人教版八年级数学下册课件16.1二次根式1ppt

解： t2 1 0 当t=0时， t 2 1
t 2 1 0 有最小值1
t 2 1(不可能）
t2 0
t2 11
t2 1 1
小结：
1.怎样的式子叫二次根式？
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式 .
2.怎样判断一个式子是不是二次根式？
（1）. 形式上含有二次根号
（2）.被开方数a为非负数， 3.如何确定二次根式中字母的取值范围？
原式 ( x 1) x y 0
x
1
原式
（x
y
y)
x
例3、化简及求值：
(1)＜02,4b＞0) (2)a4
a2b(23)
(a
1 2a a2
3
其中a=
(1 2)2 ( 2 1)2
(5)
(1) 24
a (2)
4
(3) a2b2 (a＜0,b＞0)
解：原式 a2 a2 解：原式 ab
思考：到现在为止，我们已学过哪些数非负数形式？
an (n为偶数） a
a (a 0)
非负数 1.几个非负数的和、积、商、乘方及 的性质： 算术平方根仍是非负数
2.如果几个非负数的和为零，那么每一个非负数都为零. 3.根据非负数的性质，就可以确定字母的值.
若（a 2)2 3 b c 2 0,则a b c 3
a 0
1、当 x 1 y 3 0时，
x （ -1 ），y （ 3 ）
2、已知x 5 6 3 y z 22 0
求xyz的 值 。
(-5)×2×(-2)=20
再议 a的双重非负性
非负数的算术平方根仍然是非负数。
性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性（）默11）
思考：到现在为止，我们已学过哪些数非负数形式？
2 2 5
2 ___5___
2 5
2 2
2
7 ____7__,
5 2 ___5_____
42 ______4___ 4
2 x 1 (x 1)
x 1
( a)2与 a2有区别吗?
1:从运算顺序来看, 2.从取值范围来看,
a 2先开方,后平方 a 2 a≥0
a2 先平方,后开方 a2 a取任何实数
2.当被开a方 0数本身为非正数或能化为
∵非a2正 2数a 形 2式时，其字母的取值(a为范任围何为实：数)
使 被(a2开 2方a 数1)为10的值。
(a为任何实数)
(a 1)2 1 0
∴字母 a的取值范围是全体实数.
(a 1)2(a=1)
求下列二次根式中字母的取值范围：
1
a 1
2 1
1 2a
解：原式= (x 3)2 (x 1)2
=|x-3|+|x+1| ∵-1<x<3 , ∴x-3＜0 , x+1>0 ∴原式 = (3-x) + (x+1) = 4
思考：若 m(m m42)28m 416 m ,4 （默8）
则m的取值范围是 _________
m4
m40
(m 4)2 ? 4 m m 4
(3) 4x2 x为全体实数(4) 1
x0
x
(5) x3
x0
(6)
1 x2
x0
(7) x 1 (x 2)0 x 1, 且 x 2
x3
(8) x 2 x 0 (9) x2 1x为全体实数
x
?
参考图1-2,完成以下填空:
1149a765
2 2 __2___;
7
2
__7___;
1 2
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根。 0的算术平方根平方根是0
用 a (a≥0)表示。
复习
1、如果 x 2 4，那么 x ±2 ；
2、如果 x2 3，那么 x 3 ；
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
如： a 1 这类代数式只能称为含有二次根
式的代数式，不能称之为二次根式；
而 2x2 2x 3
这类代数式，应把 2 , 3 这些二次根式看 做系数或常数项，整个代数式仍看做整式。
说一说:
下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a2 1 , (7) 3 5
3.从运算结果来看:
a 2 =a
a (a≥ 0)
a2 =∣a∣= -a (a＜0)
2
比较分析 a 和 a2
2
a
a2
读法
根号a的平方 根号下a平方
运算顺序 先开方,后平方 先平方,后开方
a的取值范围
a≥0
a取全体实数
运算结果
a
∣a∣
（默6）
二次根式的性质及它们的应用:
(a （1） a)2a a2,(a 0)
an (n为偶数） a
a (a 0) （默11）
非负数 1.几个非负数的和、积、商、乘方及 的性质： 算术平方根仍是非负数
2.如果几个非负数的和为零，那么每一个非负数都为零.
3.根据非负数的性质，就可以确定字母的值. （默11）
若（a 2)2 3 b c 2 0,则a b c 3
叫二次根式。
本课学习目标：
（1）二次根式的概念 ( 双重非负性)
• （2）根号内字母的取值范围
• （3）二次根式的性质(1,2)
请你凭着自己已有的知识,说 说对二次根式 a 的认识！
?
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号 4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
在实数范围内,负数没有平方根
1、判断下列代数式中哪些是二次根式？
⑴
1 2
⑵ 16
⑶ a 2 2a 2
⑸ m 32
⑷ x ( x 0)
a9
⑹ a 1 (a 3)
例题讲解
例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
(1) xx155 (2) 1 3x (3) 1 x 3 x
解：（1）由x-5≥0,得x ≥5
4.化简（默10）2p
p 2
0
(1 p)2
2
2 p
(a 1)2 ( a)2
解：原式 1 p (2 p) 解：原式 a 1 a
p 1 2 p
a 1 a
1
2a 1
化简 （ 1 3x)2 1 x
1 3x 0 x1
3
归纳 二次根式的非负性：
a 0
二次根式的双重非负性：
a0
a
3 a 32
解求：字（母1的）取由值题范意围得的：口诀（默5）
从a 左1看 0到右;a从上1看到下
即看当到a分数1线时,，分母a 不1为有0意义.
a （2看）到a偶1次(根3) 式,被为任开意方实数数大于等于0
看到02指数,底数不为0
最后画数轴,写出解集来
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0
（2）
a ( a >0 )
a2 a 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
讨论与思考
将下列各式化简：
1 1
2
2
2
x 12
3
x2 2xy y2
解:原式 1
(x>0 )
2 解:原式 x 1
(x﹤y)
(1 2) 2 1
x 0 解:原式 (x y)2
x 0
xy
x 1 0 x y
∴当 x ≥5时， x 5有意义
1
（2）由1-3x≥0得x≤ 3
∴当 x ≤ 1时，
（3）由题意可知3 ：13
1 3x有意义
x0
x0
∴当 -1≤ x ≤3时， 1 x 3 x 有意义；
1
变式：
x5
当x取何值时， 1 在实数范围内有意义。（默2） x5
解：∴由当题x＞意5得时，x x
5 1 5
解：原式 b c a c a b b c a
a,b,c是三角形三边, b c a 0,c (a b) 0,b (c a) 0
原式 b c a a b c b c a 3b a c
这一类问题注意把二次根式的运算搭载在三角形三边之间的关系 这个知识点上，特别要应用好。
1.若 (1 x)2 1 x,则x的取值范围为 ( A )
(A) x≤1 (B) x≥1 (C) 0≤x≤1 (D)一切有理数 2.实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简
ab c
(a b)2 (b c)2 c a
3.已知a，b，c为△ABC的三边长，化简（：默9）
(b c a)2 + (c a b)2 - (b c a)2
解：原式 22 4
a 0,b 0
1 2a a2其中a=
3
ab 0
原式 ab
解: 原式 (a 1)2 a 1
当a 3时，原式 3 1 （ 3 1） 3 1
(5) (1 2)2 ( 2 1)2
解：原式 1 2 2 1
2 1 2 1 2 2
练一练： x2-6x+9 + x2+2x+1 ( -1<x<3 ) （默7）
2
1
__2___ .
一般地,二次根式有下面的性质:
a
a 2 a (a 0)
快
速 判
1
3 2 ___3___,2
2 7
2
2
__Байду номын сангаас____,
3
2
1 3
2
21 _____3___,
断
4
5
2
5
________,5
2 3
2
2 _____3___
.
归纳
一般地，
( a )2 a（a≥0）
3、如果 x 2 a(a 0) ，
那么x a 。
导入
1.如图所示的值表示正方形的
面积，则正方形的边长是 b 3 b-3
2.要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池，
它的半径为 2 m（ 取3.14）； 3、关系式中h 5t 2，用含有h的式子
表示t，则t为 h 。
5
新授:
a2 2500
解决二次根式类问题时特别注意条件， 有时还得挖掘隐含条件。
二次根式的性质及它们的应用:
a （1）
2
a ,(a 0)
（2）
a ( a >0 )
a2 a 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
再议 a的双重非负性
非负数的算术平方根仍然是非负数。
性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
从左看到右;从上看到下
看到分数线,分母不为0 看到偶次根式,被开方数大于等于0 看到0指数,底数不为0
最后画数轴,写出解集来
4.真正理解：
2
a a(a 0)
a2 a a(a 0) 这两个性质的概念， a(a 0)
我们才能灵活地去解决有关二次根式的问题。
5. a 0, a 0（. 双重非负性）
例3、当x是怎样的实数时， x 2 有最
小值？最小值是多少？ （解默：12）x 2 0
x 2 有什么性质？
x2 0
二次根式 a的双重非负性： x 2 0
a
a0 a 0
x 2
当x= -2时，
x 2 有最小值0
2、2+ 3 x的最小值为＿2 ＿，此时x的值为
＿3＿。
当t是怎样的实数时， t2 1 有最 小值？最小值是多少？ （默13）
22 __2_,
52 _5__,
02 __0_,
| 2 | _2__; | 5 | _5__; | 0 | __0_ .
a2 a
请比较左右两边的式子,议一议: a2 与| a | 有什么关
系?当 a 0 时, a2 _a___; ;当a 0 时, a2 ___a_.
一般地,二次根式有下面的性质:
一般地，根据算术平方根的意义，
a2
a
a
(a a (a
0） 0)
(1)( 2)2 2
(2)( 2)2 2 (3) ( 2)2 -2 (4) (2)2 |-2|=2
(5) 22 |2|=2 (6) (2)2 -|-2|=-2
2 3 ___3___
12 ___1__ 1
大
家 抢 答
b3
2
h 5
观察以上各式，它们有什么共同特点？ 表示一些正数的算术平方根
你认为所得的各代数式有哪些共同特点？
a2 2500 b 3 2
h 5
表示一些正数的算术平方根．
形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式.
a
被开方数
二次根号
归纳:
二次根式的定义(默1）
一般地，形如 a (a 0) 的式子
1.已知 y x 4 4 x，你2 能求出 的x 值y吗？ 切入点：从字母的取值范围入手。
2.已知 x 2y 与9 x y互 3为相反数，
求x 、y 的值.
0在实数范围内有意义。
0
x-5 0
1 x5
1
x－52 （默3）
解:由题意得,
Q
x 52 0
x 52 0
x 52 0
x 25
求下列二次根式中字母 a 的取值范围（默4）
(1) a2
a2 (2) (a 1)2
(字1)母解(说化范2)：解a明为围：的:非为取1a值-负：.2 当a范a全022 围被0体数0是开实形全方体数式数实；时数本，身其为∵∴范都字无字围非有论 母母是负的全aa数a的体取取取或实何1值值数值2能.，0