有限单元法概述及其基本概念的分析_孙洪铁[1]

0 。 1 － μ 2
接下来， 由单元应力推算节点力， 需要用到平衡方程， 在有限 元法中通常用虚功原理来代替平衡方程 。 在平面应力问题中虚 功原理表达式为： ｛ δ * ｝ （ e） T ｛ F ｝ （ e） =
｛ ε
A
*
｝ T ｛ σ｝ t dxdy
（ 9）
如图 3 所示中， 令实际受力状态在虚设位移状态上作虚功， * B］ ｛ δ * ｝ （ e） 得： 由｛ ε ｝ = ［ T ｛ ε * ｝ T = ｛ δ * ｝ （ e） T［ B］ （ 10 ）
2． 2
选择位移函数
有限元法的基本原理是分块近似， 即把所要研究的区域， 分
u 精确解
然后假设一些比较简单的函数来表示每个子 割成有限个子区域， 区域中的解， 这些假定的函数被称为位移函数， 位移场或位移模式。 一般多项式被作为位移函数， 如二维位移函数一般为： 2 f（ x， y） = α1 + α2 x + α3 y + α4 x + α5 xy + α6 y2 + … + α m y n （ 1）
2 2
1
有限单元法概述
有限单元法是一种获得工程问题近似解的数值分析方法， 它
通过对单元的 通过离散的有限个单元集合体来代替真实的结构， 分析， 进而得到整个结构的近似解， 在工程设计中， 这种近似解已 能满足工程的需要， 有足够的精确度。有限单元法是最初结构力 学中杆系结构的矩阵位移法的一种推广， 并应用于二维和三维问 。 与杆系结构不同， 二维和三维实体没有明显的联结点， 题 然而， 这就需要建立许多人为的节点， 将连续体离散化为许多任意形状 的单元， 用此方法， 连续体便可用有限个自由度的系统来近似表 并求得其近似解。 示 u2 x 0
v2 * υ2 2
* υ2 u2
（ e） =［ k］ × 我们要找到｛ δ｝ 与｛ F｝ 的转换关系， 即｛ F ｝ （ e） （ e） ｛ δ｝ ， ［ k］ 为单元的刚度矩阵。 以节点的水平分量为例 其中，
0
x
图 2 平面应力 三角形单元节点位移及节点力
二次， u （x ） =α1+α2x+α3x2 x c ） 二次 （三项 ） 多项式
d ） 帕斯卡三角形
图1
位移函数
20 收稿日期： 2012-02作者简介： 孙洪铁（ 1978- ） ， 男， 工程师， 一级注册结构工程师
· 38· 2． 3
第 38 卷 第 14 期 2 0 1 2 年 5 月
山
西
建
筑
y） ｝ = ［ f（ x， y） ］ ［ A］ ｛ δ ｝ （ e） ｛ δ（ x ， （ 6）
有限元模型的建立
作为位移场中有限单元的建立， 我们所要求的是连接有限个
至此单元内部任意点位移已由节点坐标及节点位移表示 。 接下来可以求解单元的应变与位移的关系， 在弹性力学平面问题 中由： εx = y） y） υ（ x， v（ x， ； εy = ； x y y） v υ（ x， + 。 γ xy = y x εy B］ ｛ δ ｝ （ e） γ xy ｝ = ［ （ 7）
* 代入式（ 10 ） 中， 由于｛ δ ｝ 为任意的， 整理后得：
（ 2） （ 3）
｛ F ｝ （ e） =
［B］ ｛ σ｝ tdxdy
T
（ 11 ） （ 12 ）
[
可简写为：
1 0
x 0
y 0
0 1
0 x
0 y
]
B］ ， ｛ σ｝ 均为常量， 因在常应变三角形单元中［ 则： T ｛ F ｝ （ e） = ［ B］ ｛ σ｝ tΔ 结合式（ 7 ） 及式（ 8 ） 得： T ｛ F ｝ （ e） = ［ B］ ［ D］ ［ B］ ｛ δ * ｝ （ e） tΔ。 （ 4）
（ e） T k］ =［ B］ ［ D］ ［ B］ tΔ， 另［ 则： （ e） ｛ F ｝ （ e） = ［ k］ ｛ δ ｝ （ e） 。
T ［ α1 α2 α3 α4 α5 α6］ 。
｛ δ（ x ， y） ｝ = ［ f（ x， y） ］ ｛ α｝
此为单元内部点位移与广义坐标之间的转化关系， 为了求出 （ e） 需要求出节点位移｛ δ ｝ 与 节点位移与单元内部点位移的关系， ｛ α｝ 的转换关系。 三角形单元的节点位移可以表示为： T ｛ δ ｝ （ e） = ［ ｛ δ1 ｝ ， ｛ δ2 ｝ ， ｛ δ3｝ ］ =［ υ1 v 1 υ2 v 2 υ3 v3］ 。
u 精确解 常数， u （x ） = α1 线性， u （x ） =α1+α2x x x b ） 线性 （二项 ） 多项式 常数项 一次项 x ｘy y 二次项 3 2 3 2 ｘ ｘ y ｘy y 三次项 ｘ4 ｘ3y ｘ2y2 ｘy3 x4 四次项 ｘ5 ｘ4y ｘ3y2 ｘ2y3 ｘy4 y5 五次项 对称轴 1 ｘ y
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有限单元法概述及其基本概念的分析
孙洪铁
（ 中国天辰工程有限公司， 天津 300400 ）
摘
要： 通过对有限单元法的概述， 对有限单元法的分析过程以及基本概念进行了剖析， 并作了简要说明， 以使工程设计人员能更
更加高效安全的解决实际问题 。 好的掌握有限单元法， 关键词： 有限单元法， 离散化， 位移函数， 单元分析， 刚度集成 中图分类号： TU311． 4 文献标识码： A 重叠， 这要求单元边界的位移仅与该边界上各节点的位移有关 。 2 ） 位移函数必须包含单元的刚体位移， 即单元一定要产生但不引 如平面应力单元会在平面内任意方向产生 起应力的那部分位移， 均匀移动和转动而不引起应变 。在多项式位移函数中， 常数项提 供单元的刚体位移。3 ） 位移函数必须包含单元的常应变状态， 从 设想表示结构集合体 物理上我们可以理解常应变状态的必要性， 的单元越来越多， 则在极限情况下， 每个单元趋近于一个非常小 单元内的应变接近为常量， 所以位移函数中必须包含常 的尺寸， 应变， 才能使计算收敛于正确解， 多项式一次项提供了单元的常 3 ） 条称做有限单元 应变。以上 1 ） 条称为有限单元的协调性； 2 ） ， 的完备性， 如单元既完备又协调， 则收敛是单调的， 即以某种模来 如果 度量的分析结果的精度会随着单元数目的增加而不断提高， “精确 ” 则分析结果在极限时也可能收敛于 只具备完备但不协调， 结果， 但一般收敛是不单调的， 但在实际工程中， 非协调元有时比 与它密切相关的协调单元要好， 原因在于采用的近似解的性质， 我们都知道， 利用假定的位移函数得到的近似结构比实际结构要 但由于允许单元分离， 重叠使这种近似结构变柔了， 这 更刚一些， 两种影响相互抵消， 常常得到好的结果， 比如非协调元在板单元 中的运用。选择位移函数的另一个因素， 即该函数与局部坐标系 即在任何一组相对于单元来说的方向固定的荷载作 的方位无关， 用下， 单元的反应（ 指在和单元一起移动的坐标系中的单元应变 能或应变） 不依赖于单元本身及它的荷载在全局坐标 xy 中的方 向， 单元的这种性质叫做单元的几何各向同性或几何不变性， 对 于一般的多项式位移函数， 按帕斯卡三角形（ 如图 1d） 所示） 对称 选取即可。
T ｛ δ（ x ， y） ｝ = ［ y） v（ x， y） ］ = υ（ x，
求得： ｛ ε｝ = ｛ ε x B］ 转换矩阵［ 是一个仅仅与三角形单元的几何性质有关的常 量， 被称为几何矩阵， 由上式我们确定单元位移场的应变状态 。 为引入单元材料性质的影响， 需要通过应力与应变的本构方 求解单元应力： 程， ｛ σ｝ = ［ D］ ｛ ε｝ D ］ 转换矩阵［ 被称为弹性矩阵， 对平面应力问题： 1 0 μ D］= ［ E μ 1 － μ2 0 1 0 （ 8）
单元体的节点的位移与节点力之间的转化关系， 即确定单元的刚 度矩阵。有限元矩阵的建立一般分广义坐标有限模型和等参有 限元模型， 前者在 2． 2 节中位移函数式（ 1 ） 我们已经看到， 其中 …， α1 ， α2 ， α3 ， α m 被称为广义坐标， 通过广义坐标将单元内任一点 并且通过一个非奇异矩阵来求得 的位移与单元节点位移相联系， 以节点位移及节点坐标表示的单元内任意一点的位移 。 而等参 有限元模型建立的基本思想是： 直接通过使用插值函数（ 或称形 函数） 来得到单元内任意一点的位移和单元节点位移之间的关 系。在实际分析中， 使用等参有限元有时更为有效， 可以避免在 广义坐标计算中出现奇异矩阵的可能性， 也减少了矩阵运算的次 数； 同时二次或高阶等参单元既可以模拟直边也可以模拟曲边， 在模拟曲线边界的结构时非常有用 。 然而广义坐标有限元模型 能更好的让我们加深对有限元法的理解， 因此本文以广 的建立， 义坐标法为例来介绍有限单元模型的建立， 即求解单元刚度矩阵 的过程。从推导方法来看， 分为三类： 1 ） 直接法， 该方法易于理 适用于简单的问题。2 ） 变分法， 把有限元归结为求泛函的极 解， 值问题， 比如固体力学中的最小势能原理的应用， 它使有限元法 建立在更加坚实的数学基础上， 扩大了有限元法的应用范围 。3 ） 加权余数法， 不需要利用泛函的概念， 而直接从基本的微分方程 出发， 求出近似解， 对于不存在泛函的工程领域， 提供了有效的解 决方法。 以下我们将通过比较直观易于理解的直接法来了解一下有 限元模型的建立过程， 以弹性力学平面应力问题为例（ 见图 2 ） ： 首先假定线性多项式为位移函数， 使广义坐标 α 个数等于单元节 点位移个数： y ） = α1 + α2 x + α3 y υ（ x， v（ x， y ） = α4 + α5 x + α6 y 可以写成：
DOI:10.13719/14-1279/tu.2012.14.149
第 38 卷 第 14 期 2 0 1 2 年 5 月 文章编号： 1009-6825 （ 2012 ） 14-0037-03
山
西
建
筑
SHANXI
ARCHITECTURE
Vol． 38 No． 14 May． 2012
u 精确解
a ） 常数 （一项 ） 多项式
不仅因为其在微分与积分计算中比较容易， 而且任一阶的多 我们知道无限多次多项式与精确解相 项式可以近似表示真实解， 对应， 我们在不同的阶次将其截断， 就得到不同程度的近似解（ 如 所选择 图 1a） ～ 图 1c） 所示） ； 其次有限元法作为一种数值计算， 的位移函数一定要保证其收敛或趋向于问题的精确解， 必须要满 足以下三个条件： 1 ） 位移函数在单元内必须连续， 并且相邻单元 的位移必须协调。单元内的连续性， 通过选择具备连续性的多项 式即能满足， 相邻单元之间的位移协调， 要求单元之间不能开裂 、
2． 1
连续体的离散化
离散化主要目标是将物体分成充分小的单元， 使得简单的位
移模型即能足够近似的表示精确解， 在这个过程中， 将人为通过 网格划分出有限个单元， 单元与单元之间以节点相连 。 以二维问 题为例， 节点的设置要遵循以下几点要求： 集中载荷处， 分布载荷 突变处， 几何形状不连续处， 材料性质突变处， 几何形状的凹角处 等， 单元的形状主要有三角形， 矩形等， 三角形要求不要出现钝 角； 矩形尽量不要采用长宽比较大的矩形， 否则都会影响近似解 的精度。
2
有限元分析过程
从求解未知量角度来看， 有限元法可分为应力场， 位移场及
本文以应用较为普遍的位移场为例来阐述有 混合场三种场变量， 限元的分析过程， 其主要分析步骤为： 连续体的离散化， 选择位移 函数， 有限元模型的建立， 集合离散化单元形成系统方程组， 求解 节点位移及通过位移计算单元的应变和应力 。
T u3 υ3］ 。 （ e） T
（ e） ［ k］ 其中， 为单元的刚度矩阵。至此， 我们已经完成了单元 分析， 为单元的集成提供了必要的条件 。
y v1 υ1 1
v3 υ3 υ 1 u1
y 3 υ 3 u3 v1 * υ1 1
v3 υ* 3 υ* 1 u1
3 υ* 3 u3
三角形单元的节点的力向量可以表示为： T ｛ F ｝ （ e） = ［ ｛ F1 ｝ ， ｛ F2 ｝ ， ｛ F3｝ ］ =［ u1 υ1 u2 υ2