系统根轨迹分析
自动控制原理第5章根轨迹分析法
04
CATALOGUE
根轨迹分析法的限制与挑战
参数变化对根轨迹的影响
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化 ，从而影响系统的稳定性和性能。
对于具有多个参数的系统，根轨迹分析可能变得 复杂且难以预测。
需要对参数变化进行细致的监测和控制，以确保 系统的稳定性和性能。
复杂系统的根轨迹分析
对于复杂系统，根轨 迹分析可能变得复杂 且难以实现。
02
CATALOGUE
根轨迹的基本概念
极点与零点
极点
系统传递函数的极点是系统动态 特性的决定因素，决定了系统的 稳定性、响应速度和超调量等。
零点
系统传函数的零点对系统的动 态特性也有影响，主要影响系统 的幅值和相位特性。
根轨迹方程
根轨迹方程是描述系统极点随参数变 化的关系式，通过求解根轨迹方程可 以得到系统在不同参数下的极点分布 。
05
CATALOGUE
根轨迹分析法的改进与拓展
引入现代控制理论的方法
状态空间法
将根轨迹分析法与状态空间法相结合，利用状态空间法描述系统的动态行为，从而更全 面地分析系统的稳定性。
最优控制理论
将根轨迹分析法与最优控制理论相结合，通过优化系统的性能指标，提高系统的稳定性 和动态响应。
结合其他分析方法
根轨迹方程的求解方法包括解析法和 图解法，其中图解法是最常用的方法 。
根轨迹的绘制方法
手工绘制
通过选取不同的参数值，计算对应的极点，然后绘制极点分布图。这种方法比较繁琐，但可以直观地了解根轨迹 的形状和变化规律。
软件绘制
利用自动控制系统仿真软件，如MATLAB/Simulink等，可以方便地绘制根轨迹图，并分析系统的动态特性。
控制系统的根轨迹分析(matlab)
用户可以 通过 Control Architec ture窗口 进行系统 模型的修 改，如图 13.10。
图13.10 rltool工具Control Architecture窗口
也可通过 System Data窗口 为不同环 节导入已 有模型， 如图 13.11。
图13.11 rltool工具System Data窗口
1
0.8
Amplitude
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
Time (sec)
图13.8 例4当时系统的单位阶跃响应曲 线
13.2图形化根轨迹法分析与设计
图形化根轨迹法分析与设计工 具rltool
• MATLAB图形化根轨迹法分析与设计工具rltool 是对SISO系统进行分析设计的。既可以分析 系统根轨迹，又能对系统进行设计。其方便 性在于设计零极点过程中，能够不断观察系 统的响应曲线，看其是否满足控制性能要求， 以此来达到提高系统控制性能的目的。
%鼠标确定文本的左下角位置
gtext('x')
Imaginary Axis
Root Locus
8
8
6
6
4
4
2
2
0
0
x
xx
-2
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-8 -8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Real Axis
(a) 直接绘制根轨迹
第4章 控制系统的根轨迹分析
绘制根轨迹如图4-13所示。
第4章 控制系统的根轨迹分析
图4-13 例4-5系统的根轨迹
第4章 控制系统的根轨迹分析
图中根轨迹与虚轴的交点可从系统临界稳定的条件
得到τ=1。τ=1时系统的特征方程为
得与虚轴交点的坐标为jω=±j。从根轨迹得到系统稳定时τ
的取值范围为0<τ<1。
第4章 控制系统的根轨迹分析
θj(j=1,2,3,4)。选取实轴上一点s0,若s0为根轨迹上的点,必满足
相角条件,有
第4章 控制系统的根轨迹分析
图4-5 实轴上根轨迹相角示意
第4章 控制系统的根轨迹分析
下面分别分析开环零、极点对相角条件的影响,进而分
析对实轴上根轨迹的影响。
(1)共轭复数极点p4和p5到点s0的向量的相角和为
φ4+φ5=2π,共轭复数零点到s0点的向量的相角和也为2π。
(2)实轴上,s0点左侧的开环极点p3和开环零点z2到点s0所
构成的向量的夹角φ3和θ2均为零度。
(3)实轴上,s0点右侧的开环极点p1、p2和开环零点z1到点
s0 所构成的向量的夹角φ1、φ2和θ1均为π。
第4章 控制系统的根轨迹分析
第4章 控制系统的根轨迹分析
若系统稳定,由劳斯表的第一列系数,有以下不等式成立:
得0<K* <78.47。
由此可知,当 Kc* =78.47时,系统临界稳定,此时根轨迹穿
过虚轴。K* =78.4ω 值由以下辅助方程确定:
将 K* =78.47代入辅助方程,得
解得s=±j2.16。
第4章 控制系统的根轨迹分析
对于例4-1,其在实轴上的根轨迹一条始于开环极点,止于
开环零点(根轨迹位于-2到-5之间),另两条始于开环极点,止于
自动控制原理--控制系统的根轨迹分析及特殊根轨迹
j1
s0
j1
jk
s sk
j1
jk
单位阶跃响应为
n
y(t) A0 Akeskt k 1
m
m
Ks zi Kzi
A0
i1 n
s sj
i1 n
GB(0)
sj
j1
s0
j1
m
m
K s zi
Ak
i1 n
s sj
1 s
K sk zi
i1 n
sk sk sj
jk
1
s2
100 8s 100
4 3
os1
1.5
1.7
可求得 0.4, ，n 10
s3
所以 % e 1 2 100% 25%，ts (s3.)5 n 3.5 4 0.9
j
0
利用根轨迹分析控制系统的性能
例11 分析K的变化对系统稳定性的影响
K (s 3) G(s)H (s) s(s 5)(s 6)(s2 2s 2)
增加开环极点的影响 增加极点对根轨迹形状的影响
增加开环零点的影响 增加零点对根轨迹形状的影响
例9 已知某系统闭环传递函数
GB (s) 0.67s 1
1 0.01s2
0.08s 1
试计算在单位阶跃输入时的系统输出超调量 % 和调节时间t。s
解：该闭环系统有三个极点，s1 1.5, s2,3 零4 、j9.2极点 分布如右图。
系统稳定的K的范围为: 0<K<35
例12 分析K的变化对系统的影响。设负反馈系统的开环传递函数为
K s z G(s)H(s) ss p
z p
求系统闭环根轨迹，并分析 p 2, 时z系 统4 的动态性能。
系统根轨迹分析
需要注意的几点
• ⑴、得到的等价开环传递函数其根轨迹可能为一 般根轨迹或零度根轨迹，需判定。 • ⑵、得到的等价开环传递函数可能分子最高次数 比分母最高次数高，此时可根据分子、分母互换 后的等价开环传递函数绘制根轨迹，其根轨迹相 同，开环零、极点互换，根轨迹方向不同。 • ⑶、等价开环传递函数的系统和原系统只是根轨 迹（闭环极点）相同，闭环零点并不相同，性能 也不尽相同。
m i =有 1 + G ( s ) H ( s ) = 0
m n
j =1
j
则相角条件为：∑ ∠( s + zi ) − ∑ ∠( s + p j ) = (2l + 1)π
i =1 j =1
幅值条件为：
∏ s+z
k
i =1 n j =1
m
i
∏ s+ p
= −1
j
二、一般根轨迹的绘制
6、平面上根轨迹的渐近线： 渐近线与实轴交点为：
∑ p − ∑z
σa =
j =1 j i =1
n
m
i
n−m
渐近线与实轴正方向夹角为：
ϕ a = ( 2l + 1)π /( n − m ), l = 0、 L、n − m − 1 1、
7、根轨迹与虚轴交点 方法1：将 s = jω 代入特征方程，然后令特征方程 的实部和虚部为零，即可求得。 方法2：利用Roth代数判据求得。 8、平面上根轨迹的出射角、入射角 n m 出射角：
θ − p = ( 2l + 1)π −
a
j =1, j ≠ a
n
∑
∠( s + p j ) + ∑ ∠( s + zi )
第四章 控制系统根轨迹分析法
4.1 根轨迹的概念
模条件与角条件的作用： 1、角条件与k无关，即s平面上所有满足角条件的 点都属于根轨迹。（所以绘制根轨迹只要依据角条 件就足够了）。 2、模条件主要用来确定根轨迹上各点对应的根轨 I 迹增益k值。
m
k
j 1 m
n
s p
j
s Zi
args Z i
1
所以结论：实轴上线段右侧的零、极点数目之和为奇 数时，此区段为根轨迹。
jω
例
k G0 ( s ) Ts 1
1 T
×
×
×
×
σ
1 p T
j
1 1 T F 1 T 2k 1 1
k' G0 ( s ) s( s 0.5 )
j
p1 0 p2 0.5
k G0 s 举例： 开环传函： ss 1
K为开环增益（因为标准型） 有两个开环极点 无开环零点
rs
k ss 1
C s
k G s 2 闭环传函： s sk
2 D s s sk 0 则闭环特征方程为：
1 1 闭环特征根（即闭环传函的极点）： s1 1 4k
0 0 .5 F 0.25 2 2k 1 3 , 2 2 2
-0.5 0
4.2 根轨迹的绘制规则
规则四：根轨迹的渐近线： （1）条数： （n-m）条 （2）与实轴所成角度 当
m n 2k 1
n m
s 时，认为所有开环零极点引向s的角相同
Z1 Z m p1 p n
G 0 s k
m
为m个开环零点
控制系统的根轨迹分析实验报告
一、实验目的1. 熟悉控制系统根轨迹的基本概念和绘制方法。
2. 掌握利用MATLAB软件绘制和分析控制系统根轨迹的方法。
3. 通过根轨迹分析，了解系统参数变化对系统性能的影响。
4. 培养实验操作能力和数据处理能力。
二、实验原理根轨迹是指当系统的某一参数（如开环增益K）从0变化到无穷大时，闭环系统的特征根在s平面上的变化轨迹。
通过分析根轨迹，可以了解系统在参数变化时的稳定性、瞬态响应和稳态误差等性能。
三、实验设备1. 计算机2. MATLAB软件3. 控制系统实验箱四、实验内容1. 绘制控制系统根轨迹（1）首先，根据实验要求，搭建控制系统的数学模型。
（2）利用MATLAB中的rlocus函数绘制系统的根轨迹。
（3）观察根轨迹的变化规律，分析系统在不同参数下的稳定性。
2. 分析系统性能（1）根据根轨迹，确定系统的稳定裕度，包括增益裕度和相位裕度。
（2）分析系统在不同参数下的瞬态响应，如上升时间、调整时间、超调量等。
（3）分析系统在不同参数下的稳态误差，如稳态误差和稳态误差系数。
3. 改变系统参数，观察根轨迹变化（1）改变系统的参数，如增益、时间常数等。
（2）重新绘制根轨迹，观察根轨迹的变化规律。
（3）分析系统参数变化对系统性能的影响。
五、实验结果与分析1. 绘制控制系统根轨迹（1）根据实验要求，搭建控制系统的数学模型，得到开环传递函数。
（2）利用MATLAB中的rlocus函数绘制系统的根轨迹。
（3）观察根轨迹的变化规律，分析系统在不同参数下的稳定性。
2. 分析系统性能（1）根据根轨迹，确定系统的稳定裕度，包括增益裕度和相位裕度。
（2）分析系统在不同参数下的瞬态响应，如上升时间、调整时间、超调量等。
（3）分析系统在不同参数下的稳态误差，如稳态误差和稳态误差系数。
3. 改变系统参数，观察根轨迹变化（1）改变系统的参数，如增益、时间常数等。
（2）重新绘制根轨迹，观察根轨迹的变化规律。
（3）分析系统参数变化对系统性能的影响。
(自动控制原理)4.4利用根轨迹分析系统性能
根轨迹的特点和规律
根轨迹具有以下特点和规律： • 根轨迹是一条连续的曲线，代表了特征方程根的轨迹 • 根轨迹始终位于系统开环增益与相位的交点上 • 根轨迹趋近于无限远点的方向，表示系统的稳定性 • 根轨迹与该点的对称位置具有相同的特性
利用根轨迹评价系统性能
根轨迹可以评估系统的稳定性和动态响应性能，通过观察根轨迹的形状和位置，可以得出以下结论：
根轨迹的概念
根轨迹是反映闭环控制系统特征方程根随参数变化而变化的图形。通过观察 根轨迹可以分析系统的稳定性、动态响应和频率响应特性。
如何绘制根轨迹
绘制根轨迹的步骤如下： 1. 得到系统的特征方程 2. 使用根轨迹的绘制规则和技巧，画出根轨迹的大致形状 3. 通过调整系统参数，绘制出完整的根轨迹图形
自动控制原理 4.4 利用根 轨迹分析系统性能
自动控制系统的性能对于系统的稳定性和响应速度至关重要。本章将介绍根 轨迹方法，用于绘制系统的根轨迹图，并利用根轨迹图评估系统的稳定性和 动态响应性能。
系统性能的定义
系统性能是指系统对于输入信号的响应质量和稳定性。主要包括以下几个方 面：时间响应特性、频率响应特性、稳定性和误差特性。
结论和要点
1 根轨迹是分析系统
性能的重要工具
根轨迹反映了系统的稳 定性和动态响应性能。
2 根轨迹的绘制方法
可以通过特征方程和绘 制规则来绘制根轨迹。
3 根轨迹的应用
根轨迹分析在实际控制 系统中具源自广泛的应用。稳定性如果根轨迹位于左半平面，则系统是稳定的。
动态响应
根轨迹的形状和位置可以反映系统的响应速 度和超调量。
频率响应
根轨迹的形状和位置可以反映系统的频率响 应特性。
稳定裕度
根轨迹与虚轴的交点距离表示系统的稳定裕 度。
《模块化自控原理》线性系统的根轨迹分析实验
《模块化自控原理》线性系统的根轨迹分析实验模块化自控原理中的线性系统的根轨迹分析实验是探究线性系统的稳定性和动态特性的一种常用方法，通过实验观测和分析系统的根轨迹，可以得到系统的传递函数以及系统的稳定性等重要信息。
下面是对该实验的详细说明和分析。
1.实验目的1.1理解线性系统的根轨迹概念及其重要性；1.2学习使用根轨迹法进行系统的稳定性和动态特性分析；1.3掌握根轨迹分析实验的具体步骤；1.4提高实验操作和数据处理的能力。
2.实验原理2.1根轨迹的概念根轨迹是以参数变化为基础的线性系统稳定性和动态特性的分析方法之一、根轨迹是指在参数变化的范围内，系统传递函数极点的轨迹，可以用来判断系统的稳定性、响应特性和动态响应快慢等重要指标。
2.2根轨迹的画法根轨迹的画法需要先确定系统的开环传递函数，然后通过对传递函数进行拆项和配平，求解极点的位置。
根轨迹的位置可以通过极点的实部和虚部来表示，根据虚轴对称性和极点与零点的关系，可以画出根轨迹的大致形状和方向。
2.3根轨迹分析的应用根据根轨迹的形状、分布和方向可以判断系统的稳定性和动态特性：-根轨迹在左半平面则系统稳定；-根轨迹与虚轴交点奇数个则系统不稳定；-根轨迹的分布越往左上角或右上角，系统的动态特性越好。
3.实验装置和器材3.1实验装置数字控制系统实验台、计算机、示波器、信号发生器、数模转换器等。
3.2实验器材电脑、电源线、连接线、示波器探头等。
4.实验步骤4.1连接实验装置将数字控制系统实验台与计算机、示波器、信号发生器和数模转换器等设备进行连接。
4.2系统参数调整设置合适的实验参数，包括采样频率、控制周期、信号幅值等。
4.3系统根轨迹绘制在计算机上运行相应的根轨迹绘制软件，根据实验所给的开环传递函数和稳定域范围，绘制系统的根轨迹。
4.4根轨迹分析根据根轨迹的形状、位置和分布等信息，分析系统的稳定性和动态特性，并给出相应的结论和解释。
4.5记录实验数据记录实验中所绘制的根轨迹和分析结果，包括根轨迹的形状、交点、分布等重要特征。
控制系统根轨迹分析
控制系统根轨迹分析简介控制系统根轨迹分析是一种经典的控制系统稳定性分析方法。
通过分析系统的特征根轨迹，可以评估系统的稳定性、阻尼比、过渡时间等性能指标，从而设计合适的控制器来实现系统的稳定和性能要求。
根轨迹的定义控制系统的根轨迹是由系统的特征根在复平面上随参数变化所形成的轨迹。
特征根是系统传递函数的零点，它们决定了系统的动态特性。
根轨迹对应于特征根的运动轨迹，可以直观地反映系统的稳定性和相应的频率响应。
根轨迹的绘制方法步骤一：计算系统的传递函数首先，需要获得系统的传递函数。
传递函数通常是通过将系统的微分方程进行拉氏变换得到的。
传递函数是 Laplace 域中的函数，它描述了输入和输出之间的关系。
步骤二：确定系统的开环极点和零点根轨迹是由系统的特征根构成的，而特征根由系统的开环极点和零点决定。
开环极点指的是系统传递函数的分母多项式的根，而开环零点指的是系统传递函数的分子多项式的根。
通过确定系统的极点和零点，可以得到系统的特征根。
步骤三：绘制根轨迹根轨迹的绘制可以通过手工计算或数值模拟方法实现。
手工计算方法需要根据系统的传递函数进行复杂的计算，而数值模拟方法可以借助计算机软件进行自动计算和绘制。
绘制根轨迹时，需要遵循以下基本规则： - 根轨迹始于系统的零点。
如果系统有多个零点，那么根轨迹将从每个零点开始。
- 根轨迹与实轴交点的个数等于零点的个数减去极点的个数，这一性质被称为根轨迹的零点和极点计数法则。
- 根轨迹在系统的极点位置是不连续的，并且与极点的关联程度取决于极点的幅度和阶数。
根轨迹的稳定性分析通过观察根轨迹图形，可以评估控制系统的稳定性。
根轨迹的稳定性分析方法主要有以下几种：1. 判据法判据法是判断根轨迹稳定性的基本方法之一。
根轨迹的稳定性与根轨迹图形与实轴的关系有关。
如果根轨迹图形位于实轴的左侧，则系统是稳定的；如果根轨迹图形经过实轴，则系统是不稳定的。
2. Astrom法Astrom法是一种根据根轨迹图形的形态特征进行稳定性判断的方法。
自动控制理论第四章 线性系统的根轨迹分析
由以上分析得知：
根轨迹表明了系统参数对闭环极点分布的影 响，通过它可以分析系统的稳定性、稳态和 暂态性能与系统参数之间的关系。
利用根轨迹，可对系统动态特性进行下述分析： （1）判断该系统在K1从0到变化时的稳定性； （2）判断系统在K1从0到变化时根轨迹的条数； （3）判断该系统K1取值在何范围时处于过阻尼、 临界阻尼和 欠阻尼状态； （4）判断系统的“型”，从而计算系统稳态特性； （5）当K1值确定后，在根轨迹上找到闭环极点，从而计算系 统闭环性能指标；或反之；
•根轨迹法作为经典控制理论的基本方法,与频率特性法 互为补充,是分析和研究自动控制系统的有效工具。
•实际上，我们可以利用matlab方便地绘制系统的根轨 迹图。
本章内容
第一节 根轨迹的基本概念 第二节 绘制根轨迹的方法 第三节 参量根轨迹和多回路系统根轨迹 第四节 正反馈系统和零度根轨迹 第五节 利用根轨迹分析系统的暂态性能 第六节 延迟系统的根轨迹 本章小结、重点和习题
当K1由0变化到时，试按一般步骤与规则绘制 其根轨迹图。 解: （1）本系统为3阶系统，有3条根轨迹； （2）起始点：系统没有开环零点，只有三个开环 极点，分别为p1=0，p2=-1，p3=-2。 （3）渐近线：K1时， p1 p2 p3 0 1 2 a 1 有3条根轨迹趋向无穷远处， nm 30 其渐近线与实轴的交点和 (2q 1)180 (2q 1)180 a nm 3 倾角分别为：
满足相角条件,s1=-1.5+j2.5是该系统根轨迹上的点。
（3）利用幅值条件求得与s1 相对应的K1值。
K1
s1 ( s1 2) ( s1 6.6) ( s1 4)
1.5 j 2.5 0.5 j 2.5 5.1 j 2.5 2.5 j 2.5
第4章 根轨迹分析法
i 1
其余n m,
m
(s zi )
i 1 n
(s pj )
m
(1
m
i 1
pj
(1 s)
zi
n
s
) (s
p
j
)
1 Kg
j 1
j 1
j m 1
此时s ，即无穷远处
8/63
五.实轴上的根轨迹
在实轴上，右方的实数开环极点和实数开环零 点的总和为奇数时，此为根轨迹上点。
GK (s)
m
n
闭环系统特征方程 或根轨迹方程
4/63
GK (s) GK (s) e jGK (s) 1
幅值条件: GK (s) 1 相角条件: GK (s) 180o (2k 1) k 0,1, 2,
或:
m
(s zi )
充要条
K i1 gn
1
件
(s pi )
m
n
j 1
s zi s p j 180o (2k 1) k 0,1,2,
当 nm2
n
n
an1 ( pj ) (sj ) s j 为系统的闭环极点
j 1
j 1
随着根轨迹增益的变化，若一些闭环极点向右移动，则另一些
必向左移动
n
(sj )=(-1)n (a0 Kgb0) j 1
22/63
十条法则：
1.连续性 2.对称性 3.分支数 4.起点、终点 5.实轴上的根轨迹 6.渐近线 7.分离点、会合点 8.出射角、入射角 9.虚轴交点 10.闭环极点的和与积
D(s)N(s) N(s)D(s) 0,3s2 6s 2 0
ss21
0.423 1.577
线性控制系统的根轨迹分析法
PART 01
引言
线性控制系统简介
线性控制系统是由线性微分方程描述 的一类控制系统，其特点是系统的输 出和输入之间存在线性关系。
线性控制系统广泛应用于工程领域， 如航空航天、化工、电力等，用于实 现各种控制目标，如稳定性、快速性 和准确性。
根轨迹分析法的定义和重要性
根轨迹分析法是一种通过分析线性控制系统闭环极点的变化来研究系统性能的方法。
系统校正与改进
通过根轨迹分析，可以找到系统性 能不足的原因，进而对系统进行校 正或改进设计。
PART 04
根轨迹分析法的限制和挑 战
参数变化对根轨迹的影响
01
参数变化可能导致根轨迹的形状和位置发生变化，从而影响 系统的稳定性和性能。
02
参数变化可能使系统从稳定状态变为不稳定状态，或反之。
03
参数变化可能影响系统的动态响应，如调节时间和超调量。
分析系统动态特性
通过根轨迹分析，可以了 解系统在不同参数下的动 态特性，如超调和调节时 间等。
控制系统性能优化
1 2 3
优化系统性能指标
通过调整系统参数，利用根轨迹分析优化控制系 统的性能指标，如减小超调量、缩短调节时间等。
提高系统抗干扰能力
通过根轨迹分析，可以找到提高系统抗干扰能力 的参数设置，使系统在受到扰动时仍能保持良好 的性能。
分支性
当参数变化超过一定阈值 时，根轨迹可能出现分支， 表示系统出现多解或不稳 定。
PART 03
根轨迹分析法的应用
控制系统稳定性分析
判断系统稳定
通过根轨迹分析，可以判 断线性控制系统的稳定性， 即系统在受到扰动后是否 能恢复稳定状态。
确定系统临界状态
根轨迹分析可以确定系统 临界状态，即系统在某一 特定参数下从稳定状态变 为不稳定状态。
自动控制原理根轨迹分析知识点总结
自动控制原理根轨迹分析知识点总结自动控制原理是研究自动控制系统的基本理论和方法的学科，而根轨迹分析是自动控制原理中的一项重要内容。
本文将对根轨迹分析的知识点进行总结，帮助读者更好地理解和运用这一分析方法。
一、根轨迹分析的基本概念根轨迹是描述控制系统传递函数的极点随参数变化而在复平面上运动的轨迹。
通过绘制根轨迹图，可以直观地了解系统的稳定性、动态响应和频率特性等重要信息。
二、根轨迹的性质1. 根轨迹图是在复平面上绘制的闭合曲线，其中包含了系统的所有极点。
2. 根轨迹出发点（即开环传递函数极点）的数量等于根轨迹终止点（即闭环传递函数极点）的数量。
3. 根轨迹关于实轴对称，即系统的实部极点只存在于实轴的左半平面或右半平面上。
4. 根轨迹通过传递函数零点的个数和位置来确定。
三、根轨迹的画法1. 确定系统的开环传递函数。
2. 根据传递函数的表达式，求得系统的特征方程。
3. 计算特征方程的根，即极点的位置。
4. 绘制根轨迹图，显示系统极点随参数变化的轨迹。
四、根轨迹的稳定性分析1. 若根轨迹通过左半平面（实部为负）的点的个数为奇数，则系统是不稳定的。
2. 若根轨迹通过左半平面的点的个数为偶数，则系统是稳定的。
五、根轨迹的频率特性分析1. 根轨迹的形状和分布可以判断系统的阻尼比、振荡频率和衰减时间等性能指标。
2. 根轨迹与系统的频率响应曲线之间存在一一对应的关系。
六、根轨迹的应用1. 根据根轨迹可以设计和优化控制系统的参数，使系统具有所需的动态性能。
2. 利用根轨迹可以直观地观察到系统的稳定性和动态响应，便于故障诊断和故障排除。
七、根轨迹分析的注意事项1. 在绘制根轨迹图时，应注意传递函数的极点和零点的位置，以及参数的范围。
2. 在分析根轨迹时，应考虑系统的稳定性、动态响应和频率特性等综合因素。
以上就是自动控制原理根轨迹分析的知识点总结。
根轨迹分析作为自动控制原理中的一项重要内容，对于理解和设计控制系统具有重要意义。
开环传递函数为g(s)h(s)=,的系统的根轨迹
根轨迹是控制系统理论中的一个重要概念，它描述了系统的闭环极点随比例控制增益变化而移动的轨迹。
根轨迹分析可以帮助工程师们理解和设计控制系统，从而实现所需的控制效果。
在一个开环传递函数为g(s)h(s)=K的系统中，根轨迹的形状和特性可以通过分析开环传递函数的极点和零点来确定。
下面将对根轨迹的相关内容进行详细介绍。
一、开环传递函数的极点和零点在分析根轨迹之前，首先需要了解开环传递函数的极点和零点。
开环传递函数g(s)h(s)=K可以表示为：g(s)h(s)=K = (s-z1)(s-z2)...(s-zm)/(s-p1)(s-p2)...(s-pn)其中，zi表示开环传递函数的零点，pi表示开环传递函数的极点，m 和n分别表示零点和极点的个数。
二、根轨迹的基本特性1. 根轨迹的数量和对称性对于一个开环传递函数g(s)h(s)=K，根轨迹的数量等于系统的极点个数与零点个数之差，即：N = n - m其中，N表示根轨迹的数量。
如果N大于0，则说明存在一条由零点指向极点的根轨迹；如果N小于0，则说明存在一条由极点指向零点的根轨迹。
如果N等于0，则说明根轨迹位于无穷远点。
另外，根轨迹具有对称性，即极点和零点关于实轴的对称性。
如果存在共轭复根，则根轨迹还具有对称于实轴和虚轴的对称性。
2. 根轨迹的趋势和稳定性根轨迹的趋势和稳定性与开环传递函数的极点和零点位置有关。
一般来说，当增加比例控制增益K时，根轨迹会沿着一定的路径移动，最终趋向于无穷远点或者相交于实轴上的某一点。
这个过程中，系统的稳定性也会发生变化。
三、根轨迹的绘制方法根轨迹的绘制方法一般分为实部法和虚部法两种。
实部法是通过改变K的值，计算极点和零点对应的根轨迹的实部和虚部，然后绘制根轨迹图。
虚部法是通过改变K的值，计算极点和零点对应的根轨迹的角度和距离，然后绘制根轨迹图。
四、根轨迹的应用根轨迹分析是设计控制系统的重要工具之一。
通过根轨迹分析，工程师们可以了解系统的稳定性、动态响应和控制性能，从而优化控制系统的设计。
控制系统的根轨迹分析实验报告
控制系统的根轨迹分析实验报告控制系统的根轨迹分析实验报告引言：控制系统是现代工程中非常重要的一部分，它可以帮助我们实现对各种物理过程的自动控制。
而根轨迹分析作为一种重要的分析方法，可以帮助我们了解系统的稳定性和动态响应特性。
本实验旨在通过根轨迹分析方法，对一个控制系统进行分析，并得出相应的结论。
实验目的：1. 学习根轨迹分析方法的基本原理和步骤；2. 通过实验分析，了解控制系统的稳定性和动态响应特性；3. 掌握如何根据根轨迹分析结果进行控制系统设计和优化。
实验步骤：1. 实验准备：a. 搭建好控制系统实验平台，包括传感器、执行器和控制器等；b. 确定实验所需的输入信号和采样频率。
2. 数据采集：a. 将输入信号输入到系统中，并采集输出信号；b. 通过数据采集设备将输出信号转换为数字信号。
3. 数据处理和分析：a. 使用MATLAB等软件，将采集到的数据导入，并进行根轨迹分析；b. 根据根轨迹图，分析系统的稳定性和动态响应特性。
实验结果与讨论：通过根轨迹分析，我们得到了系统的根轨迹图。
根轨迹图是描述系统极点随控制参数变化而轨迹的图形，可以直观地反映系统的稳定性和动态特性。
根据根轨迹图，我们可以得出以下结论：1. 系统的稳定性：根轨迹图上的点都位于左半平面，则系统是稳定的；若存在点位于右半平面，则系统是不稳定的。
2. 系统的阻尼比：根轨迹图上的曲线越靠近实轴，则系统的阻尼比越小；曲线越远离实轴，则系统的阻尼比越大。
3. 系统的自然频率：根轨迹图上的曲线越接近原点，则系统的自然频率越小；曲线越远离原点，则系统的自然频率越大。
根据以上分析，我们可以得出对控制系统的一些优化建议：1. 若系统不稳定，在根轨迹图上找到导致不稳定的点，并调整控制参数，使其移动到左半平面，从而提高系统的稳定性。
2. 若系统的阻尼比过小，可能导致系统的动态响应过度振荡，可以通过调整控制参数来增加阻尼比，从而减小振荡幅度。
3. 若系统的自然频率过大，可能导致系统响应过快，可能引起过冲或不稳定，可以通过调整控制参数来减小自然频率，从而改善系统的响应特性。
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180
l
, l为分离或会合根轨迹的
6、平面上根轨迹的渐近线： 渐近线与实轴交点为：
n
m
pj zi
a j1
i 1
nm
渐近线与实轴正方向夹角为：
a (2l 1) /(n m),l 0、1、、n m 1
7、根轨迹与虚轴交点
方法1：将 s j 代入特征方程，然后令特征方程
的实部和虚部为零，即可求得。
3、起始点：开环极点；终止点：开环零点、“无穷
零点”； 一一对应
4、实轴上根轨迹：满足“右奇”原则；
5、分离点、会合点：实轴上根轨迹两端若都为开环
极点，则必存在分离点；若两端都是开环零点（
或一个开环零点一个无穷零点），则必有会合点
；解 PQ QP 0，得到的值中取在根轨迹上的
值。
分离或会合角为 d 分支数。
方法2：利用Roth代数判据求得。
8、平面上根轨迹的出射角、入射角
出射角：
n
m
pa (2l 1)
[( pa ) ( pj )] [( pa ) (zi )]
j 1, j a
i 1
入射角：
n
m
zb (2l 1) [(zb ) ( pj )] [(zb ) (zi )]
j 1
4、幅相条件：
m
负反馈系统开环传递函数为：
G(s)H(s) k
(s zi )
i 1
n
(s pj)
j 1
当 k由0 ，有 1 G(s)H (s) 0
则相角条件为： m
n
(s zi ) (s p j ) (2l 1)
i 1
j k i1 n
1
s pj
3、根轨迹的“圆”。（P87、P88）
三、0度根轨迹的绘制
1、概念：负反馈系统当 k : 0 时的根轨迹，
或正反馈系统 k : 0 时的根轨迹。
2、绘制法则： 与一般根轨迹对比，区别在于： （1）相角条件由180度变为0度； （2）实轴上根轨迹满足“右偶”原则。 其余完全相同。 0度根轨迹与一般根轨迹呈“对称性”。
j 1
二、一般根轨迹的绘制
1、概念：负反馈系统开环传递函数为
m
， G开 (s)
k (s zi )
i 1 n
(s pj )
k
P(s) Q(s)
k : 0
由
j 1
此画出的闭环系统的根轨迹为一般根轨迹。
本质：由开环传函零极点确定闭环极点的分布。
2、绘制法则
1、对称性：以实轴为对称轴；
2、分支数：等于开环极点个数；
k 0 0.5 4 2 3
1
2
4
4 2 3 10
s1 0 0.5 s2 2 1
3 1 0.5 0.5 3 j 2 j 1 3 j 1 3 4 6 1 3 1 0.5 0.5 3 j 2 j 1 3 j 1 3 4 6
2、根轨迹与性能关系：
利用根轨迹可分析系统稳定性、动态性能、稳 态性能。
例如：
K>2时，根轨迹都在左半平面，系统闭环稳定 。
时为过阻尼和临界阻尼，特征根为 实k 根4， 阶2 跃3 响应为单调衰减；
时为欠阻尼，特征根为共轭复
根2 ，k阶跃4 响2应3为振荡衰减。
3、为什么要研究根轨迹：
当系统参数变化特征根也随之变化，可分 析特征根变化对性能影响，因此可绘制根轨迹 来分析系统性能；但根据闭环特征方程求特征 根来绘制根轨迹只适用于一、二阶系统、不适 用于高阶系统，有必要研究一般根轨迹的绘制 法则，从而分析系统。
需要注意的几点
⑴、得到的等价开环传递函数其根轨迹可能为一 般根轨迹或零度根轨迹，需判定。
⑵、得到的等价开环传递函数可能分子最高次数 比分母最高次数高，此时可根据分子、分母互换 后的等价开环传递函数绘制根轨迹，其根轨迹相 同，开环零、极点互换，根轨迹方向不同。
⑶、等价开环传递函数的系统和原系统只是根轨 迹（闭环极点）相同，闭环零点并不相同，性能 也不尽相同。
sM
kM(s) (s) N(s)
1、基本思路： 构造等价的开环传递函数，满足：
⑴、其闭环特征方程与原系统相同； ⑵、其参变量与一般根轨迹相同，为根轨迹增益。
绘制等价的开环传递函数系统的根轨迹，即为 原系统根轨迹。 2、一般步骤：
首先求原系统闭环特征方程，其次构造等价的 开环传递函数，最后绘制等价的开环传递函数系统 的根轨迹即为原系统根轨迹。
系统根轨迹分析
一、概述
1、根轨迹的概念： 系统中某参数变化时闭环极点的集合为根轨迹。
例如：负反馈系统开环传递函数为，G(s)H (s) k(s 1) s(s 2)
闭环特征方程为 s2 (k 2)s k 0
特征根为
2k s1,2
(k 2)2 4k 2
当 k由0 变化时，特征根也随之变化：
四、参量根轨迹
例：负反馈系统开环传递函数为
G(s)H(s) (s k)M (s)
则闭环特征方程为
N (s)
1 (s k)M (s) 0
N (s)
整理，得 N (s) (s k)M (s) 0
再整理，得
1 kM(s) 0 sM (s) N (s)
则可得等价开环传递函数为
GH 等价 (s)
i 1,i b
实质：
m
n
(s zi ) (s p j ) (2l 1)
i 1
j 1
需注意的几点
1、根轨迹在左右方向上大体平衡，即有向左的 轨迹则必有向右的轨迹，且从感官上轨迹长度 大体相当；
2、靠近虚轴和原点附近的根轨迹尽可能精确绘 制，方法是：在草图基础上确定若干点，然后 对草图修正；