高数第一章 映射与函数

x
定义域
x
- 17 -
第一节 映射与函数
3 函数的表示法
函数常用的表示法有公式法,图示法,表格法.
第 一
几种常用的函数
章
函 (1) 符号函数
数
极
限
1 当x 0
连 续
y

sgn
x


0
当x 0
1 当x 0
y
1
o
x
-1
x sgn x x
- 18 -
第一节 映射与函数 y
极
限 如果 f 是个一一映射，则对每个y B, 有唯一的一
连 续
个 x A, 适合 f ( x) y, 规定 g( y) x, 则 g 就是B 到
A 上的一个映射，称为 f 的逆映射，记为
f 1 : B A
- 10 -
第一节 映射与函数
其定义域 D f 1
Rf
B,
值域
a A,
函
数
A {a1 , a2 , , an }
有限集
极 限
A { x x所具有的特征} 无限集
连 续
若 x A, 则必 x B 就说 A 是 B 的子集，记作A B.
如 A B, 且 B 中有不在 A 的元素，则称 A 是 B
的真子集，记为 A B.
-2-
第一节 映射与函数
第 例 圆内接正多边形的周长
一 章
函 数
极
限
S3
S4
连 续
Sn 2nr sin n
n 3,4,5,
S5
S6
圆内接正n 边形
O r
n
- 13 -
Байду номын сангаас义4
第一节 映射与函数
设 D 是一个给定的数集， 则称映射
f :DR
第 为定义在 D 上的一个函数， 记作
一
章
y f ( x), x D
数 极 限

2E t,
t [0, ] 2
连 续
U(t)


2E (t
0,

),
t ( ,] 2
t (,)

- 23 -
第一节 映射与函数
例3
设f
(x)

1

2
0 x 1,求函数 1 x2
f ( x 3)
第 的定义域.
一
章 函 数
限
C { x x2 3x 2 0}, 则 A C.
连 续
不含任何元素的集合称为空集. (记作 )
例如, { x x R, x2 1 0}
规定 空集为任何集合的子集.
-3-
第一节 映射与函数
2.实数集
定义1 设 A R, 如果存在数 L R, 使得对一切
函 数
因变量
自变量
极 限
数集 D叫做这个函数的定义域 。
连 续
当x0 D时,称f ( x0 )为函数在点x0处的函数值.
函数值全体组成的数集 W { y y f ( x), x D}称为
函数的值域.
- 14 -
第一节 映射与函数
函数的两要素: 定义域与对应法则.
第 一 章 函
( x D x0)
章
则称函数 f ( x)在区间 I上是单调减少的 ;
函
数
y
y f (x)
极
限
f (x1)
连 续
f (x2 )
o
x
I
- 28 -
( a 0)
一
章 运算性质:
ab a b;
函
数 极 限
a a; bb
a b a b a b.
连 续
绝对值不等式:
x a (a 0)
a x a;
x a (a 0)
x a 或 x a;
- 12 -
第一节 映射与函数
二、函数概念
1 函数的定义
数


极
限 连
a
a
a x
续
点a的去心的 邻域, 记作U0(a).
U0(a) { x 0 x a }.
-7-
第一节 映射与函数
3.常量与变量:
在某过程中数值保持不变的量称为常量,
第
一
而数值变化的量称为变量.
章
函
注意 常量与变量是相对“过程”而言的.
数
极 常量与变量的表示方法：
f
(
x)


x2

1,
x0 x0
函
数
极
y x2 1
y 2x 1
限
连 续
- 21 -
第一节 映射与函数
例2 脉冲发生器产生一个单三角脉冲,其波形如图
所示,写出电压U与时间t(t 的0)函数关系式.
第 一 章
解 当 t [0, ] 时,
2
U

E
t

2E t;
函
数 极 限
解

f
(
x)

1 2
0 x1 1 x2
极 限 连

f
(
x

3)

1 2
0 x31 1 x32
续

1 2
3 x 2 2 x 1
故 D f :[3,1]
- 24 -
第一节 映射与函数
三 函数的几种特性
1 函数的奇偶性
第 一
R f
1
Df
A.
此时也
称 f 是可逆映射.
第
( f 1 )1 f
一
章 设 f : A B, g : B C, 则对每个 x A, 对应唯一
函 的一个 y f ( x) B, 从而对应唯一的一个 z g( y) C,
数
极 这样就确定了一个从集合 A 到集合 C 的映射, 这个映
则称
s
连 续
是 A 的上(下)确界,
记为 sup A(inf A).
定理1 任何一个非空的实数集 A, 如果有上(下)界,
则必有上(下)确界.
-4-
第一节 映射与函数
区间是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实 数叫做区间的端点.
第
a,b R,且a b.
一
章
{ x a x b} 称为开区间, 记作 (a,b)
第一节 映射与函数
第一节 映射与函数
第 一 集合与映射
一 章
二
函数的概念
函 三 函数的几种特性
数 四 反函数与复合函数
极
限 五 初等函数
连 续
六
建立函数关系举例
-1-
第一节 映射与函数
一、集合与映射
1.集合
集合：具有某种特定性质的事物的总体.
第 一
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
章
a A,
当t ( , ]时,
2
2
连 续
U

0

E

0

(t

),
即U 2E (t )
2
- 22 -
第一节 映射与函数
当 t ( ,) 时, U 0.
U
( , E)
2
E
第 一
U U(t)是一个分段函数, o

(,0) t
章
2
其表达式为
函
单三角脉冲信号的电压
函
数
极 限
oa
b
x
连 续
{ x a x b} 称为闭区间, 记作 [a,b]
oa
b
x
-5-
第一节 映射与函数
{ x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{ x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
第 一
有限区间
章 [a,) {x a x} (,b) {x x b}
则称函数f ( x)为奇函数.
章
y
函
数
极 限
-x
连
o
续
f (x)
y f (x)
f (x)
xx
奇函数
- 26 -
第一节 映射与函数
2 函数的单调性
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D,
第 一
如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2 , 当 x1 x2时,
章 恒有 (1) f ( x1 ) f ( x2 ),
第 x A, 都有 x ()L,则称 A 有上(下)界, 称 L为A 的
一 章
一个上(下)界. 如果数集 A 既有上界又有下界,则称
A 是有界的, 否则称 A是无界的.
函
数 定义2 设 A 是一个非空数集,若存在一个上(下)界
极 限
s, 使得对 A 的一切上(下)界
L, 都有 s ()L,
数集分类: N----自然数集 Z----整数集
N+----正整数集 Q----有理数集
R----实数集
第
一 数集间的关系: N+ N,N Z, Z Q, Q R.
章
函 如果 A B, 且 B A, 则称集合 A 和 B 相等，( A B)
数 例如 A {1,2},
极
数 极
其中
y 称为 x
在映射
f 下的像，x 称为 y
在映射
f下
限 的一个原像(或逆像), A 称为映射 f 的定义域, 记为
连
续 D( f )或 Df , A 所有元素 x 的像 y 的全体所构成的集
合称为 f 的值域,记为 Rf 或 f ( A), 即
Rf f ( A) { y y f ( x), x A}
函 则称函数 f ( x)在区间 I上是单调增加的 ;
数
极
y
y f (x)
限
连 续
f (x2 )
f (x1)
o
x
I
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第一节 映射与函数
设函数 f ( x)的定义域为D, 区间I D,
如果对于区间 I 上任意两点 x1及 x2 , 当 x1 x2时,
第 一
恒有 (2) f ( x1 ) f ( x2 ),
函
无限区间
数
极
oa
x
限
连
续
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
-6-
第一节 映射与函数
设a与 是两个实数，且 0,数集{x | | x a | } 称为点a的 邻域，点a叫做这邻域的中心.
第 叫做这邻域的半径 .
一
章
函
U (a) {x a x a }.
限
连
通常用字母 a,b,c 等表示常量,
续
用字母 x, y,t 等表示变量.
-8-
第一节 映射与函数
4.映射 定义3 设 A, B 是两个非空集合,若对每个 x A,
第 按照某个确定的法则 f , 有唯一确定的 y B 与它对应,
一 章
则称 f 是 A 到 B 的一个映射,记作
函
f : A B, 或 f : x a y f ( x), x A.
限 射称为 f 和 g 所确定的复合映射,记为 g o f ,即
连
续
go f :AC
(g o f )( x) g( f ( x)), x A
任意两个映射 f , g, 则g o f 当且仅当 Rf Dg .
- 11 -
第一节 映射与函数
5.绝对值:
第
a

a a
a0 a0
第 一 章
y max{ f ( x), g( x)} y min{ f ( x), g( x)}
y
y
函 数
极
限
o
连
续
f (x) g( x)
x
f (x)
g( x)
o
x
- 20 -
第一节 映射与函数
在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的
式子来表示的函数,称为分段函数.
第
一 章
例如,
2x 1,
- 16 -
第一节 映射与函数
既满足 0 x2 1 1, 1 x2 2, 因此
1 x 2或 2 x 1
第 一 章
函数的定义域为 [ 2,1]U[1, 2]
y
2 函数的图形
函 数
定义5 在平面直角
极 限
坐标系下，点集
值域
y
(x, y)
连 续
C {( x, y) y f ( x), x D} 称为函数y f ( x)的图形. o
对应法则f
(
W
y f (x0 )
自变量 ) 因变量
数
极 约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义
限 的一切实数值.
连
续 例如，y 1 x2
D :[1,1]
例如，y 1 1 x2
D : (1,1)
- 15 -
第一节 映射与函数
如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应 的函数值总是只有一个，这种函数又称为单值函数.
如果给定一个法则,按照这个法则,对每个 x D,
第 一
有多个确定的
y 与之对应,这样的一个法则称为多值
章
函数．
函 数
一个多值函数可以分成几个单值函数来讨论．
极 限
例如 x2 y2 R2,
连 续
例1 求函数 y arcsin x2 1的定义域.
解 函数的的定义域为满足不等式
1 x2 1 1
(2) 取整函数 y [x]
14 3
第 一 章
[ x] 表示不超过 的最大整数
x
2
-4 -3 -2 -1o-11 2 3
4 5x
-2
-3 -4
阶梯曲线
函 数
(3) 绝对值函数
y
极
限
x x 0,
连 续
y= | x | x x 0.
1
1
o
1x
- 19 -
第一节 映射与函数
(4) 取最值函数
设D关于原点对称 , 对于x D, 有 f ( x) f ( x)
章
则称函数f ( x)为偶函数.
函
数
y y f (x)
极
限
连
续
f (x)
f (x)
-x o x
x
偶函数
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第一节 映射与函数
设D关于原点对称 , 对于x D, 有
f (x) f (x)
第 一
-9-
第一节 映射与函数
映射的两个基本要素：定义域与对应法则 设 f : A B, 如果 Rf B, 则称 f 是一个满映射，
第 如果对 A 中的任意两个不同元素 x1 x2 , 有
一 章
f ( x1 ) f ( x2 )
函 则称 f是一个单射，如果一个映射既是满射，又是单射
数 则称 f 是个一一映射.