介质中的高斯定理电位移矢量

def 定义：电位移矢量 D 0 E P
e 称为电极化率或极化率，
中它是一个纯数。
对于大多数各向同性的电介质而言，极化强度 与 P 电场 E 有如下关系：P e 0 E
在各向同性线性电介质
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在均匀各向同性介质中 P E e 0 D 0 E P 0 E e 0 E (1 e ) 0 E r 0 E r (1 e ) 称为相对介电常数或电
a
a
r
q
I
II
R
r
r
q q U1 E1dr E2 dr dr R dr 2 2 r R 4 0 rr 4 0r q 1 1 q 4 0 r r R 4 0 R

R r
I区：R
高斯面
II区： U2


r
E2 dr
0 E1 0 r 0
D1
过P2点作高斯柱面, 左右底面 分别经过导体和P2点。
D1 0
0
d' 0
D
同理
D D左底 D右底 D侧
高 斯 面
P1 P2
r
d D 0 D右底 0 q0 D2S 0S D1 D2 0 , D2 0 D2 0 E2 0 r 0 r
②.已知 U，求0、E、D。
q CU SU 0 0 S S d1 d2 S r1 r 2 0U
r1
d
r2

r1 r 2
d1

d2
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U 0 0U E1 d1 d2 d1 d2 0 r1 r1 0 r1
E
容率。
例1：将电荷 q 放置于半径为 R 相对电容率为 r 的介 质球中心，求：I 区、II区的 D、E、 及 U。 解：在介质球内、外各作半径为 r 的 高斯球面。 R
r 球面上各点D大小相等， D // dS , cos 1 II 2 q0 高斯面 D4r q0 , D 4r 2 q q D2 D1 I区： II区： 2 4r 2 4r
介质中的高斯定理
建立电位移线： 1）线上每一点的切线方向为该点电位移矢量的方向； 2）通过垂直于电位移矢量的单位面积的电位移线数 目应等于该点电位移矢量的大小。 D D dS 称为穿过闭合面S的电位移通量。
介质中的高斯定理： D dS q0
S

介质中的高斯定理意义：通过任一闭合曲面的电位移 通量，等于该曲面内所包围的自由电荷的代数和。
r1
r2
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例：一平行板电容器内充满极化率为 的均匀电介质。 设两极板上自由电荷面密度为 0。求：（1）电介 质表面的极化电荷面密度 ；（2）电介质内的极化 强度矢量 P ；（3）电介质内的场强 E ；（4）电容器 的电容C与没有电介质时的电容C0的比值。 解：在外电场作用下，在介质的右 ' 0 0 ' 表面出现正极化电荷，在介质的左 表面出现负极化电荷。
D D dS q0
S
0
高 D侧 0 D dS 斯 D D右底 右底 D1dS cos 面
D D左底 D右底 D侧 D左底 0 导体内 D=0
D
0
P1 P2
r
d
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D1S q0 0S D1 0
r 0 称为介电常数， 在各向同性介质中 D. E 关系： D r 0 E E 强调： D 0 E P是 D.E 关系的普遍式。
3.介质中高斯定理的应用
如果电荷和介质的分布具有一定对称性，可利用介 质中的高斯定理求场强：先根据自由电荷的分布利用 介质中的高斯定理求出电位移矢量的分布，再根据电 位移矢量与场强的关系求出场强的分布。 7
S
S
5
介质中的高斯定理： D dS q0
说明：
S S
•介质中的高斯定理不仅适用于介质，也适用于真空。
•高斯面上任一点D是由空间总的电荷的分布决定的， 不能认为只与面内自由电荷有关。
2.电位移矢量 •电位移矢量是为消除极化电荷的影响而引入的辅助物 理量，它既描述电场，同时也描述了介质的极化。 方向：与介质中的场强方向相同。单位：库仑/米2，

0 0 d' (d d' ) d' d d' 0 0 r r
0S

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例3：平行板电容器极板面积为 S，充满r1、r2 两种 介质，厚度为 d1 、 d2。 ①.求电容 C；②.已知板间 电压 U，求 0、E、D。 d d
解： ①.设电容带电量 q
1
2
q q C U ab E1d1 E2d2
系如下：
E E0 E '
E'
在电介质中，电位移矢量、极化电荷、附加电场 和总场强这此量是彼此依赖、互相制约的。 为了计算它们当中的任何一个量，都需要和其它量 一起综合加以考虑。 这种连环套的关系太复杂，在实际计算中比较繁 琐。物理学追求“和谐、对称、简洁！
3
二、介质中的高斯定理 电位移矢量
+Q
–Q
' '
退极化场
注意：决定介质极化的不是原来的场 E 而是介质内实 0 际的场 E 。 E '又总是起着减弱总场 E 的作用，即起着减弱极化
的作用，故称为退极化场。
2
任一点的总场强为： E E0 E'
作用下，电介质发生极化；极化强 总结： 在外电场 E 0 度矢量 P和电介质的形状决定了极化电荷的面密度 ， 而 又激发附加电场 E ， 又影响电介质内部的总电 E 场 E ，而总电场又决定着极化强度矢量 P 。 各物理量的关 E p Pn 0
极化电荷百度文库密度：
P
' P 极化电荷场 E ' 水平向左 0 0 外场为： E0 0 水平向右
E'
E0
0
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电介质内部的总场强
0 ' E E0 E' 0 0
此外还有： P 0 E
解以上五式可得：
0 E E0 0 E (1 ) 0 (1 ) r r 1 —电介质 的相对介电常数。 1 0 P 0 E (1 ) 0 (1 ) r

0 0 d d 1 d1 d2 2 0 r1 0 r 2 r1 r 2
0 r 1 S
d1 ,
0S

0S
r1
d
r2
也可视为两电容器串联
C1
C2
0 r 2S
d2
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1 1 1 串联 C C1 C2
d1
d2
0S C1C2 C d1 d2 C1 C2 r1 r 2
S S
( 0 E P) dS q0
S
定义：电位移矢量 def D 0E P
4
( 0 E P) dS q0
S S
定义：电位移矢量
自由电荷
D dS q0
S S
def D 0E P
电介质中的高斯定理 电位移矢量
1
一、退极化场
电介质在外场中的性质相当于在 真空中有适当的束缚电荷体密度分布 在其内部。因此可用 ' 和 ' 的分布来 代替电介质对电场的影响。 在外电场 E0中，介质极化产生的束 缚电荷，在其周围无论介质内部还是外 部都产生附加电场 E ' ，称为退极化场。
P ' E' 0 0 E0 0
0 '
E0
E'
' 0
E
q 0S C U AB Ed
0S 0S (1 ) r C0 0 d d (1 ) 0
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U 0 E2 d1 d2 d1 d2 0 r 2 0 r 2 r 2
r1
r1
r2 0U
r1
r2
r2
D1 0 r1E1 0 r1 0 0 0U 0 r1 d1 d2 0 r 1 r2 D2 0 r 2E2 0 r 2 0 0 r 2 D1 D2 0
S DdS cos q0
D dS q0
S
r
q
r
I

由
D 0 r E
8
q D1 E 0 I区： E1 2 4 r 0 r r 0 r q D2 II区： E2 2 E0 0 r 4 0r 由 Ua E dl Edr
1.介质中的高斯定理 真空中的高斯定理

'
S
q0 E0 dS
在介质中，高斯定理改写为：
总场强 自由电荷
0
1 E dS
S
0
(q
S
0
q )
束缚电荷
1 E dS
S
0
q
S
0

1
0
S
P dS
S
' P dS q
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②.求电容C
II区： D2 0 , E2 0 0 r
高 斯 面
0 D1 0 , E1 I区： 0
0
d' 0
D
q 由C 与 U ab Ed U ab
P1 P2
q 0S C U ab E1 (d d' ) E2d'
r
d
0S
r
q
4 0r
2
dr
q
4 0r
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例2：平行板电容器极板间距为 d , 极板面积为 S，面电 荷密度为 0 , 其间插有厚度为 d’ 、电容率为 r 的电介 质。求 ： ①. P1 、P2点的场强E；②.电容器的电容。 解： ①. 过 P1 点作高斯柱面, 左右底面分别经过导体 d' 和 P1 点。