2014届高考数学创新题专题

2014届高考数学创新题专题

1、已知集合23

0123{|333}A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1,2}(0,1,2,3)k a k ∈=，且

30a ≠.则A 中所有元素之和等于（ ）

A ．3240

B ．3120

C ．2997

D ．2889 2、函数f(x)=a 2

x +bx +c (a ≠0) 的图象关于直线x=－

2b

a

对称.据此可推测，对任意的非零实数a ，b ，c ，m ，n ，p ，关于x 的方程 m[f(x)]2+nf(x) +p=0的解集都不可能是 （ ） A. {}1,2 B .{}1,4 C .{}1,2,3,4 D. {}1,4,16,64

3、对数列{}n a ，如果*k ∃∈N 及12,,,k λλλ∈R L ，使1122n k n k n k k n a a a a λλλ++-+-=+++L 成

立，其中*

n ∈N ，则称{}n a 为k 阶递归数列．给出下列三个结论： ① 若{}n a 是等比数列，则{}n a 为1阶递归数列； ② 若{}n a 是等差数列，则{}n a 为2阶递归数列；

③ 若数列{}n a 的通项公式为2

n a n =，则{}n a 为3阶递归数列．

其中，正确结论的个数是（ ）

A ．0 B.1 C.2 D.3 4、如图，半径为2的⊙O 与直线MN 相切于点P ，射线PK 从PN 出发绕点P 逆时针方向旋转到PM ，旋转过程中，PK 交 ⊙O 于点Q ，设POQ ∠为x ，弓 形 PmQ 的面积为()S f x =，

那么()f x 的图象大致是（ ）

A B C D

5、在空间直角坐标系中，对其中任何一向量123(,,)X x x x =，定义范数||||X ，它满足以下

性质： (1)||||0X ≥，当且仅当X 为零向量时，不等式取等号；（2）对任意的实数λ，

||||||||||X X λλ=⋅（注：此处点乘号为普通的乘号）。（3）||||||||||||X Y X Y +≥+。

在平面直角坐标系中，有向量12(,)X x

x =

，

下面给出的几个表达式中，可能表示向量X 的范数的是____（把所有正确答案的序号都填上）

（1）2

2212x x + （2）22122x x - （3）22122x x ++ （4）22

12x x +

6、如图，已知平面l αβ=I ，A 、B 是l 上的两个点，C 、D 在平面β内，且

,,DA CB αα⊥⊥4AD =，6,8AB BC ==，在平

面α上有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，则

P ABCD -体积的最大值是（ ）

A.243

B.16

C.48

D.144

7、已知线段AB 上有10个确定的点（包括端点A 与

B ）．现对这些点进行往返标数（从A →B →A →B →…进行标数，遇到同方向点不够数时就“调

头”

往回数）．如图：在点A 上标1，称为点1，然后从点1开始数到第二个数，标上2，称为点2，再从点2开始数到第三个数，标上3，称为点3（标上数n 的点称为点n ），……，这样一直继续下去，直到1，2，3，…，2012都被标记到点上．则点2012上的所有标数中，最小的是 ．

8、有连续的自然数1、2、3、…、n ，去掉其中一个数后，剩下的数的平均数是16，则满足条件的n 的最小值是

9、从1到k 这k 个整数中最少应选m 个数才能保证选出的m 个数中必存在三个不同的数可构成一个三角形的三边长。(1)若k=10，则m= （2）若k=2012，则m= 10、由19条水平直线与19条竖直直线组成的1818⨯的围棋棋盘中任选一个矩形， （1）有 种不同的选法；（2）所得矩形为正方形的概率为

11、下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R 的映射过程：区间()0,1中的实数m 对应数轴上 的点M ，如图1；将线段AB 围成一个圆，使两端点A 、B 恰好重合，如图2；再将这个 圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y 轴上，点A 的坐标为()0,1，如图3.图3中直 线AM 与x 轴交于点(),0N n ，则m 的象就是n ，记作()f m n =.

α

A C B

D

P A

B

1

2

3

564

(ⅰ)方程()0f x =的解是x = ;

(ⅱ)下列说法中正确命题的序号是 .(填出所有正确命题的序号) ①114f ⎛⎫

=

⎪⎝⎭

； ②()f x 是奇函数; ③()f x 在定义域上单调递增; ④()f x 的图象关于点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭

对称．

12、F 是抛物线2

2y px =()0>p 的焦点，过焦点F 且倾斜角为θ的直线交抛物线于,A B 两

点，设,AF a BF b ==，则： ①若ο

60=θ且b a >，则b

a

的值为______； ②=

+b a ______（用p 和θ表示）. 13、若正整数()

*

i

n

i i

N a

a N

∈=∑=1，称∏==n

i i a T 1

为N 的一个“分解积”，

（1） 当N 分别等于6,7,8时，它们的 “分解积”的最大值分别为 （2） 当N=3m+1 （*

N m ∈）时，它的 “分解积”的最大值为 14、若12(0n n i A a a a a ==L 或1,1,2,,)i n =L ，则称n A 为0和1的一个n 位排列．对于n A ，

将排列121n n a a a a -L 记为1()n R A ；将排列112n n n a a a a --L 记为2

()n R A ；依此类推，直至()n n n R A A =．对于排列n A 和()i

n R A (1,2,,1)i n =-L ，它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做n A 和()i n R A 的相关值，记作(,())i

n n t A R A ．例如

3110A =，则13()011R A =， 133(,())1t A R A =-．若(,())1(1,2,,1)i n n t A R A i n =-=-L ，

则称n A 为最佳排列． （Ⅰ）写出所有的最佳排列3

A

； （Ⅱ）

若某个21(k A k +是正整数)为最佳排列，则排列21k A +中1的个数 ． 15、对于集合M ，定义函数1,,

()1,.

M x M f x x M -∈⎧=⎨

∉⎩对于两个集合M ，N ，定义集合

{()()1}M N M N x f x f x ∆=⋅=-. 已知{2,4,6,8,10}A =，{1,2,4,8,16}B =.（1）用列

举法写出集合A B ∆= ；（2）用Card(M)表示有限集合M 所含元素的个数，当()()Card X A Card X B ∆+∆取最小值时集合X 的可能情况有 种。 16、若对于正整数k ,()g k 表示k 的最大奇数因数，例如(3)3g =，(10)5g =.设

(1)(2)(3)(4)(2)n n S g g g g g =+++++L ．

（1）则2S = （2）n S =