黄之--一种特殊五次方程的解法

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一种特殊五次方程的解法

上海 黄之

前几天看到群里韩安静提到一个一元五次方程,现在总结一下那种形式的一元五次方程.最后再提出一个征解问题.

一,2007年普林斯顿大学数学竞赛题: 求方程015535=-++x x x 的实数根. 解:令t i x cos 2=,则

1)cos 5cos 20cos 16(235=+-t t t i

即 i t 2

15cos -= 即 055=++-i e e ti ti

故得 i e

ti

2

5

15±-=

故 Z k i k or i k ti ∈+-++++-=,)22

1

(215ln ,,)221(215ln

5ππ 即 ππ)5

2101()215ln(,,)52101()215ln(51

51

k

i or k i t +-++-++--= 欲使R t i ∈cos 2,故取

)2)215ln(,(2)215ln(51

51π

π-+-=+--=i t or i t 则 ))215sinh(ln())215ln(sin(cos 5

1

51

-=-=i i t 最后得到 5

1

51

51

)2

15()215())215sinh(ln(2--+=--=x

二,提炼此解法的要点,得到下面这类五次方程的简单解法,可以绕过复指数:

a x m mx x =++5

2

3

5

令 y

m y x 5-

= 代入化简即得到 a y m y =--5

55

)5

(

即 0)5

(

5

5

10=--m ay y 所以得 2

)5(45

25

m

a a y +±=

而 5

5

25

1)5

(m y y -

= 所以 4,3,2,1,0,)2

)5(4()2)5(4(5152

5251525

2=+-+++=-k m a a e m a a e x i k i k ππ

当m,a 都是实数时,令5

2

)5

(

4m a +=∆ 1,若0>∆,则方程有唯一的实根,另有两对共轭复根;

2,若0=∆,则方程有三个实数根:一个单根,另外两个二重根; 3,若0<∆,则方程有五个不同的实根. 具体地:

I,当0>∆时,取k=0得到唯一的实根

51

525152)2

)5(4()2)5(4(

m

a a m a a x +-+++=

II,当0<∆时

θi e m i m

a a m a a 25

5252)5

(2)5(422)5(4-=--+=++ 其中 2

5

1

)5

(2cos

m a

-=-θ 所以此时方程的五个实数根为

4

,3,2,1,0,52cos )5(221=+-=k k m x πθ

还有一类一元五次方程,可以把根表示为一些正弦值. 征解题:

证明:方程032

1116118113211245

=+-+-

x x x x 的五个根为 5,4,3,2,1),11

sin(

=k m k

π 其中54321,,,,m m m m m 都是整数. 并求出这五个根.

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