人教版高中数学必修一幂函数优质教案

2.3 幂函数（教学设计）

教学目的：

1．通过实例，了解幂函数的概念．

2．具体结合函数1

2

13

2

,,,,-=====x y x y x y x y x y 的图象，了解幂函数的变化情况．

3．在归纳五个幂函数的基本性质时，应注意引导学生类比前面研究一般的函数、指数函数、对函数等过程中的思想方法，对研究这些函数的思路作出指导． 教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质．

教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难． 一、新课导入

先看五个具体的问题：

（1）如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要支付p=w 元，这里p 是w 的函数； （2）如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积2

a S =，这里S 是a 的函数； （3）如果立方体的边长为a ，求立方体的体积3

a V =，这里V 是a 的函数；

（4）如果一个正方形场地的面积为S ，那么这个正方形的边长2

1

S a =，这里a 是S 的函数； （5）如果某人t s 内骑车进行了1km ，那么他骑车的平均速度1-=t v km/s ，这里v 是t 的函数．

讨论：以上五个问题中的函数具有什么共同特征？ 它们具有的共同特征：幂的底数是自变量，指数是常数． 从上述函数中，我们观察到，它们都是形如y x α

=的函数．

二、师生互动，新课讲解： 1、幂函数的定义

一般地，函数α

x y =)(R a ∈叫做幂函数（power function ），其中x 是自变量，α是常数．对于幂函数α

x y =，我们只讨论1,2

1,3,2,1-=α时的情形．

2、幂函数的图象

在同一直角坐标系内作出幂函数x y =； 2

1x y =； 2x y =；1-=x y ；3

x y =的图象．

观察以上函数的图象的特征，归纳出幂函数的性

质．

3、幂函数的性质

1）．五个具体的幂函数的性质

（1）函数x y =； 2

1

x y =； 2x y =；3

x y =和1-=x y 的图象都通过点（1，1）；

（2）函数x y =；3x y =；1

-=x y 是奇函数，函数2

x y =是偶函数；

（3）在区间),0(+∞上，函数x y =，2x y =，3

x y =和2

1x y =是增函数，函数1

-=x y 是减函

数；

（4）在第一象限内，函数1

-=x y 的图象向上与y 轴无限接近，向右与x 轴无限接近． 2）．一般的幂函数的性质

（1）所有的幂函数α

x y =在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）； （2）0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数； α>1时，图象向上，靠近y 轴； 0<α<1，图景向上，靠近x 轴；

α=1是条直线。

x y =

2x y = x y =定义域 R R R 域 R ),0[+∞

R 奇偶性 奇 偶 奇 单调性 增

增

（3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴，当x 趋于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴；

（4）幂函数α

x y =的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数α由小到大；

y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α由小到大．

课堂练习： 已知幂函数α

x y =在第一象限内的图象如图所示，且α分别取1

1122

-，，，四个值，则相应

于曲线1234C C C C ，，，的α的值依次为 ．

例1：（课本第78页例1）证明幂函数x x f =

)(在),0[+∞上是增函数．

变式训练1：利用幂函数的性质，比较下列各题中两个幂的值的大小： （1）4

3

3.2，43

4.2；（2）5631.0，5

635.0；（3）2

3)

2(-

，2

3)

3(-

；（4）2

1

1

.1-

，

2

19.0-

．

例2：求下列函数的定义域，并判断它们的奇偶性：

（1）3y x =；（2）2

y x -=；（3）12y x =； （4）13

y x = 解 （1）函数3

y x =的定义域是R ，它是奇函数； （2）函数2

y x -=即2

1

y x =，其定义域是(,0)(0,)-∞+∞，它是偶函数；

（3）函数12

y x =即y =，其定义域是[0,)+∞，它既不是奇函数，也不是偶函数；

（4）函数1

3

y x =即y =R ，它是奇函数．

变式训练2：

（1）. 设11132a ⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭

，，，，则使函数a

y x =的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为（ A ）．

(A) 1，3 (B) 1-，1 (C) 1-，3 (D) 1-，1，3

（2）. 若函数3

()()f x x x =∈R ，则函数()y f x =-在其定义域上是（ B ）．

(A) 单调递减的偶函数 (B) 单调递减的奇函数 (C) 单调递增的偶函数 (D) 单调递增的奇函数