高等数学讲义-一元函数微分学

第二章 一元函数微分学

§2.1 导数与微分

（甲）内容要点 一、导数与微分概念 1、导数的定义

设函数)(x f y =在点0x 的某领域内有定义，自变量x 在0x 处有增量x ∆，相应地函数增量)()(00x f x x f y -∆+=∆。如果极限

x x f x x f x y

x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim

0000

存在，则称此极限值为函数)(x f 在0x 处的导数（也称微商），记作0()f x '，或0

x x y ='

，

x x dx

dy

=，

)(x x dx

x df =等，并称函数)(x f y =在点0x 处可导。如果上面的极限不存在，则

称函数)(x f y =在点0x 处不可导。

导数定义的另一等价形式，令x x x ∆+=0，0x x x -=∆，则

000

()()

()lim

x x f x f x f x x x →-'=-

我们也引进单侧导数概念。 右导数：0

000000()()()()

()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x +

++→∆→-+∆-'==-∆ 左导数：0

000000()()()()()lim lim x x x f x f x f x x f x f x x x x

-

--→∆→-+∆-'==-∆ 则有

)(x f 在点0x 处可导)(x f ⇔在点0x 处左、右导数皆存在且相等。

2．导数的几何意义与物理意义

如果函数)(x f y =在点0x 处导数0()f x '存在，则在几何上0()f x '表示曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。 切线方程：000()()()y f x f x x x '-=-

法线方程：00001

()()(()0)()

y f x x x f x f x '-=-

-≠' 设物体作直线运动时路程S 与时间t 的函数关系为)(t f S =，如果0()f t '存在，则0()f t '表示物体在时刻0t 时的瞬时速度。

3．函数的可导性与连续性之间的关系

如果函数)(x f y =在点0x 处可导，则)(x f 在点0x 处一定连续，反之不然，即函数

)(x f y =在点0x 处连续，却不一定在点0x 处可导。例如，||)(x x f y ==，在00=x 处连

续，却不可导。

4．微分的定义

设函数)(x f y =在点0x 处有增量x ∆时，如果函数的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆有下面的表达式

0()()y A x x o x ∆=∆+∆ （0→∆x ）

其中)(0x A 为x ∆为无关，()o x ∆是0→∆x 时比x ∆高阶的无穷小，则称)(x f 在0x 处可微，

并把y ∆中的主要线性部分x x A ∆)(0称为)(x f 在0x 处的微分，记以0

x x dy =或0

)

(x x x df =。

我们定义自变量的微分dx 就是x ∆。

5．微分的几何意义

)()(00x f x x f y -∆+=∆是曲线)(x f y =在点0x 处相应

于自变量增量x ∆的纵坐标)(0x f 的增量，微分0

x x dy

=是曲线

)(x f y =在点))(,(000x f x M 处切线的纵坐标相应的增量（见

图）。

6．可微与可导的关系

)(x f 在0x 处可微⇔)(x f 在0x 处可导。

且0

00()()x x dy

A x x f x dx ='=∆=

一般地，)(x f y =则()dy f x dx '=

所以导数()dy

f x dx

'=

也称为微商，就是微分之商的含义。

7．高阶导数的概念

如果函数)(x f y =的导数()y f x ''=在点0x 处仍是可导的，则把()y f x ''=在点0x 处的导数称为)(x f y =在点0x 处的二阶导数，记以0

x x y =''，或0()f x ''，或

2

2x x dx y

d =等，也

称)(x f 在点0x 处二阶可导。

如果)(x f y =的1-n 阶导数的导数存在，称为)(x f y =的n 阶导数，记以)

(n y

，

)()

(x y

n ，n n dx

y

d 等，这时也称)(x f y =是n 阶可导。

二、导数与微分计算 1．导数与微分表（略） 2．导数与微分的运算法则

（1）四则运算求导和微分公式 （2）反函数求导公式

（3）复合函数求导和微分公式 （4）隐函数求导法则 （5）对数求导法

（6）用参数表示函数的求导公式

（乙）典型例题

一、用导数定义求导数

例 设)()()(x g a x x f -=，其中)(x g 在a x =处连续，求()f a ' 解：()()()()0

()lim

lim ()x a

x a f x f a x a g x f a g a x a x a

→→---'===--

二、分段函数在分段点处的可导性 例1 设函数

⎩⎨⎧>+≤=1

,1,)(2x b ax x x x f

试确定a 、b 的值，使)(x f 在点1=x 处可导。

解：∵可导一定连续，∴)(x f 在1=x 处也是连续的。 由 1lim )(lim )01(2

1

1

===---→→x x f f x x