黄之--一种特殊五次方程的解法
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一种特殊五次方程的解法
上海 黄之
前几天看到群里韩安静提到一个一元五次方程,现在总结一下那种形式的一元五次方程.最后再提出一个征解问题.
一,2007年普林斯顿大学数学竞赛题: 求方程015535=-++x x x 的实数根. 解:令t i x cos 2=,则
1)cos 5cos 20cos 16(235=+-t t t i
即 i t 2
15cos -= 即 055=++-i e e ti ti
故得 i e
ti
2
5
15±-=
故 Z k i k or i k ti ∈+-++++-=,)22
1
(215ln ,,)221(215ln
5ππ 即 ππ)5
2101()215ln(,,)52101()215ln(51
51
k
i or k i t +-++-++--= 欲使R t i ∈cos 2,故取
)2)215ln(,(2)215ln(51
51π
π-+-=+--=i t or i t 则 ))215sinh(ln())215ln(sin(cos 5
1
51
-=-=i i t 最后得到 5
1
51
51
)2
15()215())215sinh(ln(2--+=--=x
二,提炼此解法的要点,得到下面这类五次方程的简单解法,可以绕过复指数:
a x m mx x =++5
2
3
5
令 y
m y x 5-
= 代入化简即得到 a y m y =--5
55
)5
(
即 0)5
(
5
5
10=--m ay y 所以得 2
)5(45
25
m
a a y +±=
而 5
5
25
1)5
(m y y -
= 所以 4,3,2,1,0,)2
)5(4()2)5(4(5152
5251525
2=+-+++=-k m a a e m a a e x i k i k ππ
当m,a 都是实数时,令5
2
)5
(
4m a +=∆ 1,若0>∆,则方程有唯一的实根,另有两对共轭复根;
2,若0=∆,则方程有三个实数根:一个单根,另外两个二重根; 3,若0<∆,则方程有五个不同的实根. 具体地:
I,当0>∆时,取k=0得到唯一的实根
51
525152)2
)5(4()2)5(4(
m
a a m a a x +-+++=
II,当0<∆时
θi e m i m
a a m a a 25
5252)5
(2)5(422)5(4-=--+=++ 其中 2
5
1
)5
(2cos
m a
-=-θ 所以此时方程的五个实数根为
4
,3,2,1,0,52cos )5(221=+-=k k m x πθ
还有一类一元五次方程,可以把根表示为一些正弦值. 征解题:
证明:方程032
1116118113211245
=+-+-
x x x x 的五个根为 5,4,3,2,1),11
sin(
=k m k
π 其中54321,,,,m m m m m 都是整数. 并求出这五个根.