初一数学绝对值典型例题精讲

第三讲 绝对值
绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。

绝对值的定义及性质
绝对值 简单的绝对值方程
化简绝对值式，分类讨论（零点分段法）
绝对值几何意义的使用
绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。

绝对值的性质：
（1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a ＞0）
（2） |a|= 0 （a=0） （代数意义）
-a (a ＜0)
（3） 若|a|=a ，则a ≥0；若|a|=-a ，则a ≤0；
（4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ，
且|a|≥-a ；
（5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义）
（6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=|
|||b a （b ≠0）； （7） |a|2=|a 2|=a 2
；
（8） |a+b|≤|a|+|b| |a-b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a-b|
[例1]
（1） 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？
（2） 若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ）
A.a ＜0，b ＜0
B.a ＞0，b ＜0
C.a ＜0，b ＞0
D.ab ＜0
（3） 下列各组判断中，正确的是（ ）
A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞b
C. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b|
D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b) 2
（4） 设a ，b 是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？
分析：
（1） 结合数轴画图分析。

绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个
（2） 答案C 不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。

（3） 选择D 。

（4） 根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9
[巩固] 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？
<分析>：绝对值小于3.1的整数有0，±1，±2，±3，和为0。

[巩固] 有理数a 与b 满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（ ）
A.a ＞b
B.a=b
C.a<b
D.无法确定
分析：选择D 。

[巩固] 若|x-3|=3-x ，则x 的取值范围是____________
分析：若|x-3|=3-x ，则x-3≤0，即x ≤3。

对知识点3的复习巩固
[巩固] 若a ＞b ，且|a|<|b|，则下面判断正确的是（ ）
A.a ＜0
B.a ＞0
C.b ＜0
D.b ＞0
分析：选择C
[巩固] 设a ，b 是有理数，则-8-|a-b|是有最大值还是最小值？其值是多少？
分析：|a-b|≥0，-8-|a-b|≤-8，所以有最大值-8
[例2]
（1）（竞赛题）若3|x-2|+|y+3|=0，则
x y 的值是多少？ （2）若|x+3|+(y-1)2=0，求n x
y )4(--的值
分析：（1）|x-2|=0，|y+3|=0，x=2，y=-3，x
y =23- （2）由|x+3|+（y-1）2=0，可得x=-3，y=1。

x y --4=314+-=-1 n 为偶数时，原式=1；n 为奇数时，原式=-1
小知识点汇总：（本源 |a|≥0 b 2≥0）
若(x-a)2+(x-b)2=0,则x-a=0且x-b=0；
若|x-a|+(x-b)2=0,则x-a=0且x-b=0；
若|x-a|+|x-b|=0，则x-a=0且x-b=0；
当然各项前面存在正系数时仍然成立，非负项增加到多项时，每一项均为0，两个非
负数互为相反数时，两者均为0
【例3】
（1） 已知x 是有理数，且|x|=|-4|，那么x=＿＿＿＿
（2） 已知x 是有理数，且-|x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿
（3） 已知x 是有理数，且-|-x|=-|2|，那么x=＿＿＿＿
（4） 如果x ，y 表示有理数，且x ，y 满足条件|x|=5，|y|=2，|x-y|=y-x ，那么x+y
的值是多少？
分析：
（1）4，-4 （2）2，-2， （3）2，-2
（4）x=±5，y=±2，且|x-y|=y-x ，x-y ≤0；
当x=5，y=2时不满足题意；当x=5，y=-2时不满足题意；
当x=-5，y=2时满足题意；x+y=-3；当x=-5，y=-2时满足题意，x+y=-7。

【巩固】巩固|x|=4，|y|=6，求代数式|x+y|的值
分析：因为|x|=4，所以x=±4，因为|y|=6，所以y=±6
当x=4，y=6时，|x+y|=|10|=10； 当x=4，y=-6时，|x+y|=|-2|=2;
当x=-4，y=6时，|x+y|=|2|=2； 当x=-4，y=-6时，|x+y|=|10|=10
【例4】
解方程：（1）05|5|2
3=-+x （2）|4x+8|=12
（3）|3x+2|=-1
（4）已知|x-1|=2，|y|=3，且x 与y 互为相反数，求
y xy x 43
12--的值 分析：（1）原方程可变形为：|x+5|=310，所以有x+5=±310，进而可得：x=-35，-325； （2）4x+8=±12，x=1，x=-5
（3）此方程无解
（4）|x-1|=2，x-1=±2，x=3，x=-1，|y|=3，y=±3，且x 与y 互为相反数，所以x=3，
y=-3，2443
12=--y xy x 【例5】 若已知a 与b 互为相反数，且|a-b|=4，求
12+++-ab a b ab a 的值 分析：a 与b 互为相反数，那么a+b=0。

12+++-ab a b ab a =,4,4||,1
001)(±=-=--=+⨯-=++-+b a b a ab a ab b a a ab b a 当a-b=4时，且a+b=0，那么a=2，b=-2，-ab=4；
当a-b=-4时，且a+b=0，那么a=-2，b=2，-ab=4；
综上可得
12+++-ab a b ab a =4
【例6】
（1） 已知a=-21，b=-3
1，求||32|34|2|2|4)2(|42|2--+-+-++a b b a b a b a 的值 （2） 若|a|=b ，求|a+b|的值
（3） 化简：|a-b|
分析：（1）原式=718||31|33
4|2|3221|4)3221(|341|2-=---+--------- （2）|a|=b ，我们可以知道b ≥0，当a<0时，a=-b ，|a+b|=0；当a ≥0时，a=b ，|a+b|=2b
（3）分类讨论。

当a-b ＞0时，即a ＞b ，|a-b|=a-b ；
当a-b=0时，即a=b ，|a-b|=0；
当a-b ＜0时，即a ＜b ，|a-b|=b-a 。

【巩固】 化简：（1）|3.14-π| （2）|8-x|（x ≥8）
分析：（1）3.14<π，3.14-π＜0，|3.14-π|=π-3.14
（2）x ≥8，8-x ≤0，|8-x|=x-8。

【例7】有理数a ，b ，c 在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b|
分析：|b+a|+|a+c|+|c-b|=b+a-（a+c ）-（c-b ）=2b-2c
【巩固】已知a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|
分析：|a|+|c-b|+|a-c|+|b-a|=-a+b-c-a+c+b-a=2b-3a
【巩固】数a ，b 在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||
分析：|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||=-（a+b ）+（b-a ）+b-（-2a ）=b
【例8】（1）若a<-b 且0>b
a ，化简|a|-|b|+|a+b|+|ab| （2）若-2≤a ≤0，化简|a+2|+|a-2|
（3）已知x<0<z,xy>0,|y|>|z|>|x|,求|x+z|+|y+z|-|x-y|的值
分析：（1）若a<-b 且0>b
a ，a<0,b<0,a+b<0,ab>0 |a|-|b|+|a+b|+|ab|=-a+b-a-b+ab=ab-2a
(2)因为-2≤a ≤0，所以a+2≥0，a-2≤0，|a+2|+|a-2|=(a+2)-(a-2)=4
(3)由x<0<z,xy>0可得：y<0<z,又|y|>|z|>|x|,可得：y<x<z;原式=x+z-y-z-x+y=0
【巩固】如果0<m<10并且m ≤x ≤10，化简|x-m|+|x-10|+|x-m-10|
分析：|x-m|+|x-10|+|x-m-10|=x-m+10-x+m+10-x=20-x
【例9】（1）已知x<-3,化简|3+|2-|1+x|||
（2）若a<0，试化简|
|3|||3|2a a a a -- 分析：（1）当x<-3时，
|3+|2-|1+x|||=|3+|2+1+x||=|3+|3+x||=|3-3-x|=|-x|=-x
C B 0
A
（2）||3|||3|2a a a a --=|3|32a a a a --+=a a 45-=-4
5 【例10】若abc ≠0，则
||||||c c b b a a ++的所有可能值 分析：从整体考虑：
（1）a ，b ，c 全正，则|
|||||c c b b a a ++=3； （2）a ，b ，c 两正一负，则|
|||||c c b b a a ++=1； （3）a ，b ，c 一正两负，则
||||||c c b b a a ++=-1； （4）a ，b ，c 全负，则|
|||||c c b b a a ++=-3 【巩固】有理数a ，b ，c ，d ，满足
1||-=abcd abcd ，求d d c c b b a a ||||||||+++的值 分析：有1||-=abcd
abcd 知abcd<0，所以a ，b ，c ，d 里含有1个负数或3个负数： （1） 若含有1个负数，则d
d c c b b a a ||||||||+++=2； （2） 若含有3个负数，则d
d c c b b a a ||||||||+++=-2 【例11】化简|x+5|+|2x-3| 分析：先找零点。

x+5=0，x=-5；2x-3=0，x=
23，零点可以将数轴分成几段。

当x ≥2
3，x+5＞0,2x-3≥0，|x+5|+|2x-3|=3x+2； 当-5≤x ＜2
3，x+5≥0,2x-3＜0，|x+5|+|2x-3|=8-x ； 当x<-5，x+5<0,2x-3，|x+5|+|2x-3|=-3x-2
【巩固】化简：|2x-1|
分析：先找零点。

2x-1=0，x=
21，依次零点可以将数轴分成几段 （1） x<2
1,2x-1<0，|2x-1|=﹣（2x-1）=1﹣2x ； （2） x=2
1，2x-1=0，|2x-1|=0
（3） x>2
1，2x-1>0，|2x-1|=2x-1。

也可将（2）与（1）合并写出结果 【例12】求|m|+|m-1+|m-2|的值
分析：先找零点，m=0，m-1=0，m-2=0，解得m=0,1,2
依这三个零点将数轴分为四段：m ＜0,0≤m ＜1,1≤m ＜2，m ≥2。

当m<0时，原式=﹣m ﹣（m-1）-（m-2）=-3m+3
当0≤m ＜1时，原式=m-（m-1）-（m-2）=-m+3
当1≤m ＜2时，原式=m+（m-1）-（m-2）=m+1
当m ≥2时，原式m+(m-1)+（m-2）=3m-3
|a|的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离
|a-b|的几何意义：在数轴上，表示数a ，b 对应数轴上两点间的距离
【例13】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值
分析：由上题可知，本题中的式子值应为x 所对应的点分别到3,5,2，-1，-7所对应的点距
离和。

通过数轴可以看到，当x=2时，五段距离的和有最小值16。

这里我们可以把小学奥数中的相关知识联系到一起讲解：
【小学奥数相关题目】如图，在接到上有A 、B 、C 、D 、E 五栋居民楼，现在设立一个邮筒，
为使五栋楼的居民到邮筒的就努力之和最短，邮局应立于何处？
分析：我们来分析以下A 、E 两个点，不论这个邮筒放在AE 之间的哪一点，A 到邮筒的距
离加上E 到邮筒的距离就是AE 的长度。

也就是说邮筒放在哪不会影响这两个点到邮筒的距离之和。

那么我们就使其他的3个点到邮筒的距离之和最短，再看为了使
B 、D 两个到邮筒的距离之和也是不变的，等于BD 。

最后，只需要考虑
C 点到邮筒的距离最近就行了。

那么当然也就是把邮筒放在C 点了。

这里就体现了一个“向中心靠拢的思想”
题后小结论：
求|x-a 1|+|x-a 2|+…+|x-a n |的最小值：
当n 为奇数时，把a 1、a 2、…a n 从小到大排列，x 等于最中间的数值时，该式子的值
最小。

A B C D E
当n 为偶数时，把a 1、a 2、…a n 从小到大排列，x 取最中间两个数值之间的数（包括
最中间的数）时，该式子的值最小。

【巩固】探究|a|与|a-b|的几何意义
分析：|a|即为表示a 的点A 与原点之间的距离，也即为线段AO 的长度。

关于|a-b|，我们可以引入具体数值加以分析：
当a=3，b=2时，|a-b|=1； 当a=3，b=-2时，|a-b|=5；
当a=3，b=0时，|a-b|=3； 当a=-3，b=-2时，|a-b|=1；
从上述四种情况分别在数轴上标注出来，我们不能难发现：|a-b|对应的是点A 与点
B 之间的距离，即线段AB 的长度。

【巩固】设a 1、a 2、a 3、a 4、a 5为五个有理数，满足a 1< a 2< a 3< a 4< a 5,求|x- a 1|+|x- a 2|+|x-
a 3|+|x- a 4|+|x- a 5|的最小值
分析：当x= a 3时有最小值，a 4+ a 5- a 1- a 2
【例14】设a<b<c<d,求y=|x-a|+|x-b|+|x-c|+|x-d|的最小值，并求出此时x 的取值
分析：根据几何意义可以得到，当b ≤x ≤c 时，y 有最小值为c+d-a-b
【例1】 若|a|=1，|b|=2，|c|=3，且a>b>c,那么a+b-c=＿＿＿＿＿＿
分析：根据题意可得：a=±1，b=-2，c=-3，那么a+b-c=0或2
【例2】 已知(a+b)2+|b+5|=b+5,且|2a-b-1|=0，那么ab=＿＿＿＿＿＿
分析：因为(a+b)2+|b+5|=b+5,我们可以知道b+5>0，所以原式可以表示为：
(a+b)2+b+5=b+5，(a+b)2=0，a=-b ，又因为|2a-b-1|=0，进而2a-b-1=0，进而2a-b-1=0,3a=1，a=
31，b=-31，ab=-91 【例3】 对于|m-1|，下列结论正确的是（ ）
A.|m-1|≥|m|
B.|m-1|≤|m|
C. |m-1|≥|m|-1
D. |m-1|≤|m|-1
分析：我们可以分类讨论，但那样对于做选择题都过于麻烦了。

我们可以用特殊值
法代入检验，对于绝对值的题目我们一般需要带入正数、负数、0,3种数帮助找到
准确答案。

易得答案为C 。

【例4】 设a ，b ，c 为实数，且|a|+a=0，|ab|=ab ，|c|-c=0，化简|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|
分析：|a|+a=0，|a|=-a ，a ≤0；|ab|=ab ，ab ≥0；|c|-c=0，|c|=c ，c ≥0。

所以可以得到a ≤0，b ≤0，c ≥0；
|b|-|a+b|-|c-b|+|a-c|=-b+（a+b ）-（c-b ）-（a-c ）=b
【例5】 化简：||x-1|-2|+|x+1|
分析：先找零点。

x-1=0，x=1，|x-1|-2=0，|x-1|=2，x-1=2或x-1=-2，可得x=3或者x=-1；x+1=0，x=-1；综上所得零点有1.，-1,3，依次零点可以将数轴分成几段。

（1） x ≥3，x-1>0，|x-1|-2≥0，x+1>0, ||x-1|-2|+|x+1|=2x-2；
（2） 1≤x<3，x-1≥0，|x-1|-2<0，x+1>0，||x-1|-2|+|x+1|=4；
（3） -1≤x ≤1，x-1<0，|x-1|-2<0，x+1≥0，||x-1|-2|+|x+1|=2x+2；
（4） x<-1,x-1<0,|x-1|-2<0,x+1<0, ||x-1|-2|+|x+1|=-2x-2
【例6】 已知有理数a ，b ，c 满足
1||||||=++c c b b a a ，求abc
abc ||的值 分析：对于任意的整数a ，有1||±=a a ，若1||||||=++c
c b b a a ，则a ，b ，c 中必是两正一负，则abc<0，abc abc ||=-1 【例7】 若a ，b ，c ，
d 为互不相等的有理数，且|a-c|=|b-c|=|d-b|=1，求|a-d|
分析：从|a-c|=|b-c|我们可以知道，c 到a ，b 的距离都是1，且三者不相等，那么在数轴上就有：
因为|d-b|=1，且a ，b ，c ，d 为互不相等的有理数，则有：
显然易得|a-d|=3
1、|m+3 |+|n-
2
|+|2p-1|=0,求p+2m+3n 的值 分析：绝对值为非负数，|m+3 |+|n-27|+|2p-1|=0,所以m+3=0，n-2
7=0，2p-1=0，即得m=-3，n=27，p=21，所以p+2m+3n=21-6+3×27=5 2、（1）已知|x|=2，|y|=3且x-y>0，则x+y 的值为多少？
（2）解方程：|4x-5|=8
分析：（1）x=±2，y=±3，
(b) (a)
(b) (a)
当x=2，y=3时，不满足x-y ＞0；
x=2，y=-3时，满足x-y ＞0，那么x+y=-1；
x=-2，y=3时，不满足x-y ＞0；
x=-2，y=-3时，满足x-y ＞0，那么x+y=-5。

综上可得x+y 的值为-1，-5
（2）4x-5=±8，x=413，x=-4
3 3、（1）有理数a ，b ，c 在数轴上对应点如图所示，化简|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|
（2）若a ＜b ，求|b-a+1|-|a-b-5|的值
（3）若a ＜0，化简|a-|-a||
分析：（1）a-b ＜0，b-c ＞0，a+b ＜0
|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|=-（a-b ）+（a+b ）+（b-c ）+c=3b
（2）|b-a+1|-|a-b-5|=b-a+1+a-b-5=-4
（3）|a-|-a||=|a+a|=|2a|=-2a
4、已知a 是非零有理数，求|
|||||33
22a a a a a a ++的值 分析：若a ＞0，那么|
|||||33
22a a a a a a ++=1+1+1=3； 若a ＜0，那么|
|||||33
22a a a a a a ++=-1+1-1=-1 5、化简|x-1|-|x-3|
分析：先找零点。

x-1=0,，x=1；x-3=0，x=3，依照零点可以将数轴分成几段。

（1） x ≥3，x-1＞0，x-3≥0，|x-1|-|x-3|=x-1-（x-3）=2；
（2） 1≤x ＜3，x-1≥0，x-3＜0 ，|x-1|-|x-3|=x-1+（x-3）=2x-4；
（3） x ＜1，x-1＜0，x-3＜0，|x-1|-|x-3|=-（x-1）+（x-3）=-2
6、设a ＜b ＜c ，求当x 取何值时|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值
分析：|x-a|+|x-b|+|x-c|实际表示x 到a ，b ，c 三点距离和，画图可知当x=b 时，原式有最小
值c-a。