二向应力状态分析

1.04 MP（ a 压应力）
CQ IC Z CS b Z5 2 0 10 3 0 6 1 00 5 3 2 0 0 10 - 0 9 72 0 522 0 1 5 1 0 - 0 9 - 0 312
0.46 M 9Pa
已知：C -1.04MPaC 0.469MPa
4 0x+ 2y
b
M1
1、画各点应力状态图 13 x+ 2y1 2 x-y2+4x 2
z
25mm
1
2
3
2
4
h
1
3
3
F s 4 2、计算各点主应力
1点 bh 3
I z 12
500cm4
1
My Iz
11000M 103P5a0 500104
2点 (处于纯剪状态)
120 3 -100MP
m
3点
3
aMxI(一zy 23般FA1平5s 050M 面0103320状P301M 1a态06224010P5)1a1500038.6M FIszSP bz*a121322.502M M 005 1PP0 0 3a a031 60 0 4- 2286 .65 0M 03P7 .5a34点-31023M 100P00aMPa
5.以CD为基准线，沿反时针方向另取角度2 ，得一射线，与 圆交于G点 ,
6.按比例尺量出 , 值，即为单元体斜面上的正应力和剪
应力,
三.验证 , 的正确性
由应力圆可得：
y y yx
xy x
n
x x xy
yx y
B1 B O 2
G1' ,E
D(x, xy)
2 2 A1
C L A 1
D’ (y, yx) G2 "
y
1
3 -65MPa
0 22.5 或112.5
max min
x+
y
2
x
1 105MPa,
2
tan 2
0 -
2
x
x-
0,
1
y
0 22.5 或112.5
-
y
2
3
2
+
2 x
-65MPa
105 MPa
-65
022.5
max
x+
y
min
2
x2
2
y
+
m in B 1O- C C1 Bx+ 2y- x- 2y 2+x 2
圆A1、B1两点位于应力圆上同一直径的两端，即最大正 应力所在截面与最小正应力所在截面互相垂直，故，应力圆
中各正应力极值所在截面的方位可表示如下：
y
m in
y
max x
x
0 max
m in
B1 B O 2
10MPa
b
x -y sin2
2
+x c o2s
n2
-6003100 0- 21300-2s3in- 0s1in260000++220c0coo- 6ss1002 100.3-3M 1.3P3MaPa
+ 300
-600
x
+y
40MPa
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明 低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。
x'y' xsinqcosq-ysinqcosq+xy cos2q - yx sin2q
利用三角恒等式，整理得
x'
x
+
2
y
+x -y cos2q -xy sin2q
2
x'y' x -y sin2q +xy cos2q
2
平面应力状态的解析法
应力变换的实质——同一点的应力
状态可以有各种各样的描述方式：
平面应力状态的解析法
正负号规则
q角
由 x正向反 时针转到x'正 向者为正；反 之为负。
y' y
x'
q
x
平衡原理的应用—微元局部的平衡方程
• 平衡对象——用q 斜截
面截取的微元局部
y´
参加平衡的量——应力 乘以其作用的面积
平衡方程——
x ' y ' x´
x q
x'
x y dA yx
Fx 0 Fy 0
y
yx
y
xy
x
x
y'
y'x' x'y'
y'
x'
x'
y '' yp xp
x''
x-y坐标系 x´-y´坐标系 xp-yp坐标系
a
n Fn 0 F 0
a
x
y
x
yc
x
x
b
y
c
y
co2s1+co2s
2
sin21-co2s
2
x y
dA- xdc A o c so x ++ 2sxd y +cA o x-s 2siyn + coyd s2sAi-n cxso ins- 2ydsAin sin0
+x-y
2
co8s 0()-xsin 8( 0)
-1.04+-1.04 co8s 0()-0.46s9in 8( 0)-1.0M 7 P 22
4 0x- 2ysin 8( 0 )+xco8s 0 ()
-0.43M 1Pa
C C
C
§8-2-3 平面应力状态下的最大应力，主应力
d d- 2 (x- 2ysi2n +x yco 2)s 0tg2
自受力构件内取一单元体,其上承受应力如图示,
.
试3求此点的主应力及主平面.
a
x
c 60 0
b 60 0
3
a y ad面,db面是该点的主
平面.
x
d
b Fx 0
A as b3 in 0+ 0xA ac b 3 o0 s 0 0
x - 3 - 3
1 2 0
3 - 3
例3：分别用解析法和图解法求图示单元体的 (1)指定斜截面上的正应力和剪应力; (2)主应力值及主方向，并画在单元体上； (3)最大剪应力值。
轴成300和－600角，试求此二斜面ab和bc上的应力。
a
3 20MPa
c
30MPa
n1
x + y 2
+x -y cos2 -x sin2
2
-600 103+200301+01+230-203+01c0o-2-3s10c2o0- 06s200-0s2in0-s1in620000-422..3322M MP P
y
平面应力状态的解析法
Fx 0
x
'dA
-
(dAcosq) cosq
x
+ xy(dAcos q) sin q
+yx (dAsin q) cos q
- (dAsin q) sin q 0
y
y´
x ' y ' x´
x q
x'
x y dA yx
y
平面应力状态的解析法
Fy 0
- dA + (dAcos q) sin q
x -60M Pa, = 30
x
+ y
2
+x
- y
2
cos 2 - x
sin 2
102MPa
x
- y
2
sin 2 + x
cos 2
22.0 M Pa
max x + y
min
2
x
-
y
2
2
+
2 x
105
MPa
-65
1 105MPa, 2 0,
tan 2 0
-
2 x x -
ELCEsin2+2
CEsin2cos2+cos2sin2
CDcos2sin2+CDsin2cos2
CAsin2+DAcos2
y
y yx
xy x
n
x x xy
B1 B O 2
G1' ,E
D(x, xy)
2 2
CL A
A1 1
yx y
D’ (y, yx) G2 "
OL LC + CL
OC + CG cos 2 + 2
x
+ y
2
,0
半径：
x
- y
2
2
+
2 x
任一点坐标： ,
上述方程所表示的圆——应力圆或莫尔圆
二.应力圆的画法：
1.设 , 轴，选取应力比例尺。
2.以 x,x为坐标，得D点， y,y 得E点。
3.连DE交 轴于C点，C点即为应力圆的圆心。
4.以CD或CE为半径画圆。即得应力圆。
例题4:图示一矩形截面简支梁,在跨中有集中力作用。已 知:P=100KN,L=2m,b=200mm,h=600mm,=400。求：
离左支座L/4处截面上C点在400斜截面上的应力。
P
h/4
L/4 L/4 L/2
h
解：
PL
b
MC2425KN m
P
QC 2 50KN
C
CCMICZy2
5 10 315010 -312 2006030 10 -12
450
min
x + y 2
+x -y cos2 -xsin2
2
-sin2
max
x -y sin2 +xco2s
2
co2s
450 m -ax- 铸铁圆试样扭转试验时，正是沿着
最大拉应力作用面（即45o螺旋面）
-450 m +ax 断开的。因此，可以认为这种脆性破
坏是由最大拉应力引起的。
450 0
单位：MPa
解：(一)使用解析法求解
x 80M Pa,
y -40M Pa
x -60M Pa,
= 30
x + y
2
+ x - y
2
cos 2 - x sin 2
102 M Pa
x - y
2
sin 2 + x cos 2
2 2 .0 M P a
x 80MPa, y -40MPa
dA- xdc A o ssin - x-xd yc A sio n2c so ++ syxd cs oA2is n sin+ydsAin co s0
2
§8.2.2 二向应力状态分析的图解法
应力圆（Mohr’s Circle for Stresses） 1、应力圆方程
(x-a)2+y2R2
圆心坐标：
§8.2.1 二向应力状态分析——解析法
平面应力状态的解析法
• 确定任意方向面上的应力 • 应用平衡的方法
正负号规则 平衡原理的应用— 微元局部的平衡方程
应力变换及其实质
平面应力状态的解析法
正
x
x
负
正
号
应
规
力
则
x
x
拉为正
压为负
平面应力状态的解析法
正负号规则
x'y'
xy yx
剪 应力
使微元或 其局部顺时针 方向转动为正 ；反之为负。
低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。
x
x + y 2
+x -y cos2 -xsin2
2
x
2
+yx
2
co2s
x -y sin2
2
+x c o2s
450
450
x
2
450
x
2
max
x
2
sin2
低碳钢试样拉伸至屈服时沿45o 表面出现滑移线，是由最大切 应力引起的。
分析圆轴扭转时最大切应力的作用面，说明铸铁圆 试样扭转破坏的主要原因。
x'y'
x
+ (dAcos q) cos q
xy
- (dAsin q) sin q Nhomakorabeayx
- (dAsin q) cos q 0
y
y´
x ' y ' x´
x q
x'
x y dA yx
y
平面应力状态的解析法
化简得到以下两个方程：
x' x cos2q + y sin2q -xysinqcosq-yxsinqcosq
(y d,y)
a (x ,x)
点面对应——应力圆上某一点的坐标值对应着单元 体某一方向面上的正应力和切应力；
转向对应——半径旋转方向与斜截面法线旋转方向 一致；
二倍角对应——半径转过的角度是斜截面旋转角度 的两倍。
点面对应
y y
A x x
a
c
转向对应、二倍角对应
n
b 2 a
c
某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平面 上的应力已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法线分别与x
x + y
2
+x -y
2
cos2
-x sin2
x -y sin2
2
+x c o2s
轴向拉伸压缩
x (1+co2s)
2
1＝x 2 3 0
x sin2
2
max m in
x
2
平面应力状态的几种特殊情况
x + y 2
+x -y cos2 -xsin2
2
x -y sin2
2
+x c o2s
扭转
-xsin 2 xco2s
2 x
105
MPa
-65
1 105MPa,
2 0,
3 -65MPa
- 2xy x -y
ma mx)i(x
x+y( 2
x- 2y)2+x2 y
B1 B O 2
G1' ,E
D(x,xy)
2 20
CF A
A1 1
D’ (y, yx) G2 "
tg -20C D DCAA F Ftg 20- x2 - xy
ma xA 1O+ C C1 Ax+ 2y+ x- 2y 2+x 2
G1',E
D(x, 2 xy)
20 A1 C F A 1
D’ (y, yx) G2 "
从应力圆中还可看出：应力圆上对应于G1G2两点，剪应力最大， 由此可得到，最大、最小剪应力分别为：
maxKR
x
-y
2
2+x2
min -M-R-x- 2y2+x2
*从应力圆中可看出：它们所在截面也相垂直
目录
平面应力状态的几种特殊情况
1 ＝ x 2 ＝0 3＝-x max x