人教版高中数学必修一幂函数优质教案
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2.3 幂函数(教学设计)
教学目的:
1.通过实例,了解幂函数的概念.
2.具体结合函数1
2
13
2
,,,,-=====x y x y x y x y x y 的图象,了解幂函数的变化情况.
3.在归纳五个幂函数的基本性质时,应注意引导学生类比前面研究一般的函数、指数函数、对函数等过程中的思想方法,对研究这些函数的思路作出指导. 教学重点:从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质.
教学难点:画五个幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难. 一、新课导入
先看五个具体的问题:
(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克,那么她需要支付p=w 元,这里p 是w 的函数; (2)如果正方形的边长为a ,那么正方形的面积2
a S =,这里S 是a 的函数; (3)如果立方体的边长为a ,求立方体的体积3
a V =,这里V 是a 的函数;
(4)如果一个正方形场地的面积为S ,那么这个正方形的边长2
1
S a =,这里a 是S 的函数; (5)如果某人t s 内骑车进行了1km ,那么他骑车的平均速度1-=t v km/s ,这里v 是t 的函数.
讨论:以上五个问题中的函数具有什么共同特征? 它们具有的共同特征:幂的底数是自变量,指数是常数. 从上述函数中,我们观察到,它们都是形如y x α
=的函数.
二、师生互动,新课讲解: 1、幂函数的定义
一般地,函数α
x y =)(R a ∈叫做幂函数(power function ),其中x 是自变量,α是常数.对于幂函数α
x y =,我们只讨论1,2
1,3,2,1-=α时的情形.
2、幂函数的图象
在同一直角坐标系内作出幂函数x y =; 2
1x y =; 2x y =;1-=x y ;3
x y =的图象.
观察以上函数的图象的特征,归纳出幂函数的性
质.
3、幂函数的性质
1).五个具体的幂函数的性质
(1)函数x y =; 2
1
x y =; 2x y =;3
x y =和1-=x y 的图象都通过点(1,1);
(2)函数x y =;3x y =;1
-=x y 是奇函数,函数2
x y =是偶函数;
(3)在区间),0(+∞上,函数x y =,2x y =,3
x y =和2
1x y =是增函数,函数1
-=x y 是减函
数;
(4)在第一象限内,函数1
-=x y 的图象向上与y 轴无限接近,向右与x 轴无限接近. 2).一般的幂函数的性质
(1)所有的幂函数α
x y =在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1); (2)0>α时,幂函数的图象通过原点,并且在区间),0[+∞上是增函数; α>1时,图象向上,靠近y 轴; 0<α<1,图景向上,靠近x 轴;
α=1是条直线。
x y =
2x y = x y =定义域 R R R 域 R ),0[+∞
R 奇偶性 奇 偶 奇 单调性 增
增
(3)0<α时,幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数.在第一象限内,当x 从右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴,当x 趋于∞+时,图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴;
(4)幂函数α
x y =的图象,在第一象限内,直线1x =的右侧,图象由下至上,指数α由小到大;
y 轴和直线1x =之间,图象由上至下,指数α由小到大.
课堂练习: 已知幂函数α
x y =在第一象限内的图象如图所示,且α分别取1
1122
-,,,四个值,则相应
于曲线1234C C C C ,,,的α的值依次为 .
例1:(课本第78页例1)证明幂函数x x f =
)(在),0[+∞上是增函数.
变式训练1:利用幂函数的性质,比较下列各题中两个幂的值的大小: (1)4
3
3.2,43
4.2;(2)5631.0,5
635.0;(3)2
3)
2(-
,2
3)
3(-
;(4)2
1
1
.1-
,
2
19.0-
.
例2:求下列函数的定义域,并判断它们的奇偶性:
(1)3y x =;(2)2
y x -=;(3)12y x =; (4)13
y x = 解 (1)函数3
y x =的定义域是R ,它是奇函数; (2)函数2
y x -=即2
1
y x =,其定义域是(,0)(0,)-∞+∞,它是偶函数;
(3)函数12
y x =即y =,其定义域是[0,)+∞,它既不是奇函数,也不是偶函数;
(4)函数1
3
y x =即y =R ,它是奇函数.
变式训练2:
(1). 设11132a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭
,,,,则使函数a
y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为( A ).
(A) 1,3 (B) 1-,1 (C) 1-,3 (D) 1-,1,3
(2). 若函数3
()()f x x x =∈R ,则函数()y f x =-在其定义域上是( B ).
(A) 单调递减的偶函数 (B) 单调递减的奇函数 (C) 单调递增的偶函数 (D) 单调递增的奇函数