x 负方向传播,有:0.1cos(500)10
y t x π
πϕ=++,
不难看出,0t =时原点处质元向y 轴负方向运动,由旋转矢量法知3
π
ϕ=,
∴波动方程为0.1cos(500)103
y t x ππ
π=+
+;
(2)将7.5x =代入波动方程,有7.5130.1cos(500)12
y t π
π=+
,为振动方程; 7.51350sin(500)12d y t d t πππ=-+,有01350sin 50sin 1212
t ππ
υππ==-=。

10-13.图示为平面简谐波在0t =时的波形图。

求:(1)此波的波动方程;(2)图中P 点的运动方程。

解:(1)波动方程的标准式为:
cos()y A t k x ωϕ=-+。

图中可见0.04A m =, 波数25k π
πλ
=
=,
(波长0.4m λ=) 圆频率550.082
k u π
ωπ==⨯=
, 不难看出,0t =时原点处质元向y 轴正方向运动,由旋转矢量法知2
π
ϕ=-,
∴波动方程为20.04cos(
5)52
y t x πππ=--; (2)将0.2x =代入波动方程,有230.04cos(
)52
P y t ππ
=-, ()
m )
)
(m -
即20.04cos(
)52
P y t ππ
=+。

为P 点的振动方程。

10-14.一平面简谐波,波长为12m ,沿x 轴负向传播,图示为 1.0x m =处质点的振动曲线,求此波的波动方程。

解:(1)波动方程的标准式为:
cos()y A t k x ωϕ=++。

中可见0.4A m =,
参看旋转矢量图,利用比例可求出周期T :
5:25:
6
T π
π=,有:12T s = ∴圆频率26T ππω==,波数26k ππ
λ==,
根据波沿x 轴负向传播写出简谐波波动方程为:0.4cos()6
6
y t x π
π
ϕ=+
+,
将1x m =代入波动方程,有该处的振动方程10.4cos(
)6
6
y t π
π
ϕ=+
+,
0t =时,10.2y =,有:()63
ππ
ϕ+=±
由旋转矢量图,知()63ππϕ+=-,则2
π
ϕ=-,
∴简谐波波动方程为:0.4cos()662
y t x πππ
=+-
10-15.一列沿x 正向传播的简谐波,已知01=t 和s t 25.02=时的波形如图所示。

(假设周期s T 25.0>)试求
(1)此波的波动表达式; (2)P 点的振动表达式。

解:(1)0.2A m =,0.6m λ=
0.150.6(/)0.25x u m s t ∆=
==∆,
0.61()0.6
T s u λ===;
∴2ωπ=,2100.63k ππ==,则波动表达式为100.2cos(2)3y t x ππϕ=-+ 由t =0和t =0.25时的波形图,得:00|cos 0t y A ϕ===,00|sin 0t v A ωϕ==-<,2
π
ϕ=
有波动表达式为:100.2cos(2)32
y t x ππ
π=-
+ (2)由图可见,P 点距原点0.3m ,将0.3x m =代入上式有:
)
(m x
100.2cos(20.3)0.2cos(2)322
P y t t πππ
ππ=-
⨯+=- 即P 点的振动表达式为:0.2cos(2)2
P y t π
π=-。

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