2020高考数学一轮复习 第7章 不等式章末总结分层演练 文

【2019最新】精选高考数学一轮复习第7章不等式章末总结分层演

练文

章末总结

一、点在纲上，源在本里

二、根置教材，考在变中

一、选择题

1．(必修5 P100练习T3改编)用长为a(a>0)的铁丝折成一个矩形，则矩形面积的最大值为( )

A． B.a2

4

C． D.a2

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解析：选D.设折成的矩形的两边分别为x，y(x>0，y>0)．则x＋y＝.因为x＋y≥2，所以xy≤(x＋y)2＝，即S矩形≤.当且仅当x＝y＝时，Smax＝.故选D.

2．(必修5P91练习T1改编)实数x，y满足且z＝2x＋y的最大值是最小值的4倍，则a的值是( )

A． B.1

4

C． D.3

4

解析：选B.在直角坐标系中作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分(包括边界)所示，当目标函数z＝2x＋y经过可行域中的点B(1，1)时有最大值3；当目标函数z＝2x＋y经过可行域中的点A(a，a)时有最小值3a，由3＝4×3a，得a＝.

3．(必修5 P93B组T1改编)设实数x，y满足条件若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为8，则＋的最小值为( )

A．2 B．3

C．4 D．6

解析：选C.画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分(包括边界)所示，当直线z＝ax＋by(a>0，b>0)过直线2x－3y＝6与直线x－6y＝－6的交点(6，2)时，

目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)取得最大值8，即6a＋2b＝8，所以3a＋b＝4，所以(3a＋b)＝10＋3≥16.所以＋≥4.当且仅当a＝b＝1时，取等号．故选C.

4．(必修5 P85例4改编)一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料需要主要原料磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料需要主要原料磷酸盐1吨，硝酸盐15吨，现库存磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，若生产1车皮甲种肥料获利润1万元，生产1车皮乙种肥料获利润0.5万元，则该化肥厂的最大利润为( )

A．2万元B．2.5万元

C．3万元D．3.5万元

解析：选C.设生产甲、乙两种肥料各x车皮与y车皮，则表示的区域如图中阴影部分．目标函数为z＝x＋0.5y.由图可知，当直线x＋0.5y＝z经过点M时，z取最大值，由，解得x＝2，y＝2，即M(2，2)．此时zmax＝2＋0.5×2＝3，故选C.

二、填空题

5．(必修5 P91练习T1(1)改编)已知变量x，y满足约束条件若z＝2x－y的最大值为3，则实数m等于________．

解析：作出不等式组所表示的可行域如图中的△ABO及其内部．联立解得A.

化目标函数z＝2x－y为y＝2x－z，由图可知，当直线y＝2x－z过点A时，直线在y轴上的截距最小，此时z有最大值，且zmax＝－＝＝3，解得m＝.

答案：7

8

6．(必修5 P93A组T4改编)某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周(按40个工时计算)生产空调器、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台．已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：

则每周的最高产值是________千元．

解析：设每周生产空调器x 台、彩电y 台，则生产冰箱120－x －y 台，产值为z.目标函数为

z ＝4x ＋3y ＋2(120－x －y)＝2x ＋y ＋240，

所以，题目中包含的限制条件为

即⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y≤120，x ＋y≤100，x≥0，y≥0.

可行域如图．

解方程组⎩

⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝120，x ＋y ＝100，

得点M 的坐标为(10，90)，所以zmax ＝2×10＋90＋240＝350. 答案：350 三、解答题

7．(2017·高考天津卷)电视台播放甲、乙两套连续剧，每次播放连续剧时，需要播放广告．已知每次播放甲、乙两套连续剧时，连续剧播放时长、广告播放时长、收视人次如下表所示：

已知电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时间不多于600分钟，广告的总播放时间不少于30分钟，且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍．分别用x ，y 表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数．

(1)用x ，y 列出满足题目条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；

(2)问电视台每周播出甲、乙两套连续剧各多少次，才能使总收视人次最多？ 解：(1)由已知，x ，y 满足的数学关系式为

⎩⎪⎨⎪⎧70x ＋60y≤600，

5x

＋5y≥30，x≤2y，x≥0，y≥0，

即⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋6y≤60，

x

＋y≥6，x －2y≤0，

x≥0，y≥0，

该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分： (2)设总收视人次为z 万，则目标函数为z ＝60x ＋25y.

考虑z ＝60x ＋25y ，将它变形为y ＝－x ＋，这是斜率为－，随z 变化的一族平行直线.为直线在y 轴上的截距，当取得最大值时，z 的值最大．

又因为x ，y 满足约束条件，

所以由图2可知，当直线z ＝60x ＋25y 经过可行域上的点M 时，截距最大，即z 最大．

解方程组得点M 的坐标为(6，3)．

所以，电视台每周播出甲连续剧6次、乙连续剧3次时才能使总收视人次最多． 8．如图，某生态园将一三角形地块ABC 的一角APQ 开辟为水果园种植桃树，已知角A 为120°，AB ，AC 的长度均大于200米，现在边界AP ，AQ 处建围墙，在PQ 处围竹篱笆．

(1)若围墙AP ，AQ 总长度为200米，如何围可使得三角形地块APQ 的面积最大？ (2)已知AP 段围墙高1米，AQ 段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？

解：设AP ＝x 米，AQ ＝y 米．

(1)则x ＋y ＝200，△APQ 的面积S ＝xy·sin 120°＝xy. 所以S≤＝2 500.