06 弹性散射中的能量传输

22.54 中子与物质的相互作用及应用（2004年春季）
第六讲（2004年2月24日） 能量传输核函数F(E→E’)
参考文献：
J. R. Lamarsh, Introduction to Nuclear Reactor Theory (Addison–Wesley, Reading, 1966),chap 2 S. Yip, 22.111 Lecture Notes (1975), Chap 7.
我们已经讨论过了角微分散射截面σ(θ)=dσ/d Ω以及它的积分、散射截面σ(E ) 的计算，现在可以讨论能量微分散射截面dσ/dE’。

经过适当的归一化，散射截面反映的是能量为E的中子在散射后能量在能量E’的dE’内的概率，对dσ/d Ω来说，类似的归一化过程也会得到对应的结果。

这两个微分散射截面是相关的，它们的积分就是弹性散射截面：
()(/)
'(/')
E d d d dE d dE σσσ=ΩΩ=∫∫ (6.1) 我们能够定义两个概率分布： ()P Ω和
F (E → E’)， 其中()P d ΩΩ=（由能量E）散射到立体角Ω处d Ω内的概率
1()d d E d σσ=ΩΩ (6.2) 以及
''''''()E E dE F E E dE d dE dE σσ→≡⎛⎞⎜⎟⎝⎠
（由能量）散射到能量的内的概率1 =(E) （6.3）
考虑到它们与σ(E )的关系，这两种分布也就是相关的，如果已知一个，那么另外一个就可以通过变换来得到。

实际上这是分布变换的一般属性。

假设g (y )和f (x )都是分布且y =y (x )，那么g(y)能够从f(x)通过以下关系获得：
()()g y dy f x dx = (6.4) 或者
()()|/|g y f x dx dy = (6.5)
为了将其应用到 (6.2) 和(6.3)中，我们需要简化（6.2），它是两个变量：角度θ和φ的函数，而（6.3）是一个变量的函数。

这个简化是可行的，因为我们所处理的是中心力散射，它的概率分布P (Ω)并不依赖于方位角φ。

为了更加明确，我们写出()()P P θΩ=，并对(6.2) 按φ进行积分:
0()sin ()P d d G ϕ
d θθθϕθθ∞
=≡∫ (6.6) 简化后的角分布是G (θ)，它只是极角或者说散射角θ的函数。

我们前面已经推导出了在质心系中散射中子能量E’和散射角的简单关系（见2003年第三讲方程(3.10)）'
(/2)[(1)(1)cos ]c E E ααθ=++−。

该结果表明在和'E c θ之间存在一个一一对应的关系。

注意这种对应关系在实验室系中也是存在的。

另一方
面，在真正的核反应（弹性散射不被认为是真正的核反应）中，对于Q 方程，存在双值解。

在2003年第三讲第7页的例子中，对于实验室系中的同样的散射角，存在两个不同的值。

'E
在这里，我们感兴趣的是将两个概率分布G (θ)和F (E →E’)联系起来，利用前述的（3.10）来评价(6.5)中的雅克比变换|dx/dy |的，这样得到：
(')'()c c F E E dE G d θθ→= (6.7) 对应的物理解释是散射到处内的概率与散射到角'E 'dE c θ处c d θ内的概率相同。

如果在质心系 中的角分
布已知，则能量散射核为：
(')()|/c c F E E G d dE '|θθ→= (6.8) 通过(3.10) 我们发现：
1|/'|[(/2)(1)sin ]c c d dE E θαθ−=− (6.9) 在不指定角分布的情况下，我们最多能得到式(6.8)和(6.9)。

现在将所讨论的条件限制为低能、s-波 散射，它在质心系中的角分布(c P Ω)是球对称的，这意味着：
()1/4P πΩ= (6.10) 或者
()(1/2)sin c c G θθ=
(6.11) 将(6.9) 和(6.11) 代入到(6.8) 中，我们获得能量转移核：
(')1/(1),
'0,F E E E E E E αα→=−≤≤其它情况 (6.12) 注意的上限和下限分别对应着前向散射'E 0c θ=（中子不损失能量）和背散射c θπ=（中子能量损失最大）。

在要求给出能量转移核时，建议学生要考虑到整个能量范围，不要忘了(6.12) 的第二行。

能量转
移核的简图如图1所示：
图1 能量转移核是在以下前提下推导出来的：弹性散射、靶核静止，在质心系中是球对称散
射，其中α=[(A −(F E E →')')0 1)/(A +1)]2
，A = M/m 。

(F E E →的形式简单，这有助于理解它的所有特性。

概率分布在(αE,E )的范围内是均匀分布，其中α=[(A − 1)/(A +1)]2
，A=M/m，在该范围外为0。

在中子能够传递给靶核的能量范围内存在着截断能量，它对应着散射角的范围，最小值c θ=对应于前向散射（无碰撞），最大值为c θπ=')对应于背散射。

在被氢核散射时，α=0，因此能量范围向下扩展到0。

由于中子和氢核有相同的质量（只对我们现在的计算成立）时，很自然中子能够把全部能量传递给氢核。

最后的问题是为什么概率分布是均匀分布。

答案非常直接，均匀分布是球对称角分布的直接结果，而球对称又是由s-wave 散射决定的。

另一种讨论的方式是检查在推导(6.12) 时所设定的假设。

有三个假设：（1）弹性散射，
（2）靶核静止，（3）质心系中球对称散射。

回忆我们关于核反应中运动学的讨论（2003年第三讲），弹(F E E →
性散射是Q=0的情况，靶核静止的假设简化了我们在后面分析中的数学过程。

相对于我们关于反应截面计算的讨论（第四章），弹性散射和固定靶的条件和在质心系中对等效粒子的薛定谔方程解是等价的。

然而第三个假设，在质心系中球对称散射，在2003年第三讲中没有任何对应的部分，我们从第四章中知道s-wave 散射是球对称的。

问题就是在什么条件下我们能够忽略其它分波对散射的贡献。

在2003年第四讲中，我们已经强调在低能散射即kr o <1的条件下这是一个很好的近似。

因此(6.12) 中给出的能量转移核对于足够低能量下的中子是有效的。

通过设定kr ('F E E →)
)o ～ 0.1，r o ～
2×10−12cm，我们能够估计出一个能量的上
限，此时k～5×1011cm -1 或者E～47keV。

当然对于热中子或者100eV 甚至1 KeV的中子，(6.12)是适用的。

假设我们希望放松对质心系中球对称散射的假设。

那么在散射向前偏或向后偏的时候，应该是什么样子？我们用简单的非对称形式来替换(6.10)，然后用(3.10)做与前相同的变换。

最终将获得能量的非均匀分布的形式。

角分布与能量分布的对应关系相对来说是比较容易得到的。

如果角分布倾向于前向分布，能量分布应当倾向于小的能量转移；反之，背向散射对应的是更大能量转移的能量分布。

图2显示了这一点。

('F E E →'
E
图2 能量转移核的图解：质心系中的角分布(F E E →')(c P )Ω为前向（背向）时。

其中虚线为图1中球
对称散射（在质心系中各向同性）情况下的结果。

如果放松其它两个假设条件的话又是什么情况呢？首先让我们考虑一下除了弹性势能散射之外其它的中子散射过程。

这包括两种过程：一是弹性共振散射，我们在2003年第二讲中（参考(2.12)）讨论过散射截面对入射中子能量的依赖关系。

除了弹性势散射和共振散射，有足够能量的中子也能发生非弹性散射，该反应会形成一个复合核然后衰变到靶核的一个激发态，同时放出一个较低能量的中子。

我们在核反应方面的理论知识已经足够，使我们可以为这些过程构造出能量转移核。

不过，这种分析已经超出了所有核工程课程的范围。

相对于弹性散射，放松对靶核静止的假设是一个从科学和技术上讲都有很大关系的问题。

当中子能量降低到热中子区时，假设中子移动速度快于靶核就已经不合适了。

此时，靶核的移动成为一个重要的参数，必须加以考虑。

这个问题并不简单，我们将会在下一讲（第七章）中详细讨论这个问题。

在结束本讲之前，我们讨论最后一个问题，即角微分截面d σ/d Ω=σ(θc )的行为，它在本讲中起着关键作用。

来看看它的例子，在图3中，我们演示了一个轻核12C 和一个重核238
U 在两个入射中子能量为0.5MeV和14MeV时的微分散射截面。

分布以cos c c µθ=为自变量。

基于上面的讨论，我们预期在低能分布应与散射角度无关。

这在0.5 MeV 12C的结果中可以清楚的看到。

我们可以估计在这种情况下的kr o 的值。

令r o ～1.2× A 1/3 ，F=2.75× 10-13cm。

在0.5 MeV时：
222461254242/2 1.67100.510 1.610/10 2.610k mE cm 2−−−==××××××=×=−
图3 12C （左）和238U （右）在两个入射中子能量0.5 MeV 和14 MeV 时的角微分散射截面。

因此kr o ～0.44，足够满足s-波散射近似。

另一方面，在14MeV ，k=8.5×1012cm −2 ，kr o ～2.35，此时p-波甚至其它更高阶分波的贡献将变得很重要。

s-波近似的破坏意味着角反应截面将是前向的。

这在图3(a) 中可以看到。

除了前向，我们可以观察到角分布是振荡的。

这可以理解为中子被核子衍射的结果，如同热中子被原子和分子衍射一样。

当被散射粒子的波长与散射中心的距离相仿时，就可以观察到干涉效应。

热中子的波长为埃（10−8cm ）的量级，与凝聚态中的分子间距离相当，这就导致了在散射波中的干涉以及振荡现象的出现。

在本例中，中子的波长为λ=2π/k =7.39F ，已经足够短，因此对不同核子之间的干涉作用非常敏感。

通过12C ，我们可以估计238U 的情况。

由于r o ～7.44F ，我们看到在0.5 MeV ，kr o 为1.66× 0.744=1.19。

因此前向就不奇怪了，表明了s-波散射近似的破坏，如图3(b) 所示。

因此，我们可以预期在14MeV ，kr o ～6.3，将可以观察到非常明显的衍射现象。

在下一讲中，我们将继续讨论散射截面对于能量的依赖关系，特别关注在热运动和化学键起作用时的“总”截面σ(E )以及。

第6讲和第7讲一起将有助于我们理解散射截面的性质，而这构成了中子输运讨论中的中子反应基础。

(F E E →')。