相对论量子力学

2m cB
mc
表示电子固有磁矩与外磁场
的相互作用能。电子固有磁矩的值为
B
e 2mc
称为玻尔磁子。这是狄拉克方程得出的一个重要结论。
电子磁矩的观测值为
1.00116B
六、中心力场下的相对论修正
例如：电子在原子核的库仑引力势中运动。此时，中心
力场
V (r) e(r)
定态狄拉克方程表示为
[c p mc2 V (r)] E
H
c
t
(
p
e
A)
e
mc2
c
若( A, )与时(r间,t)t无关(，r)则exp存[在iE定t /态]解，形式为
多分量能量本征函数 (r)满足能量本征方程
H
(r)
[c
(
p
e
A)
e
mc2
]
(r)
E
(r)
c
E为电子的能量本征值。
五、泡利近似理论与电子磁矩
为了考虑相对论修正，我们应当求解狄拉克方程， 这比求解薛定谔方程要复杂得多。但是，如果主要涉及 原子的外部电子问题，只要考虑对薛定谔方程的一级修 正就足够了。这需要用到泡利近似理论：
1 2m
(
p)(1
E'V 2mc2
)(
p )
( E 'V
)
化简整理后，p得2
p4
1 1 dV
{ 2m
V
8m3c2
2m 2c 2
r
dr
(s l )
2 4m 2c 2
( 2V
dV dr
)}
r
E'
但狄拉克波函数的大分量 并不是非相对论近似下的二
分ຫໍສະໝຸດ Baidu波函数 。作为波函数，应保证在非相对论极限下
r
dr
(s l
)
8m
2
2c
2
2V
}
E'
{ p2 2m
V
p 4 8m 3c 2
1 2m 2c 2
1 dV r dr
(s
l)
8m
2
2c
2
2V
}
E'
这就是在中心力场中运动的粒子的狄拉克方程的非相对 论极限。如果略去方程左边大括号中后三项，我们就得 到了薛定谔方程。这后三项就是最低级的相对论修正
令
E mc2 E'
并令
采用泡利c(-狄 拉p克)表象(2，mc即2
是对角化的表象，
E'V (r))
则
c( p) (E'V (r))
c(
p)
2mc2 (E'V
)
1 (1 2mc
E'V 2mc2
)1 (
p )
为小分量。在非相对论极限下
1 (1 2mc
E'V 2mc2
)(
p )
大分量波函数 满足的方程
e
A)
e
2mc2
t
c
i
c
(
p
e
A)
e
t
c
在非相对论极限下，即略去不含c的项，可得
1
(
p
e
A)
2mc
c
由于 比 小一个因子 v / c ，即 / v / c ，所以把 称为小分量， 称为大分量。
i [
1
(P
e
A)2
e
B
e
]
t 右边第二项为
2m B
c
2mc
e
e
s
表示电子固有磁矩，
mc2
c
p
mc2
此即自由电子的狄拉克方程
矩(1)阵为保与证概的率性守质恒如，下要：求H为厄米算符，即要求
和 为厄米矩 阵 ,
(2)
2 x
2 y
2 z
2
1,
x、 y、z、
之中任
何两个算符都是反对易的。
二、电子自旋
考虑电子轨道角动量随时间的变化
d
l
c(
p)
或
[l ,
H
]
ic(
p)
dt
即：电子的轨道角动量并不守恒。
t
)
2 (r , t )
N (r, t )
自由电子的相对论波动方程取为
1
c
t
[ imc ] 0
其中系数( x , y ,z )和 无量纲。
由于 是N分量波函数， 和 均为 N N 矩阵。
上式可简记为
1
c t
imc
0
或写成与薛定谔方程相似的形式
i H
H
ic
t
令
j l s
应如电何子表的达总s角，动才 量能j使应总为角守动恒量量j。守恒？即满足
[j,H] 0
试引进算符 ，满足代数关系
[ , ] 0, [ i ,i ] 0, i x, y, x
则可以证明
[[i1,j,]H
2i ijk k
] ic(
p)
因此，如令
2
s
则
[s,
H
]
2ic(
总概率守恒(波函数归一化保持不变)，即要求
( , ) ( , ) (, ) ( , )
在准确到O(v2 / c2 )下，可得
(1
p2 8m 2c 2
)
或
Ψ
(1
p2 8m 2c 2
)
略去 O(v4 / c4 ) 项，得出 满足的方程
p2
p 4
1 1 dV
{ 2m
V
8m3c2
2m 2c 2
2.与电子相[似l,，H可] 以i证c明
p
0
即轨道角动量不是守恒量。
可以证明
[
,
H
]
ic
p
2
因此，如令
jl s
s
2
s
则
[ j ,H ] 0
为中微子的自旋，j为其总角动量，是守恒量。
3.
[ p, H ] 0
所以 p 守恒， p / p 是自旋沿动量方向的投影，
也是守恒量。考虑(2到p p)
概括起来讲，狄拉克方程描述的粒子具有固有角动
量，其值为 / 2 。对于自由电子，虽然轨道角动量
与自旋分别不是守恒量，但总角动量却是守恒量。
三、中微子的二分量理论
中微子自旋为 / 2， 其静质量为0。其满足的相对论
二分量波动方程为
i H
H
itc
c
p
关1于.显守然恒，量[ p的, H讨]论 ：0，所以动量为守恒量
当电子处于相当弱的势场( e mc2)中时，处于
某一定态的电子的平均速度 v 是非相对论的，且其 总能量E非常接近于其静质量能量 E0 mc2 ，即
v c, p mc,
E E0 ~ p2 / m pc E0
令多分量本征函数
exp(imc2t / )
代入狄拉克方程，得
i
c
(
p
(
p
p)
1
所以
p 1
p
即中微子的 自p旋沿1运动方称向为的右投旋影粒总子是态 / 2，其中
p
p
p
1
称为左旋粒子态
4. 可以证P明HP，宇1 称cPP不 守p恒P。1 因c为 p H
即
[P,H] 0
四、电磁场中电子的狄拉克方程
电磁场( A, )中电子的狄拉克方程可表示为
i H
§2.14 相对论量子力学
相对论量子力学
一、狄拉克方程
几条原则：
(1)保证概率密度正定，即
(r ,
t
)
0。
(2)保证概率守恒，即
d
(r ,
t
)d
3
x
0
dt 全
(3)作为相对论波动方程，要求方程具有洛仑兹不 变性(即在各惯性参考系中，方程的形式不变)。
电子的波函数应写成多分量的形式，即
1
(r ,
p)
可得
[j,H] 0
为符合实验观测结果：
s / 2 ，它在任何方向的分量都只可能是 1
要求
由于
s
2 x
2 y
2 z
1
2
具有角动量的性质，按角动量代数的一
2
般理论，要求 [si , s j ] i ijl sk
由此可得出 [ i , j ] 2i ijl k
( x , y , z ) 的代数性质与泡利算符( x , y , z )相同。