基于Stewart结构的并联平台工作空间与刚度分析

图 6 z 坐标下内切旋 转面半径大小
准800mm×235mm 等。 4.2 刚度计算
驱动杆的材料为 45 钢， 弹性模量 E=209GPa，轴径面 积为 900πmm2，切削力 F= ［200N 200N 0 200N ·mm
200N·mm 0］作用在动平台上，根据式（9）的刚度分析模
型，在给定动平台偏角大小的情况下，计算位置偏差 δ=
设计的 Stewart
静平台
胡克铰 驱动杆
并联结构图如图 1 所示，其中包括静 平台、动平台、驱动
动平台
图 1 并联平台的结构图
杆和胡克铰链。 对并联平台建
立的运动模型示意
图如图 2 所示，此 运动模型描述的是 平台中六根杆杆长 及胡克铰点位置与 动平台空间位置和 姿态之间的运动关
静平台
b5
zb Rb b4
径 Rb=600mm，动平台上铰点外接圆的半径 Rs=250mm，
最大杆长 lmax=1200mm，lmin=700mm。
z 轴/mm
z 轴/mm
y 轴/mm
820
500
300 150
0 -150 -300 -500 -700
-750 -300 0 300 750 x 轴/mm
（a）xy 面投影
100 0
b6
l5
xb
b1
yb
b3
l4 b2
铰点
l6 s6
l1 zs l2
l3
s5 Rs
s4
xs
ys s3
驱动杆 动平台
系。静平台坐标系 （xyz）b 在静平台的
图 2 并联机构的示意图
几何中心，z 轴方向垂直于平台表面，动平台坐标系（xyz）s
在动平台的中心。静平台上的胡克铰为 b1，b2，…，b6，动平
台上的胡克铰表示为 s1，s2，…，s6。对应的每个驱动杆长设
图5
生成的美丽图案可直接用于 CAM 雕刻加工中，可广泛应
用于生产实践中。
（编辑 立 明）
作者简介：魏平（1976－），男，研究方向为数控技术、CAD/CAM/CAPP。 收稿日期：2009－07－27
100 机械工程师 2009 年第 11 期
制造业信息化
仿真 / 建模 / CAD/ CAM/ CAE/ CAPP MANUFACTURING INFORMATIZATION
杆的方向与静平台动平台
的法向方向的夹角。该转角的空间约束可表示为：
θbi=arccos（nb·i li /|li）| ≤θbmax
θsi=arccos（Rns·i li /|li）| ≤θsmax
其中 R 为动平台的姿态阵。
2.2 对分法求解并联机构的工作空间
采用对分法求解并联机构的工作空间流程如图 4 所示。
上的力和沿 x、y、z 轴的力矩。根据力传递原理，驱动杆的
轴向力和动平台受力有如下关系：
F=J TFl
（5）
其中 F=［Fx，Fy，Fz，Mx，My，Mz］T 为动平台所受六维力，
Fx、Fy、Fz 分别为 x-、y-、z-方向上的三维力，Mx、My、Mz 为 沿 x-、y-、z-方向的三维力矩；Fl=［f1，f2，f3，f4，f5，f6］T，f（i i=
作空间的边界区域，能够很好地控制计算精度，与逐点扫
描空间计算方法相比，计算效率高。
3 并联机构刚度的分析
加工中切削力对机床加工精度有很大影响，所以并
联机构的刚度分析为选择合理的驱动杆的粗细和铰链点
的位置和保证机床加工精度提供了理论依据。
切削力通过刀具反映到动平台上，进而传递到六根
驱动杆上，若切削力描述为六维力的形式，即 x、y、z 方向
和正弦。
基于该变换，铰点 s1、s2、s3、s4、s5、s6 在（xyz）b 坐标系中
的坐标可表示为
［Si］b = R［Si］s+p
（3）
其中［Si］s =［xsi，ysi，zsi］T 为 si 在（xyz）s 中的坐标向量，
因此，驱动杆的矢量可以表示为
Li=Bi -R［Si］s-p
（4）
其中 Bi=［xbi，ybi，zbi］T 为 bi 在（xyz）b 中的坐标向量。
2.1 并联平台的运动约束
在动平台运动过程中，主要约束条件有奇异点、杆长
限制和杆的转角限制，由于设计的并联平台是 5 个自由
度，A 方向的旋转角为［0°，20°］，所以可以忽略杆之间干
涉的限制。
（1）杆长的限制
杆长的约束条件可以表示为：
Lmax<lmax 且 Lmin>lmin
其中 lmax，lmin 分别为最大杆长和最小杆长；Lmax 和 Lmin 之间
在旋转角均为 0 的情况下，采用逼近 拟合的方法求解出最 大运动空间的内切旋 转面的截面，如图所 示。可以根据实际需 求，从图中选择合适
0
的加工范围，如 准500mm×
轴向深度/mm
-100
345mm、准600mm ×300mm、
-200
-300
-400 100 200 300 400 500 600 内切旋转面半径/mm
‖（△XF，△YF，△ZF）‖。
在 （α，β，γ）=（20°，20°，0） 处的位置偏差分布如图 7
所示，偏差量在 3.2μm 与 10.6μm 之间；在 （α，β，γ）=
（10°，10°，0） 处的位置偏差分布如图 8 所示，偏差量在
2.5μm 与 6.9μm 之间。
在 （α，β，γ）=（20°，20°，0） 处的姿态偏差分布如图 9
分别表示动平台当前位置六根杆的最大杆长和最小杆长。
（2）驱动杆的转角限制
驱动杆和动平台及静
θsi
nsi li
nbi θbi
平台之间的夹角受机构尺 寸的影响都是有限制的， 其 示 意 图 如 图 3 所 示 ，nbi 和 nsi 分 别 是 静 平 台 和 动
平台的安装面的单位法向
向量，θbi 和 θsi 分别是驱动 图 3 驱动转角限制示意图
由此可知，在铰点的位置固定后，动平台在静平台中
的 位 置（x，y，z）和 方 向（α，β，γ）决 定 于 驱 动 杆 的 长 度 ，也
是动平台要达到指定的位姿所需要的杆长。
2 并联机构工作空间的分析
并联机构的结构设计中，并联机构工作空间的分析
是选择机床加工范围和设计结构参数的重要步骤。本文
根据并联机构的运动原理，给出了工作空间的分析方法。
Z0 0
0
0
00
0
0
0
10 0
（1）
其中 R 表示旋转矩阵、p 表示平移矩阵，X、Y、Z 为在
xyz 方向上的平移变换。
与的图象的大小无关。
b 为奇数时，玫瑰线有
b 叶；b 为偶数时，玫瑰
（a）
（b） 图4
（c） 线有 2b 叶。 四叶玫瑰线让其
旋转指定角度：就由图 4（a）（n=0）转化成图 4（b）（n=π/4）
R=Ro（t z，γ）·Ro（t y，β）·Ro（t x，α）
cγ cβ cγ sβ sα-sγ cα cγsβ cα+sγ sα
＝ sγ cβ sγ sβ sα+cγ cα sγ sβ cα-cγ sα
（2）
-sβ
cβ sα
cβ cα
其中 α、β、γ 是分别沿 x、y、z 轴旋转角度，c 和 s 代表余弦
4.1 工作空间计算 根据并联机构的
运动模型和工作空间 的计算方法，初始化 姿 态 角 α =0，β =0，γ = 0。用 Matlab 对 工 作 空间进行仿真，对分 算法的边界阈值取 0.1mm，得到工作空间 的仿真图。图 5 表示 工作空间分别在 xy、 xz 和 yz 平面的投影， 图 6 表示 z 坐标下内 切旋转面半径大小。
用，它由动平台、静平台、铰链和六个驱动杆组成，可以实
现 设计参数选择的重要环节。
目前分析并联平台工作空间的方法主要有解析法
和数值法，由于需要求解高次方程，使解析法非常复
杂 ，所 以 现 多 采 用 数 值 法 求 解 。 在 刚 度 分 析 时 ，很 多 文
（7）
式中 E 为驱动杆弹性模量，A 为驱动杆的截面积，而
平台受力变形的关系式为：F= KΔqF
（8）
式中 K 为运动平台的 6×6 刚度矩阵，表示单位力作
用下的位姿偏差量。由式（5）~（8），可得到：
ΔqF =K-1F=（J T kJ）-1F
（9）
式（9）可以用来分析刀具在空间中的任何一点受力
变形情况，其变形主要跟杆长、杆的弹性系数、铰链的位
所示，偏差量在 4.7mrad 与 10.5mrad 之间；在（α，β，γ）=
偏差/mm
×10-3
1，2，…，6）为 6 个杆所受的轴向拉压应力；J 为该并联机
构的 Jaccobi 矩阵。
驱动杆的摄动位移和动平台摄动位移有如下关系：
Δl=JΔqF
（6）
其 中 Δl =［Δl1，Δl2，Δl3，Δl4，Δl5，Δl6］，ΔqF =［ΔXF，ΔYF，ΔZF， ΔαF，ΔβF，ΔγF］T。由于 6 个驱动杆的直径相同，而长度则
及图 4（c）（n=π/2）。
通过将 a 取 100 改变为 50、20、10、5 原点不变绘制
出图 5 美丽蝶形图案。
3 结束语
本文通过介绍玫瑰线曲线的绘制方法。从而让读者
掌握 MasterCAM X 软件的 Fplot 绘图功能。Fplot 绘图功
能中使用的方程式文件编写简单，修改方便，容易理解。
-100 -200 -300 -400 -500
-750 -300 0 300 750 x 轴/mm
（b）xz 面投影