大学物理学机械波练习题

《大学物理学》机械波部分自主学习材料（解答）
一、选择题
10-1．图（a ）表示0t =时的简谐波的波形图，波沿x 轴正方向传播，图（b ）为一质点的振动曲线，则图（a ）中所表示的0x =处质点振动的初相位与图（b ）所表示的振动的初相位分别为（ C ） （A ）均为2π； （B ）均为
π-； （C ）π
与π-； （D ）2π-与
2
π。

【提示：图（b ）为振动曲线，用旋转矢量考虑初相角为
2
π-
，图（a ）为波形图，可画出过一点时间的辅助波形，
可见0x =处质点的振动为由平衡位置跑向负方向，
则初相角为2
π】
10-2．机械波的表达式为0.05cos(60.06)y t x ππ=+，式中使用国际单位制，则（ C ） （A ）波长为5m ； （B ）波速为1
10m s -⋅；
（C ）周期为
1
3秒； （D ）波沿x 正方向传播。

【提示：利用2k πλ=知波长为1003λ=
m ，利用u k ω=知波速为1
100u m s -=⋅，利用2T πω=知周期为1
3
T =秒，机械波的表达式中的“+”号知波沿x 负方向传播】
10-3．一平面简谐波沿x 轴负方向传播，角频率为ω，波速为u ，设4
T
t =时刻的波形如图
所示，则该波的表达式为（ D ）
（A ）cos[()]x
y A t u
ωπ=-
+； （B ）cos[()]2x y A t u π
ω=--；
（C ）cos[()]2x y A t u π
ω=+-；
（D ）cos[()]x
y A t u
ωπ=++。

【提示：可画出过一点时间的辅助波形，
可见在4
T
t =时刻，0x =处质点的振动
为由平衡位置向正方向振动，相位为2
π
-，
那么回溯在0t =的时刻，相位应为π】
O
O
10-4．如图所示，波长为λ的两相干平面简谐波在P 点相遇，波在点1S 振动的初相是1ϕ，到P 点的距离是1r 。

波在点2S 振动的初相是2ϕ，到P 点的距离是2r 。

以k 代表零或正、负整数，则点P 是干涉极大的条件为（ D ） （A ）21r r k π-=； （B ）212k ϕϕπ-=； （C ）21
2122r r k ϕϕππλ
--+=； （D ）12
2122r r k ϕϕπ
πλ
--+=。

【提示：书上P62页原公式为21
2
122r r k ϕϕπ
π
λ
---=】
10-5．在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动（ B ）
（A ）振幅相同，相位相同； （B ）振幅不同，相位相同； （C ）振幅相同，相位不同； （D ）振幅不同，相位不同。

【提示：由书上P67页驻波两波节间各点振动相位相同】
10--1．如图所示，有一横波在时刻t 沿Ox 轴负方向传播，则在该时刻（ C ） （A ）质点A 沿Oy 轴负方向运动；
（B ）质点B 沿Ox 轴负方向运动； （C ）质点C 沿Oy 轴负方向运动； （D ）质点D 沿Oy 轴正方向运动。

【提示：可画辅助波形来判断】
10--2．设有两相干波，在同一介质中沿同一方向传播，
其波源相距32
λ
，如图所示，当A 在波峰时，B 恰
在波谷，两波的振幅分别为A 1和A 2，若介质不吸收
波的能量，则两列波在图示的点P 相遇时，该处质点的振幅为（ A ） （A ）12A A +； （B ）12A A -； （C
； （D。

【提示：利用书上P62页公式为：21
2
123222
r r πλ
ϕϕπ
ππλλ---=-
⋅=-，加强】
8．如图所示，两相干平面简谐波沿不同方向传播，波速均为s m u /40.0=，其中一列波在A 点引起的振动方程为
11cos(2)2
y A t π
π=-
，另一列波在B 点引起的振动方程为
22cos(2)2
y A t π
π=+
，它们在P 点相遇，m AP 80.0=，m BP 00.1=，则两波在P 点
的相位差为： （ A ） （A ）0； （B ）π/2； （C ）π； （D ）3π/2。

【同上题提示】
10--3．当波在弹性介质中传播时，介质中质元的最大变形发生在（ D ） （A ）质元离开其平衡位置最大位移处； （B ）质元离开其平衡位置A /2处； （C
）质元离开其平衡位置/A 处； （D ）质元在其平衡位置处。

（A 为振幅）
【书P56页：体积元的动能和势能具有相同的相位，在平衡位置处动能和势能都达最大值】
A
B
1
S 2
S r
•
•
•
32
λP B
u
u
10．一个平面简谐波沿x 轴负方向传播，波速ｕ=10m/s 。

x =0处，质点振动曲线如图所示，则该波的表式为
B ） （A ）)2
20
2cos(2π
π
π+
+
=x t y m ；
（B ）)
2
202
cos(2π
ππ
-+
=x t y m ；
（C ）)2
20
2
sin(2π
π
π
++=x t y m ；
（D ）)2
20
2
sin(
2π
π
π
-
+
=x t y m 。

【提示：给出的是y -t 图，图中可定出振幅和周期、初相位，波数k 可由u k
ω=
得出】
11．一个平面简谐波沿x 轴正方向传播，波速为u =160m/s ，t =0时刻的波形图如图所示，则
该波的表式为（A ）3cos(40)42y t x ππ
π=+-m ；
（B ）3cos(40)42y t x π
π
π=++m ； （C ）3cos(40)4
2
y t x π
π
π=--m ；
（D ）3cos(40)42
y t x π
π
π=-
+m 。

【提示：给出的是y -x 图，图中可定出振幅和波长，圆频率ω可由u
k
ω
=
得出，初相位可用辅助波形判
断，本题可判断出x =0处，质点的振动是从平衡位置向正方向，则初相位为2
π
-
】
12．一个平面简谐波在弹性媒质中传播，媒质质元从最大位置回到平衡位置的过程中（ C ） （A ）它的势能转化成动能； （B ）它的动能转化成势能；
（C ）它从相邻的媒质质元获得能量，其能量逐渐增加； （D ）把自己的能量传给相邻的媒质质元，其能量逐渐减小。

【同9题提示】
13．一平面简谐波在弹性媒质中传播时，在传播方向上某质元在某一时刻处于最大位移处，则它的 （ B ） （A ）动能为零，势能最大； （B ）动能为零，势能也为零； （C ）动能最大，势能也最大；（D ）动能最大，势能为零。

【同9题提示】
14． 电磁波在自由空间传播时，电场强度E 与磁场强度H
（ C ）
（A ）在垂直于传播方向上的同一条直线上；（B ）朝互相垂直的两个方向传播； （C ）互相垂直，且都垂直于传播方向； （D ）有相位差π/2。

【提示：参看电磁波示意图】
15． 在同一媒质中两列相干的平面简谐波强度之比是4:21=I I ，则两列波的振幅之比
21:A A 为 （ B ）
（A ） 4； （B ） 2； （C ） 16； （D ） 1/4。

【提示：强度定义为振幅的平方】
16． 在下面几种说法中，正确的是：（ C ）
（A ）波源不动时，波源的振动周期与波动的周期在数值上是不同的；
-)
-
（B ）波源振动的速度与波速相同；
（C ）在波传播方向上，任一质点的振动相位总是比波源的相位滞后； （D ）在波传播方向上，任一质点的振动相位总是比波源的相位超前。

【中学问题】
17．两个相干波源的相位相同，它们发出的波叠加后，在下列哪条线上总是加强的？（ A ） （A ）两波源连线的垂直平分线上； （B ）以两波源连线为直径的圆周上； （C ）以两波源为焦点的任意一条椭圆上； （D ）以两波源为焦点的任意一条双曲线上。

【提示：找出距离相同的那些点】
18．平面简谐波4sin(53)x t y ππ=+与下面哪列波相干可形成驻波？（ D ）
（A ）)2325(2sin 4x t y +
=π； （B ）)23
25(2sin 4x t y -=π；
（C ）)2325(2sin 4y t x +=π； （D ）)2
3
25(2sin 4y t x -=π。

【提示：找出正好方向相反的那个波】
19．设声波在媒质中的传播速度为u ，声源的频率为S ν，若声源S 不动，而接收器R 相对于媒质以速度R υ沿S 、R 连线向着声源S 运动，则接收器R 接收到的信号频率为：（ B ） （A ）S ν； （B ）
R S u u υν+； （C ）R
S u u
υν-； （D ）
S R u u νυ-。

【提示：书中P71页，多普勒效应中，迎着静止波源运动频率高，公式为0'u u
υνν+=，远离静止波源运
动频率低，公式为0'u u
υνν-=
】
20．两列完全相同的平面简谐波相向而行形成驻波。

以下哪种说法为驻波所特有的特征：（ C ）
（A ）有些质元总是静止不动； （B ）迭加后各质点振动相位依次落后； （C ）波节两侧的质元振动相位相反； （D ）质元振动的动能与势能之和不守恒。

【提示：书中P67页，驻波波节两边的相位相反，两波节之间各点的振动相位相同】 二、填空题
10-7．一横波在沿绳子传播时的为0.20cos(2.50)y t x ππ=-，采用国际单位制，则（1）此横波沿x 的正向传播，波的振幅为0.20m 、频率为1.25Hz 、波长为2m 、波传播的波速为2.5/m s ；（2）绳上的各质点振动时的最大速度为0.5/m s π。

【提示：波动方程中的负号表明波沿x 的正向传播，利用波动标准方程cos()y A t k x ωϕ=-+比较可知振幅为0.20m 、频率为1.25Hz 、波长为2
m 、波传播的波速为/k υω=，得2.5/m s ；振动
速度不同于波速，应该用波动方程对时间求导，得最大速度为0.5/m s π。

】 10--4．图示中实线表示t =0时的波形图，虚线表示t =0.1秒时的波形图。

由图可知该波的
角频率ω=2.51
s π-；周期T =0.8 s ；
波速u =0.2 /m s ；
波函数为y =250.03cos(2.5)22
t x ππ
π-+
【提示：注意图中标的是厘米，图中可见波长为16厘米，可求出波数252
k π
=
；0.1秒波形向右跑了2
厘米，可求出波速0.2u
=，利用u k
ω=
知 2.5ωπ=，0.8T =；初相位看O 位置，O 位置在t =0和t =0.1
秒时间从平衡位置向下振动，旋转矢量初相位是2
πϕ=】
10-10．一周期为0.02秒，波速为100/m s 的平面简谐波沿ox 轴正向传播，0t =时，波源处的质点经平衡位置向正方向运动，则其波动方程为 ，距离波源15m 处的M 点的振动方程为 ，距离波源5m 处的N 点的振动方程为 。

【提示：∵ 0.02T
=，∴2100T
π
ωπ=
=，利用k u
ω=
知波数k π
=，由旋转矢量法知初相位
2
πϕ=-
，故波动方程为
cos(100)2y A t x πππ=--；将15x =代入，有cos(100)2M y A t ππ=+，
将5x =代入，有
cos(100)2
N y A t π
π=+】
4．一平面简谐波的周期为2.0s ，在波的传播路径上有相距为2.0cm 的M 、N 两点，如果N 点的相位比M 点相位落后π/6，那么该波的波长为 ，波速为 。

【提示：利用比例： :20.02:
6
π
λπ
=∴0.24m λ=，利用u T
λ
=
知0.24
0.12/2
u m s =
=】 5．处于原点（x =0）的一波源所发出的平面简谐波的波动方程为)cos(Cx Bt A y -=，其中
A 、
B 、
C 皆为常数。

此波的速度为 ；波的周期为 ；波长为 ；离波源距离为l 处的质元振动相位比波源落后 ；此质元的初相位为 。

【提示：以波的标准方程
cos()y A t k x ωϕ=-+比较，有u k
ω
=
=
B C
，2T π
ω
=
=
2B
π，
2k πλ=
=2C
π， 0l ϕϕ-=
lC -，∴落后lC ，此质元的初相位为lC -】
o
6．一驻波的表达式为22cos(
)cos 2x
y A t ππνλ
=，两个相邻的波腹之间的距离为 。

【提示：书中P67页，驻波相邻两波腹之间的距离为半个波长，即为/2λ】
7．一驻波方程为2
410cos 2cos 400y x t π-=⨯（SI 制），在x =1/6（m ）处的一质元的振幅为 ，振动速度的表达式为 。

【提示：将x =1/6代入方程，有
2210cos 400y t -=⨯，有振幅为2210m -⨯，将驻波方程对t 求导，有
16cos 2sin 400d y
x t dt π=-，将x =1/6代入有：8sin 400t υ=-（或8cos(400)2
t πυ=+】 P69例．一列平面简谐波沿x 正方向传播， 波方程为3
10cos(200 )y t x ππ-=-（SI 制）。

如果在上述波的波线上L x =（ 2.25L m =）
的A 处放一垂直波线的波密介质反射面，且假设反射波的振幅与入射波相等，则反射波的方程为 ；驻波方程为 。

【提示：将 2.25x =代入波方程，有简谐波正方向传播到A 处的振动方程为310cos(200)4
A y t π
π-=-，
考虑到反射波有半波损失，则反射波在A 处的振动方程为3310cos(200)4
fA y t π
π-=+，则以A 处为原
点的反射波方程为3310cos(200)4
fA y t x π
ππ-=++；将 2.25x =-代入反射波方程，有反射波在O
处的振动方程为
310cos(200)2fO y t ππ-=+，
则反射波波动方程为310cos(200)2
f y t x π
ππ-=++；驻波方程为
f y y y λ=+，有3210cos()cos(200)44
y x t ππππ-=⨯++】
10-30．两艘潜艇相向而行，甲潜艇速度为50km /h ，发出一个103
Hz 的音频信号，乙潜艇的
速度为70km /h ，若声音在水中的传播速度为5470 km /h ，则乙潜艇接收的音频频率
【提示：本题是波源与观察者同时相对介质运动的问题。

利用公式0
's
u u υν
νυ±=。

（1）取5470u =，50s υ=，070υ=，相向运动取0
's u u υννυ+=
-，有35540'105420
ν=
⨯=1022Hz 。

（2）反射回来的音50/km h
70/km h
频频率为'1022Hz ν
=，取5470u =，70s υ=，050υ=，相向运动取0
'''s
u u υννυ+=
-，有5520
''10225400
ν=
⨯=1045Hz 。

】 三、计算题
P53例2．一平面简谐波在介质中以速度u =20m/s 沿x 轴负方向传播，已知a 点的振动表达式为3cos 4a y t π=（SI 制）。

（1）以a 为坐标原点写出波动表达式；
（2）以距a 点5m 处的b 点为坐标原点，写出波动表达式。

解：（1）∵a 点的振动表达式为3cos 4a y t π=， 波动表达式为：cos()y A t
k x ωϕ=+，考虑到波沿x 轴负方向传播，
∴以a 为坐标原点的波动表达式可写成3cos(4)y t k x π=+ 利用波数k u
ω
=
，得4205k ππ=
=，
有以a 为坐标原点的波动表达式：3cos(4)5
y t x π
π=+； （2）将5x =-代入上式，有b 点的振动表达式为3cos(4)b y t ππ=-， 则以b 为坐标原点的波动表达式可写成3cos(4)y t k x ππ=+- 将5
k π
=
代入，有以b 为坐标原点的波动表达式3cos(4)5
y t x π
ππ=+
-。

10-8．波源作简谐运动，其运动方程为3
4.010cos 240y t π-=⨯，采用国际单位制，它所形成的波以30/m s 的速度沿一直线传播。

（1）求波的周期与波长；（2）写出波动方程。

解：（1）周期221240120T s π
πω
π=
=
=，波长11
301204
uT m λ==⨯=； （2）设直线传播方向为x 正向，波动表达式可写成3
410cos(240)y t k x π-=⨯- 利用波数k u
ω
=
，得240830
k π
π=
=，则波动方程：3410cos(2408)y t x ππ-=⨯-。

10-9．波源作简谐运动，其运动方程为0.05sin(102)y t x π=-，采用国际单位制。

（1）求波的波长、频率、波速与周期；（2）说明0x =时方程的意义，并作图表示。

解：波动方程可改写成标准式：0.05cos(102)2
y t x π
π=--。

（1）波长2k πλπ=
=，频率52Hz ωνπ==，波速5u k ωπ==，周期1
0.2T s ν
==；
u
a
b
（2）将0x =代入波动方程，有0.05cos(10)
O y t π
π=-，为波源的振动方程。

图像：
【注：波源的振动方程也可 以写成0.05sin10O y t π=】
10-12．图示为平面简谐波在0t =
，且此时图中P 点的运动方向向上。

求：（1）波动方程；（2）在距离原点为7.5米处质点的振动方程与0t =时该点的振动速度。

解：（
1）波动方程的标准式为： cos()y A t k x ωϕ=+。

图中可见0.1A m =，
圆频率2500ωπνπ==，波数210
k π
π
λ
=
=
，（图中可见，波长10m λ=）
根据P 点的运动方向向上，知简谐波沿x 负方向传播，有：0.1cos(500)10
y t x π
πϕ=++，
不难看出，0t =时原点处质元向y 轴负方向运动，由旋转矢量法知3
π
ϕ=，
∴波动方程为0.1cos(500)103
y t x ππ
π=+
+；
（2）将7.5x =代入波动方程，有7.5130.1cos(500)12
y t π
π=+
，为振动方程； 7.51350sin(500)12d y t d t πππ=-+，有01350sin 50sin 1212
t ππ
υππ==-=。

10-13．图示为平面简谐波在0t =时的波形图。

求：（1）此波的波动方程；（2）图中P 点的运动方程。

解：（1）波动方程的标准式为：
cos()y A t k x ωϕ=-+。

图中可见0.04A m =， 波数25k π
πλ
=
=，
（波长0.4m λ=） 圆频率550.082
k u π
ωπ==⨯=
， 不难看出，0t =时原点处质元向y 轴正方向运动，由旋转矢量法知2
π
ϕ=-，
∴波动方程为20.04cos(
5)52
y t x πππ=--； （2）将0.2x =代入波动方程，有230.04cos(
)52
P y t ππ
=-， ()
m )
)
(m -
即20.04cos(
)52
P y t ππ
=+。

为P 点的振动方程。

10-14．一平面简谐波，波长为12m ，沿x 轴负向传播，图示为 1.0x m =处质点的振动曲线，求此波的波动方程。

解：（1）波动方程的标准式为：
cos()y A t k x ωϕ=++。

中可见0.4A m =，
参看旋转矢量图，利用比例可求出周期T ：
5:25:
6
T π
π=，有：12T s = ∴圆频率26T ππω==，波数26k ππ
λ==，
根据波沿x 轴负向传播写出简谐波波动方程为：0.4cos()6
6
y t x π
π
ϕ=+
+，
将1x m =代入波动方程，有该处的振动方程10.4cos(
)6
6
y t π
π
ϕ=+
+，
0t =时，10.2y =，有：()63
ππ
ϕ+=±
由旋转矢量图，知()63ππϕ+=-，则2
π
ϕ=-，
∴简谐波波动方程为：0.4cos()662
y t x πππ
=+-
10-15．一列沿x 正向传播的简谐波，已知01=t 和s t 25.02=时的波形如图所示。

（假设周期s T 25.0>）试求
（1）此波的波动表达式； （2）P 点的振动表达式。

解：（1）0.2A m =，0.6m λ=
0.150.6(/)0.25x u m s t ∆=
==∆，
0.61()0.6
T s u λ===；
∴2ωπ=，2100.63k ππ==，则波动表达式为100.2cos(2)3y t x ππϕ=-+ 由t =0和t =0.25时的波形图，得：00|cos 0t y A ϕ===，00|sin 0t v A ωϕ==-<，2
π
ϕ=
有波动表达式为：100.2cos(2)32
y t x ππ
π=-
+ （2）由图可见，P 点距原点0.3m ，将0.3x m =代入上式有：
)
(m x
100.2cos(20.3)0.2cos(2)322
P y t t πππ
ππ=-
⨯+=- 即P 点的振动表达式为：0.2cos(2)2
P y t π
π=-。