第五章 方差分析
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实用农业试验统计分析新解 （Excel的统计功能及其应用）
方差分析
•单因素方差分析 •二因素交叉无重复方差分析 •二因素交叉有重复方差分析
单因素方差分析
具有k组每组n个观察值的数据模式
处理
观察值（xij）
总和（Ti） 平均（ x i ）
1
x11，x12，
T1
x1
x13x1n
2
x21，x22，
T2
3、计算各变异的方差
1）处理间方差 MSt=SSt/dft
2）误差方差
MSe=SSe/dfe
三、利用Ｆ分布进行Ｆ测验
F MS t MS e
Ｆ测验的步骤：
1、提出假设 Ｈ0：μ1＝μ2＝μ3＝┄┄ ＨＡ：各平均数间至少有两个不相等。 2、确定显著水平α，0.05、0.01 3、测验计算，计算Ｆ值。
列（B）10.5 2 5.25
9 0.015625 5.143249
误差 3.5 6 0.583333
总计 346.25 11
二因素交叉有重复观察值的资料模式
A 的总和 A 的平均
B1
B2
…
Bk
A1
x111… x121…x
x11r
12r
x1k1…x
1kr
T1
x 1••
T11
T12
T1k
A2
x211…x x221…x
15 1.4333
19
F crit 4.893
单因素方差分析示意图
方差分析的步骤
单因素方差分析的步骤 一、变异来源的划分 1、组间变异（处理间变异） 2、组内变异（误差） 二者构成总变异
二、计算各变异的大小
用方差表示变异的大小
s2 (xx)2 x2 x2SS
n1
n1 df
1、计算各变异平方和
二因素交叉无重复方差分析
二因素交叉无重复观察值的资料模式
A1
A2
An B 的总和 （Tj） B 的平均
（ x•i ）
B1， B2， B3………… Bk
x11，x12，x13x1k x21，x22，x23x2k
xn1，xn2，xn3xnk
A 的总和 （Ti）
T1 T2 Tn T
A 的平均
（ xi• ） x 1• x 2•
均方
MSA=SSA/dfA MSB=SSB/dfB MSAB=SSAB/dfB MSe=SSe/dfe
观察值
2
1 23 21 24 21
3
2 21 19 18 18
4
3 22 23 22 20
5
4 19 20 19 18
6
5 15 16 16 17
五个不同大豆品种产量的方差分析表
差异源 组间 组内 总计
SS 101.3 21.5 122.8
df MS
F
P-value
4 25.325 17.6686 1.516E-05
x2k1…x
T2
x 2••
21r
22r
2kr
T21
T22
T2k
An
B 的总 和
B 的平 均
xn11…x
n1r
Tn1 T1
xn21…x
n2r
Tn2 T2
x •1•
x •2•
xnk1…x
nkr
Tnk Tk
x •k•
Fra Baidu bibliotek
Tn T
x n•• x
S S T = S S A + S S B + S S A B + S S e ， 其 中 S S A B = S S A + S S B + S S A B d f T = d f A + d f B + d f A B + d f e ， 其 中 d f A B = d f A + d f B + d f A B
自由度 dfA dfe dfT
平方和 SSA SSe SST
均方 MSA=SSA/dfA MSe=SSe/dfe
F值 F=MSA/MSe
单因素方差分析实例
现有5个不同大豆品种，随机在每个大豆品种的大区试验田中 抽取4个样点，每样点的小区产量结果见下表，试检验不同大豆品 种产量的的差异显著性。
1 品种号
1）总变异平方和SST
ST S(x x )2x 2 x2 /nk
2）处理间平方和SSt
StS n
2
(xtx)
T t2
n
x2/nk
3）误差平方和SSe
SSe=SST-SSt
2、计算各变异自由度
1）总变异自由度
dfT=nk-1
2）处理间自由度
dft=k-1
3）误差自由度 dfe=dfT-dft
平方和及自由度的简易计算公式如下：
SS T
x
2 ijk
T2 nkr
，
df T nkr 1
SS A
T
i
2 ••
T2
，
kr nkr
df A n 1
SS B
T•2j• T 2 ， nr nkr
df B k 1
SS AB
Tij2• T 2 ， r nkr
SS AB SS AB SS A SS B ，
SS e SS T SS AB ，
df AB nk 1
df AB (n 1)( k 1) df e nk (r 1)
二因素交叉无重复观察值的方差分析表
变异来源
A因素间 B因素间 AB互作
组内 总的
自由度
dfA dfB dfAB dfe dfT
平方和
SSA SSB SSAB SSe SST
x2
x23x2n
k
xk1，xk2，
Tk
xk
xk3xkn
T
x
SST=SSA+SSe dfT=dfA+dfe
基本公式
SST
xi2j
T2 ni
，
dTf
ni 1
SSA
Ti2 T2
ni
ni
，
dfA k1
SSe SST SSA，
def dTf dfA
单因素方差分析表
变异来源 组间 组内 总的
x n•
x •1 ，x•2 ，x •3 ，…… x•k
x
SST=SSA+SSB+SSe dfT=dfA+dfB+dfe
平方和及自由度的简易计算公式如下：
SST
xi2j
T2 nk
，
dfT nk 1
SSA
TA2
T2
，
k nk
df A n 1
SSB
TB2
T2
，
n nk
dfB k 1
二因素交叉无重复观察值的方差分析实例
A
B
C
D
1
因素
B1
B2
B3
2
A1
51
53
52
3
A2
56
57
58
4
A3
45
49
47
5
A4
42
44
43
无重复双因素方差分析
品种与氮肥对小麦增重的方差分析表
差异源 SS df MS
F
P-value F crit
行（A）332.25 3 110.75 189.8571 2.47E-06 4.757055
SSe SST SS A SSB ， dfe (n 1)(k 1)
二因素交叉无重复观察值的方差分析表
变异来源
A因素间 B因素间
组内 总的
自由度 dfA dfB dfe dfT
平方和 SSA SSB SSe SST
均方
MSA=SSA/dfA MSB=SSB/dfB MSe=SSe/dfe
F值 FA=MSA/MSe FB=MSB/MSe
方差分析
•单因素方差分析 •二因素交叉无重复方差分析 •二因素交叉有重复方差分析
单因素方差分析
具有k组每组n个观察值的数据模式
处理
观察值（xij）
总和（Ti） 平均（ x i ）
1
x11，x12，
T1
x1
x13x1n
2
x21，x22，
T2
3、计算各变异的方差
1）处理间方差 MSt=SSt/dft
2）误差方差
MSe=SSe/dfe
三、利用Ｆ分布进行Ｆ测验
F MS t MS e
Ｆ测验的步骤：
1、提出假设 Ｈ0：μ1＝μ2＝μ3＝┄┄ ＨＡ：各平均数间至少有两个不相等。 2、确定显著水平α，0.05、0.01 3、测验计算，计算Ｆ值。
列（B）10.5 2 5.25
9 0.015625 5.143249
误差 3.5 6 0.583333
总计 346.25 11
二因素交叉有重复观察值的资料模式
A 的总和 A 的平均
B1
B2
…
Bk
A1
x111… x121…x
x11r
12r
x1k1…x
1kr
T1
x 1••
T11
T12
T1k
A2
x211…x x221…x
15 1.4333
19
F crit 4.893
单因素方差分析示意图
方差分析的步骤
单因素方差分析的步骤 一、变异来源的划分 1、组间变异（处理间变异） 2、组内变异（误差） 二者构成总变异
二、计算各变异的大小
用方差表示变异的大小
s2 (xx)2 x2 x2SS
n1
n1 df
1、计算各变异平方和
二因素交叉无重复方差分析
二因素交叉无重复观察值的资料模式
A1
A2
An B 的总和 （Tj） B 的平均
（ x•i ）
B1， B2， B3………… Bk
x11，x12，x13x1k x21，x22，x23x2k
xn1，xn2，xn3xnk
A 的总和 （Ti）
T1 T2 Tn T
A 的平均
（ xi• ） x 1• x 2•
均方
MSA=SSA/dfA MSB=SSB/dfB MSAB=SSAB/dfB MSe=SSe/dfe
观察值
2
1 23 21 24 21
3
2 21 19 18 18
4
3 22 23 22 20
5
4 19 20 19 18
6
5 15 16 16 17
五个不同大豆品种产量的方差分析表
差异源 组间 组内 总计
SS 101.3 21.5 122.8
df MS
F
P-value
4 25.325 17.6686 1.516E-05
x2k1…x
T2
x 2••
21r
22r
2kr
T21
T22
T2k
An
B 的总 和
B 的平 均
xn11…x
n1r
Tn1 T1
xn21…x
n2r
Tn2 T2
x •1•
x •2•
xnk1…x
nkr
Tnk Tk
x •k•
Fra Baidu bibliotek
Tn T
x n•• x
S S T = S S A + S S B + S S A B + S S e ， 其 中 S S A B = S S A + S S B + S S A B d f T = d f A + d f B + d f A B + d f e ， 其 中 d f A B = d f A + d f B + d f A B
自由度 dfA dfe dfT
平方和 SSA SSe SST
均方 MSA=SSA/dfA MSe=SSe/dfe
F值 F=MSA/MSe
单因素方差分析实例
现有5个不同大豆品种，随机在每个大豆品种的大区试验田中 抽取4个样点，每样点的小区产量结果见下表，试检验不同大豆品 种产量的的差异显著性。
1 品种号
1）总变异平方和SST
ST S(x x )2x 2 x2 /nk
2）处理间平方和SSt
StS n
2
(xtx)
T t2
n
x2/nk
3）误差平方和SSe
SSe=SST-SSt
2、计算各变异自由度
1）总变异自由度
dfT=nk-1
2）处理间自由度
dft=k-1
3）误差自由度 dfe=dfT-dft
平方和及自由度的简易计算公式如下：
SS T
x
2 ijk
T2 nkr
，
df T nkr 1
SS A
T
i
2 ••
T2
，
kr nkr
df A n 1
SS B
T•2j• T 2 ， nr nkr
df B k 1
SS AB
Tij2• T 2 ， r nkr
SS AB SS AB SS A SS B ，
SS e SS T SS AB ，
df AB nk 1
df AB (n 1)( k 1) df e nk (r 1)
二因素交叉无重复观察值的方差分析表
变异来源
A因素间 B因素间 AB互作
组内 总的
自由度
dfA dfB dfAB dfe dfT
平方和
SSA SSB SSAB SSe SST
x2
x23x2n
k
xk1，xk2，
Tk
xk
xk3xkn
T
x
SST=SSA+SSe dfT=dfA+dfe
基本公式
SST
xi2j
T2 ni
，
dTf
ni 1
SSA
Ti2 T2
ni
ni
，
dfA k1
SSe SST SSA，
def dTf dfA
单因素方差分析表
变异来源 组间 组内 总的
x n•
x •1 ，x•2 ，x •3 ，…… x•k
x
SST=SSA+SSB+SSe dfT=dfA+dfB+dfe
平方和及自由度的简易计算公式如下：
SST
xi2j
T2 nk
，
dfT nk 1
SSA
TA2
T2
，
k nk
df A n 1
SSB
TB2
T2
，
n nk
dfB k 1
二因素交叉无重复观察值的方差分析实例
A
B
C
D
1
因素
B1
B2
B3
2
A1
51
53
52
3
A2
56
57
58
4
A3
45
49
47
5
A4
42
44
43
无重复双因素方差分析
品种与氮肥对小麦增重的方差分析表
差异源 SS df MS
F
P-value F crit
行（A）332.25 3 110.75 189.8571 2.47E-06 4.757055
SSe SST SS A SSB ， dfe (n 1)(k 1)
二因素交叉无重复观察值的方差分析表
变异来源
A因素间 B因素间
组内 总的
自由度 dfA dfB dfe dfT
平方和 SSA SSB SSe SST
均方
MSA=SSA/dfA MSB=SSB/dfB MSe=SSe/dfe
F值 FA=MSA/MSe FB=MSB/MSe