用样本估计总体(重点)
用样本推断总体(知识点汇总 湘教9上)
第五章 用样本推断总体(一）平均数的计算方法（1）定义法：一般地，如果有n 个数,,,,21n x x x 数据比较分散，那么，)(121n x x x n x +++=叫做 这n 个数的平均数，x 读作“x 拔”。
（2）加权平均数法：如果所给数据重复出现，即n 个数中，1x 出现1f 次，2x 出现2f 次，…，k x 出现k f 次（这里n f f f k =++ 21）那么，根据平均数的定义，这n 个数的平均数可以表示为 nf x f x f x x k k ++=2211，这样求得的平均数x 叫做加权平均数，其中k f f f ,,,21 叫做权。
（3）新数据法：当所给数据都在某一常数a 的上下波动时，一般选用简化公式：a x x +='。
其中，常数a 通常取接近这组数据平均数的较“整”的数，（a x x -=11'，a x x -=22'，…， a x x n n -='。
)'''(1'21n x x x nx +++= 是新数据的平均数（通常把,,,,21n x x x 叫做原数据， ,',,','21n x x x 叫做新数据）。
（二）、统计学中的几个基本概念1、总体：所有考察对象的全体叫做总体。
2、个体：总体中每一个考察对象叫做个体。
3、样本：从总体中所抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。
4、样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量。
5、样本平均数：样本中所有个体的平均数叫做样本平均数。
6、众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
7、中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数） 叫做这组数据的中位数。
（三）总体平均数和方差的估计1、总体平均数：总体中所有个体的平均数叫做总体平均数； 统计中，通常用样本平均数估计总体平均数。
2、方差：在一组数据,,,,21n x x x 中，各数据与它们的平均数x 的差的平方的平均数，叫做这组数据的 方差。
高中数学必修二 9 2 用样本估计总体(精讲)(含答案)
9.2 用样本估计总体（精讲）考法一总体取值规律的估计【例1】（2021·全国高一课时练习）某市2020年4月1日~4月30日对空气污染指数的监测数据如下(主要污染物为可吸入颗粒物):61，76，70，56，81，91，92，91，75，81，88，67，101，103，95，91，77，86，81，83，82，82，64，79，86，85，75，71，49，45，（1）完成频率分布表；（2）作出频率分布直方图；（3）根据国家标准，污染指数在0~50之间时，空气质量为优；在51~100之间时，空间质量为良；在101~150之间时，空间质量为轻微污染；在151~200之间时，空间质量为轻度污染.请你依据所给数据和上述标准，对该市的空气质量给出一个简短评价.【答案】（1）频率分布表见解析；（2）频率分布直方图见解析；（3）该市空气质量有待进一步改善.【解析】（1）频率分布表（2）频率分布直方图（3）答对下述两条中的一条即可:①该市一个月中空气污染指数有2天处于优的水平，占当月天数的1 15；有26天处于良的水平，占当月天数的13 15；处于优或良的天数共有28天，占当月天数的1415.说明该市空气质量基本良好.②轻微污染有2天，占当月天数的115.污染指数在80以上的接近轻微污染的天数有15天，加上处于轻微污染的天数，共有17天，占当月天数的1730，超过50%.说明该市空气质量有待进一步改善.【一隅三反】1．（2020·全国高一单元测试）某市为提倡节约用水，准备实行自来水“阶梯计费”方式，用户用水不超出基本用水量的部分享受基本价格，超出基本用水量的部分实行超价收费，为更好地决策，自来水公司随机抽取了部分用户的用水量数据，并绘制了如图不完整的统计图(每组数据包括右端点但不包括左端点)，请你根据统计图解答下列问题：用户用水量频数直方图用户用水量扇形统计图（1）此次抽样调查的样本容量是________；（2）补全频数分布直方图，求扇形图中“15吨～20吨”部分的圆心角的度数；（3）如果自来水公司将基本用水量定为每户25吨，那么该地区6万用户中约有多少用户的用水全部享受基本价格．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析，79.2°；（3）4.08万户.【解析】（1）1010%100÷=；（2）用水15～20吨的户数为100－10－36－24－8＝22(户)，“15～20吨”部分的圆心角的度数为22 36079.2100︒⨯=︒（3）1022366 4.08100++⨯=(万户)所以该地区6万用户中约有4.08万户的用水全部享受基本价格．2．（2020·全国高一单元测试）对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：（1）求出表中M，p及图中a的值；（2）若该校高一学生有360人，试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[10，15）内的人数. 【答案】（1）M ＝40，0.075p =，0.125a =；（2）90人. 【解析】（1）由[10，15）内的频数是10，频率是0.25知，100.25M=，所以M ＝40. 因为频数之和为40，所以10＋25＋m ＋2＝40，m ＝3.330.07540p M ===. 因为a 是对应分组[15，20）的频率与组距的商，所以250.125405a ==⨯. （2）因为该校高一学生有360人，分组[10，15）内的频率是0.25，所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在此区间内的人数为3600.25⨯=90人.3．（2021·北京丰台区）为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的用电量都在50kW ·h 至350kW ·h 之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图如图所示．（I ）求a 的值；（Ⅱ）求被调查用户中，用电量大于250kW ·h 的户数；（III ）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯定价，希望使80%的居民缴费在第一档（费用最低），请给出第一档用电标准（单位：kW ·h ）的建议，并简要说明理由． 【答案】（I ）0.006；（Ⅱ）18；（III ）245.5 kW ·h.【解析】（1）因为()0.00240.00360.00440.00240.0012501a +++++⨯=，所以0.006a =； （2）根据频率分布直方图可知：“用电量大于250kW ·h ”的频率为()0.00240.0012500.18+⨯=， 所以用电量大于250kW ·h 的户数为：1000.1818⨯=， 故用电量大于250kW ·h 有18户；（3）因为前三组的频率和为：()0.00240.00360.006500.60.8++⨯=<，前四组的频率之和为()0.00240.00360.0060.0044500.820.8+++⨯=>， 所以频率为0.8时对应的数据在第四组， 所以第一档用电标准为：0.80.620050245.50.22-+⨯≈kW ·h.故第一档用电标准为245.5 kW ·h.4．（2021·陕西咸阳市）某微商对某种产品每天的销售量（单位：件）进行为期一个月（按30天计算）的数据统计分析，并得出了这种产品该月销售量的频率分布直方图（如图）.假设用直方图中所得的频率来估计相应事件发生的概率.（Ⅰ）求频率分布直方图中a 的值；（Ⅱ）若微商在一天的销售量不低于25件，则上级商企会给微商赠送100元的礼金，估计该微商在一年内获得的礼金数.【答案】（Ⅰ）0.02；（Ⅱ）10800元. 【解析】（Ⅰ）由题意可得1[1(0.010.060.070.04)5]0.025a =-+++⨯=． （Ⅱ）根据频率分布直方图知，日销售量不低于25件的天数为： ()0.040.025309+⨯⨯=（天）， 一个月可获得的礼金数为9100900⨯=（元），依此可以估计该微商一年内获得的礼金数为9001210800⨯=元. 【点睛】本题考查频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查样本估计总体以及运算求解能力、数形结合思想的应用，是基础题．考法二 总体百分数的估计【例2】（2020·天津和平区）已知一组数据为4,5,67,8,8,,第40百分位数是（ ） A ．8 B ．7C ．6D ．5【答案】C【解析】因为有6位数，所以640 2.4⨯=%，所以第40百分位数是第三个数6.故选：C 【一隅三反】1．（2020·山东菏泽市·高一期末）数据1，2，3，4，5，6的60%分位数为（ ） A ．3 B ．3.5C ．3.6D ．4【答案】D【解析】由6⨯60%=3.6，所以数据1，2，3，4，5，6的60%分位数是第四个数，故选：D2．（2021·山东高一期末）已知从某中学高一年级随机抽取20名女生，测量她们的身高（单位：cm ），把这20名同学的身高数据从小到大排序：148.0 149.0 150.0 152.0 154.0 154.0 155.0 155.5 157.0 157.0 158.0 159.0 161.0 162.0 163.0 164.0 165.0 170.0 171.0 172.0 则这组数据的第75百分位数是（ ） A ．163.0 B ．164.0C ．163.5D ．164.5【答案】A【解析】因为这组数据从小到大已排序，所以这组数据的第75百分位数为第200.7515⨯=个数，即为163.0故选：A3．（2020·山东滨州市·高一期末）“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[]0,10内的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高，现随机抽取6位小区居号，他们的幸福感指数分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的第80百分位数是（ ） A ．7 B ．7.5C ．8D ．9【答案】C【解析】该组数据从小到大排列为：5，5，6，7，8，9，且680% 4.8⨯=，故选：C.考法三 总体集中趋势的估计【例3】（2021·湖北荆州市）因受新冠疫情的影响，某企业的产品销售面临困难.为了改变现状，该企业欲借助电商和“网红”直播带货扩大销售.受网红效应的影响，产品销售取得了较好的效果.现将该企业一段时间内网上销售的日销售额统计整理后绘制成如下图所示的频率分布直方图：请根据图中所给数据，求： （1）实数a 的值；（2）该企业网上销售日销售额的众数和中位数； （3）该企业在统计时间段内网上销售日销售额的平均数. 【答案】（1）0.012；（2）55万元，57万元；（3）57.4万元. 【解析】（1）由频率分布直方图知：(0.0080.0160.0200.0180.0100.0042)101a ++++++⨯=，解得：0.012a =；（2）用频率分布直方图中最高矩形所在区间的中点值作为众数的近似值，得众数为55万元；因为第一个小矩形的面积为0.08，第二个小矩形的面积为0.12， 第三个小矩形的面积为0.16，0.080.120.160.36++=，设第四个小矩形中底边的一部分长为x ，则0.0200.50.36x ⨯=-，解得7x =， 所以中位数为50757+=万元； （3）依题意，日销售额的平均值为：250.08350.12450.16550.20650.18750.12850.10950.0457.4⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=所以该企业在统计时间段内网上销售日销售额的平均数为57.4万元. 【一隅三反】1．（2020·定边县第四中学高一期末）如图，从参加数学竞赛的学生中抽出60名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图，观察图形，回答下列问题：（Ⅰ）79.5-89.5这一组的频数、频率分别是多少？ （Ⅱ）估计这次数学竞赛的平均成绩是多少？（Ⅲ）估计这次数学竞赛的及格率（60分及以上为及格）. 【答案】（Ⅰ）15；0.25；（Ⅱ）70.5；（Ⅲ）75%. 【解析】（Ⅰ）79.589.5这一组的频率为0.025100.25⨯=，79.589.5这一组的频数为600.2515⨯=；（Ⅱ）估计这次数学竞赛的平均成绩是：44.50.154.50.1564.50.1574.50.384.50.2594.50.0570.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.故估计这次数学竞赛的平均成绩是70.5.（Ⅲ）估计这次环保知识竞赛的及格率（60分及以上为及格）()10.010.0151075%P =-+⨯=. 2．（2021·河北唐山市·开滦第一中学高一期末）某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，将其物理成绩（均为整数）分成六段[)[)[]40,50,50,60,,90,100⋯后画出如下频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）估计这次考试的众数m 与中位数n （结果保留一位小数）； （2）估计这次考试的优秀率（80分及以上为及格）和平均分． 【答案】（1）75m =，73.3n =；（2）优秀率30%，平均分71分. 【解析】（1）众数是最高小矩形中点的横坐标，所以众数为75m =（分）前三个小矩形面积为0.01100.015100.015100.4⨯+⨯+⨯=， ∵中位数要平分直方图的面积， ∴0.50.47073.30.03n -=+=.（2）依题意，80及以上的分数所在的第五、六组， 频率和为 ()0.0250.005100.3+⨯=， 所以，抽样学生成绩的合格率是30%， 利用组中值估算抽样学生的平均分：450.1550.15650.15750.3850.25950.0571⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，估计这次考试的平均分是71分.3．（2021·吉林市）某城市100户居民的月平均用水量（单位：吨），以[0,2)[2,4)[4,6)[6,8)[8,10)[10,12)[12,14)分组的频率分布直方图如图.（1）求直方图中x 的值；并估计出月平均用水量的众数. （2）求月平均用水量的中位数及平均数；（3）在月平均用水量为[6,8)，[8,10)，[10,12)，[12,14)的四组用户中，用分层抽样的方法抽取22户居民，则应在[10,12)这一组的用户中抽取多少户？（4）在第（3）问抽取的样本中，从[10,12)[12,14)这两组中再随机抽取2户，深入调查，则所抽取的两户不是来自同一个组的概率是多少？【答案】(1) x =0.075，7；(2) 6.4，5.36；(3) 2；（4）23. 【解析】(1)根据频率和为1，得2×(0.02+0.095+0.11+0.125+x +0.05+0.025)=1， 解得x =0.075；由图可知,最高矩形的数据组为[6,8)，所以众数为()16872+=； (2) [2,6)内的频率之和为(0.02+0.095+0.11)×2=0.45；设中位数为y ，则0.45+(y −6)×0.125=0.5，解得y =6.4，∴中位数为6.4；平均数为()210.0230.09550.1170.12590.075110.025 5.36⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(3)月平均用电量为[10,12)的用户在四组用户中所占的比例为0.0520.1250.0750.050.02511=+++， ∴月平均用电量在[10,12)的用户中应抽取11×211=2(户). （4）月平均用电量在[12,14)的用户中应抽取11×111=1(户)， 月平均用电量在[10,12)的用户设为A 、B , 月平均用电量在[12,14)的用户设为C ，从[10,12)，[12,14)这两组中随机抽取2户共有 ,,AB AC BC ，3种情况，其中，抽取的两户不是来自同一个组的有,,AC BC ，2种情况， 所以，抽取的两户不是来自同一个组的概率为23. 考点四 总体离散程度的估计【例4】（2021·山东威海市·高一期末）如图所示的四组数据，标准差最小的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】对A ，()12106206302402516x =⨯+⨯+⨯+⨯=，s == 对B ，()16102202306402516x =⨯+⨯+⨯+⨯=，s == 对C ，()13105205303402516x =⨯+⨯+⨯+⨯=，10s ==， 对D ，()15103203305402516x =⨯+⨯+⨯+⨯=，s == 所以标准差最小的是A.故选：A.【一隅三反】1．（2020·全国高一）已知数据12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，则123x +，223x +，…，23n x +的平均数和方差分别为（ ）A ．x 和2sB ．23x +和24sC ．23x +和2sD ．23x +和24129s s ++ 【答案】B【解析】因为数据12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，所以123x +，223x +，…，23n x +的平均数和方差分别为23x +和24s故选：B2．（2020·安徽蚌埠市·蚌埠二中高一月考）一组数据中的每一个数据都乘以3，再减去50，得到一组新数据，若求得新的数据的平均数是1.6，方差是3.6，则原来数据的平均数和方差分别是（ ）A ．17.2，3.6B ．54.8，3.6C ．17.2，0.4D ．54.8，0.4 【答案】C【解析】设一组数据为i x (1,2,3,,)i n =，平均数为x ，方差为21s ，所得一组新数据为i y (1,2,3,,)i n =，平均数为y ，方差为22s ，则350i i y x =-(1,2,3,,)i n =，12 1.6n y y y y n +++==， 所以123503503501.6n x x x n -+-++-=， 所以350 1.6x -=，所以51.617.23x ==， 由题意得22222121()()() 3.6n s y y y y y y n ⎡⎤=-+-++-=⎣⎦， 所以222121(350 1.6)(350 1.6)(350 1.6) 3.6n x x x n⎡⎤--+--++--=⎣⎦， 所以2221219(17.2)(17.2)(17.2) 3.6n x x x n ⎡⎤⨯-+-++-=⎣⎦ 所以2221219()()() 3.6n x x x x x x n⎡⎤⨯-+-++-=⎣⎦， 所以219 3.6s =，所以210.4s =.故选：C.3．（2020·唐山市第十一中学）已知样本数据由小到大依次为2，3，3，7，a ，b ，12，13．7，18．3，20，且样本的中位数为10.5，若使该样本的方差最小，则a ，b 的值分别为（ ）．A ．10，11B ．10.5，9.5C ．10.4，10.6D ．10.5，10.5 【答案】D【解析】由于样本共有10个值，且中间两个数为a ，b ，依题意，得10.52a b +=，即21b a =-． 因为平均数为23371213.718.320101()0a b +++++++++÷=，所以要使该样本的方差最小，只需()()221010a b -+-最小．又()()()()222221010102110242221a b a a a a -+-=-+--=-+， 所以当4210.522a -=-=⨯时，()()221010a b -+-最小，此时10.5b =． 故选：D4．（2021·合肥市第六中学=）为了测试小班教学的实践效果，刘老师对A 、B 两班的学生进行了阶段测试，并将所得成绩统计如图所示；记本次测试中，A 、B 两班学生的平均成绩分别为A x ，B x ，A 、B 两班学生成绩的方差分别为2A s ，2B s ，则观察茎叶图可知（ ）A ．AB x x <，22A B s s < B ．A B x x >，22A B s s <C ．A B x x <，22A B s s >D ．A B x x >，22A B s s >【答案】B【解析】根据茎叶图中数据的分布可得，A 班学生的分数多集中在[]70,80之间， B 班学生的分数集中在[]50,70 之间，所以A B x x >.相对两个班级的成绩分布来说，A 班学生的分数更加集中，B 班学生的分数更加离散，所以22A B s s <.故选：B。
第02讲 用样本估计总体 (精讲)(教师版)
，nx +）标准差与方差据1x ，nx +，标22()(n x x x x +-++-2(n x x ++-知识点三：在频率分布直方图中，众数，中位数，平均数的估计值最高的小矩形底边中点的横坐标即是众数中位数左边和右边的所有小矩形的面积和是相等的“重心”,等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标3，b ，3，b ，【答案】45 45.85379⨯=975%∴+=25m故选：B.例题4．（PM2.5的浓度（单位：知这组数据的极差为A．73 B．75 C．77 D．79,,n x 的平均数个分数分别为18,,,x x ，6，8,,x 的平均数为228361001081210++++-=x ，28624++=x 8610++++x ，即12864+++=x x x 2624888-⨯=故答案为：14.．（2022·全国55%分位数，②众数这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答问题抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数2,3,,)n ，则下列结论正确的是（2,3,,)n ，则它们的众数也满足该关系，12(21)(21)(21)nn y x x x nn++-+-++-=1nx n++- 121b =-，故B 正确；由方差的性质可得2c =C 正确；23,x x ，…，，假设其第80百分位数为1d ， 是整数时，x 21,2x x --30,,x 的平均数为10,,x 这10个数的平均数为8，方差为30,,x ___________. 【详解】由题意得12306x x x +++=2309x ++=⨯1081080x ++=⨯=，222121058690x x x =⨯+=++，所以剩余的20个数的平均数为18080520-=， 30221350690660x +=-=+，所以剩余的20个数的方差为66020258-=，故答案为：82022·全国·高一单元测试）敢于冒险奋进精神的载体，A．这组数据的极差为50 B．这组数据的众数为76(0.005+0.75800.3-+故选：CD例题2．（学生人数比例、[(1)估计总体400名学生中分数小于60的人数；分数小于60的频率为()10.020.040.02100.2-++⨯=，所以[)60,70x ∈，即()0.2600.010.25x +-⨯=，解得65x =，则本次考试的及格分数线为65分．例题3．（2022·全国·高一单元测试）中秋佳节来临之际，小李准备销售一种农特产，这段时间内，每售出1箱该特产获利50元，未售出的，每箱亏损30元.经调查，市场需求量的频率分布直方图如图所示.小李购进了160箱该特产，以x （单位：箱，100200x ≤≤）表示市场需求量，y （单位：元）表示经销该特产的利润.(1)根据频率分布直方图估计市场需求量的众数和平均数；(2)将y 表示为x 的函数；(3)根据频率分布直方图求利润不少于4800元的频率.【答案】(1)150，153(2)804800,1001608000,160200x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩(3)0.9（1）由频率分布直方图，得市场需求量的众数的估计值是150，需求量为[100，120）的频率为0.005×20=0.1，需求量为[120，140）的频率为0.01×20=0.2，需求量为[140，160）的频率为0.015×20=0.3，需求量为[160，180）的频率为0.0125×20=0.25，需求量为[180，200]的频率为0.0075×20=0.15，则市场需求量的平均数约为110×0.1+130×0.2+150×0.3+170×0.25+190×0.15=153.（2）因为每售出1箱该特产获利50元，未售出的，每箱亏损30元，所以当100160≤<x 时，5030(160)804800y x x x =-⨯-=-，当160200x ≤≤时，160508000y =⨯=，所以804800,1001608000,160200x x y x -≤<⎧=⎨≤≤⎩. （3）当100160≤<x 时，由8048004800x -≥，得120160x ≤<；当160200x ≤≤时，80004800y =>，所以当120200x ≤≤时，利润不少于4800元，所以由（1）知利润不少于4800元的频率为10.10.9-=.同类题型归类练A．此次测试众数的估计值为85(1)求频率分布直方图中a的值；(1)求本次初赛成绩的平均数；（每组数据以区间中点值为代表）(1)求出表中m，p的值；(1)分别计算甲､乙两厂提供的10个轮胎宽度的平均数；(1)请你估计该地区所有用户评分的25%，95%分位数；(1)求频率分布直方图中x的值以及样本中身高不低于175cm的学生人数；(1m ii x x =-∑同理可得21s m ∴=+1⎡、、A ．20B ．40C ．64D ．80根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ） A ．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6% B ．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10% C ．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D ．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 【答案】C【详解】因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作为总体的相应比率的估计值.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为0.020.040.066%+==,故A 正确； 该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为0.040.0230.1010%+⨯==,故B 正确； 该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为0.100.140.2020.6464%50%++⨯==>,故D 正确；该地农户家庭年收入的平均值的估计值为30.0240.0450.1060.1470.2080.2090.10100.10110.04120.02130.02140.027.68⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(万元)，超过6.5万元，故C 错误.综上，给出结论中不正确的是C. 故选：C.3．（多选）（2021·全国·高考真题）下列统计量中，能度量样本12,,,n x x x 的离散程度的是（ ）A ．样本12,,,n x x x 的标准差B ．样本12,,,n x x x 的中位数C ．样本12,,,n x x x 的极差D ．样本12,,,n x x x 的平均数【答案】AC【详解】由标准差的定义可知，标准差考查的是数据的离散程度； 由中位数的定义可知，中位数考查的是数据的集中趋势； 由极差的定义可知，极差考查的是数据的离散程度；。
5.1.4用样本估计总体(原卷版)
频数
频率
10
24
2
合计
1
(1)写出表中 、 及图中 的值（不需过程）；
(2)若该校高三年级学生有240人，试估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在区间 上的人数；
(3)估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数．（结果精确到0.01）
【变式11】4．（2023·高一课时练习）某校240名学生参加某次数学选择题测验（共10题每题1分），随机调查了20个学生的成绩如下：
A．a的值为0.005
B．估计这组数据的众数为75
C．估计这组数据的第85百分位数为86
D．估计成绩低于60分的有25人
【变式13】3．（2022·安徽·涡阳县第九中学高一期末）某县在创文明县城期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解市民的学习成果，该县从某社区随机抽取了160名市民作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分为100分，将数据收集，并整理得到频率分布直方图，如图所示：
(1)求频率分布直方图中a的值；
(2)估计该100名射击爱好者的射击平均得分（求平均值时同一组数据用该组区间的中点值作代表）；
(3)该俱乐部计划招募成绩位列前10%的滑雪爱好者组成集训队备战明年的滑雪俱乐部联盟赛，请根据图中信息，估计集训队入围成绩（记为k）．
【变式21】3.（2023下·湖南益阳·高一统考期末）某校有高一学生1000人，其中男生 600人，女生 400人，为了解该校全体高一学生的身高信息，甲与乙分别进行了调查.
成绩
1分
2分
3分
4分
5分
6分
7分
8分
9分
10分
人数
6
0
0
2
4
2
高考数学第一轮知识点总复习 第二节 用样本估计总体
平.因为公司中少数人的月工资额与大多数人的月工资额差别较大，
这样导致了平均数与中位数的偏差较大，所以平均数不能客观真实
地反映这个公司员工的工资水平.
题型四 综合问题
【例4】(12分)某种瓶装溶液，因为装瓶机的不稳定性，所以很可能每 瓶装的容量都不是标准的容量.我们随机抽出了20瓶，测得它们的容量 （单位：百毫升）如下: 12.1 11.9 12.2 12.2 12.0 12.1 12.9 12.1 12.3 12.5 11.7 12.4 12.3 11.8 11.3 12.1 11.4 11.6 11.2 12.2
1
（2）频率分布直方图如图：
（3）电子元件寿命在100 h～400 h以内的频数为130,则频率 为 13=00.65. 200
（4）寿命在400 h以上的电子元件的频数为70，则频率 为 =700.35. 200
学后反思利用样本的频率分布可近似地估计总体的分布.从本例可 以看出，要比较准确地反映出总体70 分布的情况，必须准确地作出
［140,15 0)
人数
4
8
x
5
3
生产能 力分组 人数
表2：
［110， 120）
6
［120，130） ［130,14 0)
y
36
［140,15 0)
18
(1)先确定x、y,再完成下列频率分布直方图，就生产能力而言， A类工人中个体间的差异程度与B类工人中个体间的差异程度哪 个更小？（不用计算，可通过观察直方图直接回答结论）
比；所有组距的频率之和为1;每一组距的频率是频率分布直方图中该
组距所对应的矩形的面积.
解
（1）M=0.102
=50,m=50-(1+4+20+15+8)=2n,N =m1,
用样本平均数估计总体平均数
新课导入
例1：为了解5路公共汽车的运营情况 , 公交部门统计了 某天5路公共汽车每个运行班次的载客量 , 得到下表：
载客量/人 1≤x＜21 21≤x＜41 41≤x＜61 61≤x＜81 81≤x＜101 101≤x＜121
新知探究
用计算器求加权平均数的值 使用计算器的统计功能求平均数时 , 不同品牌的计算器的操作步 骤有所不同 , 操作时需要参阅计算器的使用说明书 . 通常需要先按 动有关键 , 使计算器进入统计状态 ; 然后依次输入数据x1 , x2 , … ,
—
xk 以及它们的权f1 , f2 , …, fk ; 最后按动求平均数的功能键(例如 x 键) , 计算器便会求出平均数的值 .
灯泡只数
5
10
12
17
6
这批灯泡的平均使用寿命是多少 ?
解：根据表可以得出各小组的组中值 ,
— 5800 101200 160012 17 2000 2400 6
x=
=1672.
50
即样本平均数为1672 .
因此 , 可以估计这批灯泡的平均使用寿命是 1672h .
知识归纳
用样本的平均数来估计总体的平均数 . 当所 要考察的对象很多时 , 或者对考察对象带有 破坏性时 , 统计中常常通过样本估计总体 .
答：这个新品种黄瓜平均每株结16.25根黄瓜 .
课堂小结
平均数与加权平均数：
运用频数分布表求加权平均数时 , 统计中常 用各组的组中值代表各组的实际数据 , 把各 组的频数看作相应组中值的权 , 利用加权平 均数公式计算即可 .
必修三2.2.用样本估计总体(教案)
2.2 用样本估计总体教案 A第1课时教学内容§2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布教学目标一、知识及技能1. 通过实例体会分布的意义和作用.2. 在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图.3.通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计.二、过程及方法通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.三、情感、态度及价值观通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识及现实世界的联系.教学重点、难点重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图.难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布.教学设想一、创设情境在ＮＢＡ的2004赛季中，甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕甲运动员得分﹕12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50乙运动员得分﹕8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，29，33请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？如何根据这些数据作出正确的判断呢？这就是我们这堂课要研究、学习的主要内容——用样本的频率分布估计总体分布.二、探究新知探究1：我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费.如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？你认为，为了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作？（让学生展开讨论）为了制定一个较为合理的标准a，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况，比如月均用水量在哪个范围的居民最多，他们占全市居民的百分比情况等.因此采用抽样调查的方式，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况.分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或者用紧凑的表格改变数据的排列方式，作图可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息.表格则是通过改变数据的构成形式，第 1 页为我们提供解释数据的新方式.下面我们学习的频率分布表和频率分布图，则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律.可以让我们更清楚的看到整个样本数据的频率分布情况.（一）频率分布的概念频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.一般用频率分布直方图反映样本的频率分布.其一般步骤为：1.计算一组数据中最大值及最小值的差，即求极差；2.决定组距及组数；3.将数据分组；4.列频率分布表；5.画频率分布直方图.以教材P65制定居民用水标准问题为例，经过以上几个步骤画出频率分布直方图.（让学生自己动手作图）频率分布直方图的特征：1.从频率分布直方图可以清楚的看出数据分布的总体趋势.2.从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了.探究2：同样一组数据，如果组距不同，横轴、纵轴的单位不同，得到的图和形状也会不同.不同的形状给人以不同的印象，这种印象有时会影响我们对总体的判断，分别以0.1和1为组距重新作图，然后谈谈你对图的印象？（把学生分成两大组进行，分别作出两种组距的图，然后组织同学们对所作图的不同看法进行交流……）接下来请同学们思考下面这个问题：思考：如果当地政府希望使85%以上的居民每月的用水量不超出标准，根据频率分布表2-2和频率分布直方图2.2-1，（见教材P67）你能对制定月用水量标准提出建议吗？（让学生仔细观察表和图）（二）频率分布折线图、总体密度曲线1．频率分布折线图的定义：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.2．总体密度曲线的定义：在样本频率分布直方图中，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息.思考：1．对于任何一个总体，它的密度曲线是不是一定存在？为什么？2．对于任何一个总体，它的密度曲线是否可以被非常准确地画出来？为什么？实际上，尽管有些总体密度曲线是客观存在的，但一般很难像函数图象那样准确地画出来，我们只能用样本的频率分布对它进行估计，一般来说，样本容量越大，这种估计就越精确．（三）茎叶图１．茎叶图的概念：当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把第 3 页这样的图叫做茎叶图.（见教材P70例子）2．茎叶图的特征：（１）用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录及表示.（２）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰.三、例题精析例1 下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高（单位cm ）：（1）列出样本频率分布表；（2）画出频率分布直方图；（3）估计身高小于134ｃｍ的人数占总人数的百分比.分析：根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题.解：（１）样本频率分布表如下：（２）其频率分布直方图如下：（3）由样本频率分布表可知身高小于134cm 的男孩出现的频率为0.04＋0.07＋0.08＝0.19，所以我们估计身高小于134cm 的人数占总人数的19%.cm ）例2 为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12.（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由.分析：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高及频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1.解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小， 因此第二小组的频率为：40.0824171593=+++++， 又因为频率＝.第二小组频数样本容量所以，12150.0.08===第二小组频数样本容量第二小组频率 （2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内.四、课堂小结1. 总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布.2. 总体的分布分两种情况：当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图.五、评价设计1．P81习题2.2 A组1、2.第2课时教学内容§2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征教学目标一、知识及技能1. 正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.2. 能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释.3. 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.4. 形成对数据处理过程进行初步评价的意识.二、过程及方法在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.三、情感、态度及价值观会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辩证地理解数学知识及现实世界的联系.教学重点、难点教学重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数及标准差.教学难点：能应用相关知识解决简单的实际问题.教学设想一、创设情境在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？为了从整体上更好地把握总体的规律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究——用样本的数字特征估计总体的数字特征（板出课题）.二、探究新知（一）众数、中位数、平均数探究（1）怎样将各个样本数据汇总为一个数值，并使它成为样本数据的“中心点”？（2）能否用一个数值来描写样本数据的离散程度？（让学生回忆初中所学的一些统计知识，思考后展开讨论）初中我们曾经学过众数，中位数，平均数等各种数字特征，应当说，这些数字都能够为我们提供第 5 页关于样本数据的特征信息.例如前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t （最高的矩形的中点）（图见教材第72页）它告诉我们，该市的月均用水量为2. 25t 的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们到底多多少.提问：请大家翻回到教材第66页看看原来抽样的数据，有没有2.25 这个数值呢？根据众数的定义，2.25怎么会是众数呢？为什么？（请大家思考作答）分析：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因，而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的，所以存在一些偏差.提问：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？分析：在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数.因此，在频率分布直方图中，矩形的面积大小正好表示频率的大小，即中位数左边和右边的直方图的面积应该相等.由此可以估计出中位数的值为2.02.（图略见教材73页图2.2-6）思考：2.02这个中位数的估计值，及样本的中位数值2.0不一样，你能解释其中的原因吗？（原因同上：样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失了）图2.2-6显示，大部分居民的月均用水量在中部（2.02t 左右），但是也有少数居民的月均用水量特别高，显然，对这部分居民的用水量作出限制是非常合理的.思考：中位数不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是一个优点，但是它对极端值的不敏感有时也会成为缺点，你能举例说明吗？（让学生讨论，并举例）（二）标准差、方差１．标准差平均数为我们提供了样本数据的重要信息，可是，有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断.某地区的统计显示，该地区的中学生的平均身高为176cm ，给我们的印象是该地区的中学生生长发育好，身高较高.但是，假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话，那么，这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质.因此，只有平均数难以概括样本数据的实际状态.例如，在一次射击选拔比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.观察上述样本数据，你能判断哪个运动员发挥的更稳定些吗？如果你是教练，选哪位选手去参加正式比赛？ 我们知道，77x x ==乙甲，.两个人射击的平均成绩是一样的.那么，是否两个人就没有水平差距呢？（观察Ｐ74图2.2-7）直观上看，还是有差异的.很明显，甲的成绩比较分散，乙的成绩相对集中，因此我们从另外的角度来考察这两组数据.考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差.标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示.样本数据1,2,,n x x x 的标准差的算法：第 7 页（１） 算出样本数据的平均数x .（２） 算出每个样本数据及样本数据平均数的差：(1,2,)i x x i n -= （３） 算出（２）中(1,2,)i x x i n -=的平方.（４） 算出（３）中n 个平方数的平均数，即为样本方差.（５） 算出（４）中平均数的算术平方根，即为样本标准差.其计算公式为：显然，标准差较大，数据的离散程度较大；标准差较小，数据的离散程度较小.提问：标准差的取值范围是什么？标准差为０的样本数据有什么特点？从标准差的定义和计算公式都可以得出：s ≥0.当0s =时，意味着所有的样本数据都等于样本平均数.2．方差从数学的角度考虑，人们有时用标准差的平方2s （即方差）来代替标准差，作为测量样本数据分散程度的工具：在刻画样本数据的分散程度上，方差和标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差.三、例题精析例1 画出下列四组样本数据的直方图，说明他们的异同点.（1）５，５，５，５，５，５，５，５，５（2）４，４，４，５，５，５，６，６，６（3）３，３，４，４，５，６，６，７，７（４）２，２，２，２，５，８，８，８，８分析：先画出数据的直方图，根据样本数据算出样本数据的平均数，利用标准差的计算公式即可算出每一组数据的标准差.解：（图见教材Ｐ76）四组数据的平均数都是５.０，标准差分别为：０.００，０.８２，１.４９，２.８３.他们有相同的平均数，但他们有不同的标准差，说明数据的分散程度是不一样的.例2 甲乙两人同时生产内径为25.40mm 的一种零件.为了对两人的生产质量进行评比，从他们生产的零件中各抽出20件，量得其内径尺寸如下（单位：mm ）：甲 25.46 25.32 25.45 25.39 25.36 25.34 25.42 25.3825.42 25.39 25.43 25.39 25.40 25.44 25.40 25.4225.45 25.35 25.41 25.39乙 25.40 25.43 25.44 25.48 25.48 25.47 25.49 25.3625.34 25.49 25.33 25.43 25.43 25.32 25.47 25.3125.32 25.32 25.32 25.48从生产的零件内径的尺寸看，谁生产的质量较高？分析：比较两个人的生产质量，只要比较他们所生产的零件内径尺寸所组成的两个总体的平均数及标准差的大小即可，根据用样本估计总体的思想，我们可以通过抽样分别获得相应的样本数据，然后比较这两个样本数据的平均数、标准差，以此作为两个总体之间的差异的估计值.解：四、课堂小结1. 用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：（1）用样本平均数估计总体平均数.（2）用样本标准差估计总体标准差.样本容量越大，估计就越精确.2. 平均数对数据有“取齐”的作用，代表一组数据的平均水平.3. 标准差描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度.五、评价设计P81 习题 2.2 A组 3、4.教案 B第1课时教学内容§2.2.1 用样本的频率分布估计总体分布教学目标一、知识及技能1.通过实例体会分布的意义和作用.2.在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图.3.通过实例体会频率分布直方图、频率折线图、茎叶图的各自特征，从而恰当地选择上述方法分析样本的分布，准确地做出总体估计.二、过程及方法通过对现实生活的探究，感知应用数学知识解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.三、情感、态度及价值观通过对样本分析和总体估计的过程，感受数学对实际生活的需要，认识到数学知识源于生活并指导生活的事实，体会数学知识及现实世界的联系.教学重点、难点教学重点：会列频率分布表，画频率分布直方图、频率折线图和茎叶图.教学难点：能通过样本的频率分布估计总体的分布.教学设想一、创设情境，导入新课我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a，用水量不超过a的部分按平价收费，超出a的部分按议价收费.如果希望大部分居民的日常生活不受影响，那么标准a定为多少比较合理呢？你认为，为了较为合理地确定出这个标准，需要做哪些工作？（让学生展开讨论）为了制定一个较为合理的标准a，必须先了解全市居民日常用水量的分布情况，比如月均用水量在哪个范围的居民最多，他们占全市居民的百分比情况等.因此采用抽样调查的方式，通过分析样本数据来估计全市居民用水量的分布情况.分析数据的一种基本方法是用图将它们画出来，或者用紧凑的表格改变数据的排列方式，作图可以达到两个目的，一是从数据中提取信息，二是利用图形传递信息.表格则是通过改变数据的构成形式，为我们提供解释数据的新方式.下面我们学习的频率分布表和频率分布图，则是从各个小组数据在样本容量中所占比例大小的角度，来表示数据分布的规律.可以让我们更清楚的看到整个样本数据的频率分布情况.二、新课探知（一）频率分布的概念频率分布是指一个样本数据在各个小范围内所占比例的大小.一般用频率分布直方图反映样本的频率分布.其一般步骤为：1. 计算一组数据中最大值及最小值的差，即求极差；2. 决定组距及组数；第 9 页cm ） 3. 将数据分组；4. 列频率分布表；5. 画频率分布直方图.以教材P65制定居民用水标准问题为例，经过以上几个步骤画出频率分布直方图.（让学生自己动手作图）例1 下表给出了某校500名12岁男孩中用随机抽样得出的120人的身高（单位cm ）：（1）列出样本频率分布表；（2）一画出频率分布直方图；（3）估计身高小于134C ｍ的人数占总人数的百分比.分析：根据样本频率分布表、频率分布直方图的一般步骤解题.解：（１）样本频率分布表如下：（２）其频率分布直方图：（3134cm 的男孩出现的，所以我们估计身高小 （1趋势. （2把数据抹掉了.曲线 1．频率分布折线图连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图.2．总体密度曲线的定义：在样本频率分布直方图中，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线.它能够精确地反映了总体在各个范围内取值的百分比，它能给我们提供更加精细的信息.（见教材P69）（三）茎叶图１．茎叶图的概念：当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边部分像植物茎上长出来的叶子，因此通常把这样的图叫做茎叶图.（见教材P70例子）2．茎叶图的特征：（１）用茎叶图表示数据有两个优点：一是从统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录及表示.（２）茎叶图只便于表示两位有效数字的数据，而且茎叶图只方便记录两组的数据，两个以上的数据虽然能够记录，但是没有表示两个记录那么直观，清晰.例2某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛的得分情况如下：甲运动员得分：13，51，23，8，26，38，16，33，14，28，39；乙运动员得分：49，24，12，31，50，31，44，36，15，37，25，36，39.用茎叶图表示，你能通过该图说明哪个运动员的发挥更稳定吗？解：“茎”指的是中间的一列数，表示得分的十位数；“叶”指的是从茎的旁边生长出来的数，分别表示两人得分的个位数.画这组数据的茎叶图的步骤如下第一步，将每个数据分为“茎”（高位）和“叶”（低位）两部分；第二步，茎是中间的一列数，按从小到大的顺序排列；第三步，将各个数据的叶按大小次序写在茎右（左）侧.甲乙8 04 6 3 1 2 53 6 8 2 5 43 8 9 3 1 6 1 6 7 94 4 91 5 0从图中可以看出，乙运动员的得分基本上是对称的，页的分布是“单峰”的，有的叶集中在茎2，3，4上，中位数为36；甲运动员的得分除一个特殊得分（51分）外，也大致对称，叶的分布也是“单峰”的，有的叶主要集中在茎1，2，3上，中位数是26.由此可以看出，乙运动员的成绩更好. 另外i，从叶在茎上的分布情况看，乙运动员的得分更集中于峰值附近，这说明乙运动员的发挥更稳定.练习：在ＮＢＡ的2010赛季中，甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的原始记录如下﹕甲运动员得分﹕12，15，20，25，31，31，36，36，37，39，44，49，50乙运动员得分﹕8，13，14，16，23，26，28，38，39，51，31，29，33学生画出茎叶图（略）三、巩固练习为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数次测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（见下页图示），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12.第 11 页（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？（3）在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由.分析：在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，小长方形的高及频数成正比，各组频数之和等于样本容量，频率之和等于1.解：（1）由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为：40.08 24171593=+++++，又因为频率＝第二小组频数样本容量，所以，121500.08===第二小组频数样本容量第二小组频率.（2）由图可估计该学校高一学生的达标率约为（3）由已知可得各小组的频数依次为6，12，51，45，27，9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内.四、小结1. 总体分布指的是总体取值的频率分布规律，由于总体分布不易知道，因此我们往往用样本的频率分布去估计总体的分布.2. 总体的分布分两种情况：当总体中的个体取值很少时，用茎叶图估计总体的分布；当总体中的个体取值较多时，将样本数据恰当分组，用各组的频率分布描述总体的分布，方法是用频率分布表或频率分布直方图.五、布置作业P71练习1、2、3.第2课时教学内容§2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征教学目标一、知识及技能1. 正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差.2. 能根据实际问题的需要合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并做出合理的解释.3. 会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征.4. 形成对数据处理过程进行初步评价的意识.二、过程及方法在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法.三、情感、态度及价值观会用随机抽样的方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题，认识统计的作用，能够辩证地理解数学知识及现实世界的联系.教学重点、难点教学重点：用样本平均数和标准差估计总体的平均数及标准差.教学难点：能应用相关知识解决简单的实际问题.教学设想一、创设情境导入新课在一次射击比赛中，甲、乙两名运动员各射击10次，命中环数如下﹕甲运动员﹕7，8，6，8，6，5，8，10，7，4；乙运动员﹕9，5，7，8，7，6，8，6，7，7.请问从上面的数据中你能否看出甲，乙两名运动员哪一位发挥比较稳定？为了从整体上更好地把握总体的规律，我们要通过样本的数据对总体的数字特征进行研究——用样本的数字特征估计总体的数字特征.二、新课探究（一）众数、中位数、平均数初中我们曾经学过众数，中位数，平均数等各种数字特征，应当说，这些数字都能够为我们提供关于样本数据的特征信息.例如前面一节在调查100位居民的月均用水量的问题中，从这些样本数据的频率分布直方图可以看出，月均用水量的众数是2.25t（最高的矩形的中点）（图略见教材第72页）它告诉我们，该市的月均用水量为2. 25t的居民数比月均用水量为其他值的居民数多，但它并没有告诉我们到底多多少.提问：请大家翻回到教材第66页看看原来抽样的数据，有没有2.25 这个数值呢？根据众数的定义，2.25怎么会是众数呢？为什么？（请大家思考作答）分析：这是因为样本数据的频率分布直方图把原始的一些数据给遗失的原因，而2.25是由样本数据的频率分布直方图得来的，所以存在一些偏差.提问：那么如何从频率分布直方图中估计中位数呢？分析：在样本数据中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数.因此，第 13 页。
课件1：5.1.4 用样本估计总体
课程标准
学科素养
理解并会运用样本的数字特征估 通过对用样本估计总体的学习，强
计总体的数字特征，用样本的分布 化数据分析、数学运算、数学建模
估计总体的分布，通过实例体会其 的核心素养.
意义和作用.
【自主预习】
知识点1 用样本的数字特征估计总体的数字特征
一般情况下，如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本 的特征能够反映总体的特征．特别地，样本平均数(也称为样本均 值)、方差(也称为样本方差)与总体对应的值相差不会____太__大____.
[方法总结] 1．众数、中位数、平均数与频率分布表、频率分布直方图的关系 (1)众数：众数一般用频率分布表中频率最高的一小组的组中值来表示， 即在样本数据的频率分布直方图中，最高矩形的底边中点的横坐标．
(2)中位数：在频率分布表中，中位数是累计频率(样本数据小于某一数 值的频率叫作该数值点的累计频率)为0.5时所对应的样本数据的值，而 在样本中有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于 中位数．因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的 面积应该相等．
探究三 在频率分布直方图中求平均数、中位数、众数
【例3】某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生， 其数学成绩(均为整数)的频率分布直方图如图所示． (1)求这次测试数学成绩的众数； (2)求这次测试数学成绩的中位数； (3)求这次测试数学成绩的平均分．
解 (1)由图知众数为70＋2 80＝75.
【课堂小结】
1. 样本平均数与总体平均数的关系：①在简单随机抽样中，我们常 用样本平均数－y 去估计总体平均数－Y . ②一般地，大部分样本平均数离总体平均数不远，在总体平均数附近 波动．样本量越大，波动幅度越小． 2．众数、中位数分别是频率分布直方图中最高的小矩形的中间值、 累计频率为 0.5 时所对应的样本数据的值，平均数为每个小矩形底边 中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和．
高考(理)总复习资料：第9章 第2讲 用样本估计总体
• ①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中 位数；
• ②甲同学的平均分比乙同学高； • ③甲同学的平均分比乙同学低； • ④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方
差． • 上解析面：说甲法的中正位确数的81，是乙_的__中_位__数_8_7．.5，故①错， x 甲＝ 81•，答x 案乙＝：85③，故④②错，③对，由茎叶图知甲成绩比较稳定，
D. x 甲> x 乙，m甲<m乙
• [审题视点] 仔细观察茎叶图．中位数为一列
数中最中间的那个，当数有偶数个时，中位
数[解为析]中甲间数两据个集中数于的前平半段均，数而．乙数es据集中于后半段，
所以
x
甲<
x
乙；m甲＝
18＋22 2
＝20，m乙＝
27＋31 2
＝29，所以m甲
<m乙，所以选B.
• [答案] B
• [答案] C
32
1．平均数和方差都是重要的数字特征，是对总体一种简 明的阐述．平均数、中位数、众数描述总体的集中趋势，方 差和标准差描述波动大小．
2. 平均数、方差公式的推广 若数据x1，x2，…，xn的平均数为 x ，方差为s2，则数据 mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为m x ＋a，方差为 m2s2.
33
• [变式探究] [2013·西安质检]某校甲、乙两 个班级各有5名编号为1,2,3,4,5的学生进行投 篮练习，每人投10次，投中的次数如下表：
学生 1号 2号 3号 4号 5号
甲班 6
7
7
8
7
乙班 6
7
6
7
9
34
则以上两组数据的方差中较小的一个为s2，则s2＝( )
用样本的频率分布估计总体教案
用样本的频率分布估计总体教案一、教学目标1. 理解频率分布的概念，掌握频率分布表的绘制方法。
2. 学会用样本数据估计总体分布，了解样本容量对估计结果的影响。
3. 能够运用频率分布估计总体，解决实际问题。
二、教学内容1. 频率分布的定义及意义2. 频率分布表的绘制方法3. 用样本频率分布估计总体分布4. 样本容量对估计结果的影响5. 实际问题中的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：频率分布的概念、频率分布表的绘制方法、用样本频率分布估计总体分布。
2. 教学难点：样本容量对估计结果的影响。
四、教学方法1. 讲授法：讲解频率分布的概念、频率分布表的绘制方法以及用样本频率分布估计总体分布的方法。
2. 案例分析法：分析实际问题，引导学生运用频率分布估计总体。
3. 讨论法：分组讨论，探讨样本容量对估计结果的影响。
五、教学过程1. 导入：通过一个具体例子，引入频率分布的概念。
2. 讲解：讲解频率分布的定义、意义以及频率分布表的绘制方法。
3. 案例分析：分析实际问题，引导学生用样本频率分布估计总体分布。
4. 讨论：分组讨论，探讨样本容量对估计结果的影响。
5. 总结：总结本节课的主要内容，强调频率分布在实际问题中的应用。
6. 作业布置：布置相关练习题，巩固所学知识。
六、教学评价1. 课堂参与度：观察学生在课堂上的发言和提问情况，评估学生的参与度。
2. 练习题：通过课后作业和课堂练习，评估学生对频率分布的理解和应用能力。
3. 小组讨论：评估学生在讨论中的表现，了解学生对样本容量对估计结果影响的理解。
七、教学资源1. 教材：提供相关章节，供学生自学。
2. 实际案例：收集相关实际问题，用于课堂分析和讨论。
3. 练习题：准备相关练习题，巩固学生对知识点的掌握。
八、教学进度安排1. 第一课时：讲解频率分布的概念和意义，教授频率分布表的绘制方法。
2. 第二课时：用样本频率分布估计总体分布，探讨样本容量对估计结果的影响。
3. 第三课时：分析实际问题，运用频率分布估计总体。
《用样本估计总体》 讲义
《用样本估计总体》讲义在我们的日常生活和各种研究领域中，常常会遇到需要了解某个总体情况的情况，但由于总体规模过大、难以全面测量或成本过高，这时就需要通过抽取样本并用样本的特征来估计总体的特征。
这就是我们所说的“用样本估计总体”。
一、为什么要用样本估计总体想象一下，要了解一个城市所有居民的收入水平，直接去调查每一个人几乎是不可能的任务。
但如果我们从这个城市中随机抽取一部分居民进行调查，通过对这部分样本的分析，就能够对整个城市居民的收入情况有一个大致的了解。
用样本估计总体的好处主要有以下几点：1、降低成本：全面调查总体往往需要耗费大量的时间、人力和物力，而抽取样本进行调查则可以大大降低这些成本。
2、提高效率：样本调查可以在较短的时间内完成，更快地获得结果。
3、具有可行性：对于一些大规模、无限的总体，如全国消费者的喜好，全面调查是不现实的，样本估计则成为唯一可行的方法。
二、样本与总体的关系样本是从总体中抽取的一部分个体或观察值，而总体则是我们所关心的所有个体或观察值的集合。
样本应该具有代表性，能够反映总体的特征。
为了确保样本的代表性，抽样的方法就显得至关重要。
常见的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样和系统抽样等。
简单随机抽样是最基本的抽样方法，每个个体被抽取的概率相等。
例如，从一个装有编号为 1 到 100 的球的箱子中，随机抽取 10 个球，每个球被抽到的机会相同。
分层抽样则是将总体按照某些特征分成不同的层次，然后从每个层次中独立地进行抽样。
比如要调查一个学校学生的学习情况，可以按照年级分层抽样。
系统抽样是按照一定的规则抽取样本，比如从 1000 个学生中抽取50 个，可以先将学生编号，然后每隔 20 个抽取一个。
三、样本的特征样本具有一些可以描述和测量的特征，如均值、方差、标准差、中位数、众数等。
均值就是样本中所有数据的平均值，它反映了样本数据的集中趋势。
例如，一个班级学生的考试成绩样本为 80、85、90、95、100，其均值就是（80 ＋ 85 ＋ 90 ＋ 95 ＋ 100) ／ 5 ＝ 90 分。
23.4 用样本估计总体课件(共19张PPT)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
质量/千克
14
21
27
17
18
20
19
23
19
22
根据调查，市场上今年樱桃的批发价格为15元/千克，用所学的统计知识估计今年此果园樱桃按批发价格销售所得的总收入为 元.
30 000
王强几年前承包了甲、乙两座荒山，各载500棵杨梅树，成活率为98%，现已挂果，经济效益初步显现.为了分析收成情况，他分别从两山上随机采摘了4棵树上的杨梅，每棵树的产量如折线统计图所示.（1）分别计算甲、乙两山样本的平均数，并用样本平均数估计甲、乙两山杨梅的产量总和；（2）试通过计算说明，哪座山上的杨梅产量较稳定.
C
２．有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10穴的分孽数后，计算出样本方差分别为S2甲＝11，S2乙=3.4，由此可以估计（ ）A.甲比乙种水稻分蘖整齐 B.乙种水稻分蘖比甲种水稻整齐C.分蘖整齐程度相同 D.甲、乙两种水稻分孽整齐程度不能比
B
3.李大伯承包了一个果园，种植了100棵樱桃树，今年已进入收获期.收获时，从中任选并采摘了10棵树的樱桃，分别称得每棵树所产樱桃的质量如下表：
例1
例题解读
知识点2 用样本方差估计总体方差
例2
一个苹果园，共有2 000棵树龄相同的苹果树.为了估计今年苹果的总产量，任意选择了6棵苹果树，数出它们挂果的数量（单位：个）分别为： 260，340，280，420，360，380根据往年的经验，平均每个苹果的质量约为250 g.试估计今年苹果园苹果的总产量.
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初中数学 教学设计：用样本估计总体
用样本估计总体一、教学目标：通过实例，使学生体会用样本估计总体的思想，能够根据统计结果作出合理的判断和推测，能与同学进行交流，用清晰的语言表达自己的观点。
二、教学重点、难点：重点：根据有关问题查找资料或调查，用随机抽样的方法选取样本，能用样本的平均数和方差，从而对总体有个体有个合理的估计和推测。
难点：用样本的平均数和方差,从而对总体有个体有个合理的估计和推测。
三、教学过程：1、观察与思考为了估计全校初中女生的平均身高，九年级（一）班8个课外学习小组采取随机抽样的方法，分别抽取容量为25和100的样本，样本平均数用⎺x25和⎺x100表示，结果如下表：把得到的样本平均数表在数轴上（1）对容量相同的不同样本，算的样本平均数相同吗？（2）在两组样本平均数中，哪一组样本平均数的波动较小？这体现了什么样的统计规律？（3）如果总体身高的平均数为160cm ，哪一组样本平均数整体上更接近160cm.四、例题讲解例1：用某台车床加工一种轴承，规定轴承的平均直径为20cm ，方差不超过。
从某天加工的轴承中随机抽取了10件，测得其直径（mm ）如下：20（1）计算样本的平均数和样本的方差（2）用样本的平均数和方差估计总体的平均数和方差（3）规定当方差不超过时。
车床生产情况正常，推断这台车床的生产情况是否正常。
解：（1）样本平均数为·9.191.20101++⨯=（x ···+）=20（min ）. 样本方差为S 2=101×[（）2+···+（）2]=（min ） （2）总体平均数和总体方差的估计值分别为20mm 和.（3）由于方差不超过，所以可以认为车床的生产情况正常。
例2：一个的苹果园，共有2000棵树龄相同的苹果树，为了估计今年苹果的总产量，任意选择了6棵苹果树，数出它们挂果的个数分别为：260 340 280 420 360 380根据往年的经验，平均每个苹果的质量约为250g 。
第五章《用样本推断总体》复习讲义(解析版)
第五章 用样本推断总体（考点讲义）1.样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量。
2.在用样本特性估计总体特性时，要注意一是样本要有代表性，二是样本容量要足够大。
3.求平均数的公式：123nx x x x x n++++=L【类型一】利用样本平均数估算总体数量【例1】为了创设全新的校园文化氛围，进一步组织学生开展课外阅读，让学生在丰富多彩的书海中，扩大知识源，亲近母语，提高文学素养．某校准备开展“与经典为友、与名著为伴”的阅读活动，活动前对本校学生进行了“你最喜欢的图书类型（只写一项）”的随机抽样调查，相关数据统计如下：请根据以上信息解答下列问题：(1)该校对_____名学生进行了抽样调查,m = _____n =_____(2)请将图1和图2补充完整，并求出扇形统计图中小说所对应的圆心角度数；(3)已知该校共有学生800人，利用样本数据估计全校学生中最喜欢科幻人数约为多少人？【解析】（1）用其它初一它的百分比即可；（2）用360∘乘以所占得百分比；（3）用样本估计总体．解：(1)20÷10%=200（名）．由图1，得n=40，m=100-20-10-40=30答：该校对200名学生进行了抽样调查；m=30,n=40(2)如图：小说对应的圆心角度数为360∘×20%=72∘；(3)800×30%=240．答：全校学生中最喜欢小说的人数约为240名．【对应训练1】为了估计湖里有多少条鱼，小刚先从湖里捞出了100条鱼做上标记，然后放回湖里去．经过一段时间，带有标记的鱼完全混合于鱼群后，小刚又从湖里捞出200条鱼，如果其中15条有标记，那么估计湖里有鱼()A.1333条B.3000条C.300条D.1500条【答案】A【解析】在样本中“捕捞200条鱼，发现其中15条有标记”，即可求得有标记的所占比例，而这一比例也适用于整体，据此即可解答．【对应训练2】我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”．粮仓开仓收粮，有人送来谷米1608石，验得其中夹有谷粒．现从中抽取谷米一把，共数得256粒，其中夹有谷粒32粒，则这批谷米内夹有谷粒约是________石．【答案】201【解析】根据256粒内夹谷32粒，可得比例，再乘以1608石，即可得出答案．【解答】解：根据题意，得1608×32=201（石），256∴这批谷米内夹有谷粒约201石.【对应训练3】某山区中学280名学生参加植树节活动，要求每人植3至6棵，活动结束后随机抽查了若干名学生每人的植树量，并分为四种类型，A:3棵；B:4棵；C:5棵；D:6棵，将各类的人数绘制成扇形图（如图1）和条形图（如图2）．回答下列问题：（1）这次调查一共抽查了________名学生的植树量；请将条形图补充完整；（2）被调查学生每人植树量的众数是________棵、中位数是________棵；（3）求被调查学生每人植树量的平均数，并估计这280名学生共植树多少棵？【解析】（1）由B类型的人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘以D类型的对应的百分比即可求出其人数，据此可补全图形；（2）根据众数和中位数的概念可得答案；（3）先求出样本的平均数，再乘以总人数即可．【解答】（1）这次调查一共抽查植树的学生人数为8÷40%=20（人），D类人数=20×10%=2（人）；条形图补充如图：（2）植树4棵的人数最多，则众数是4，共有20人植树，其中位数是第10、11人植树数量的平均数，则中位数是4，（3）x=4×48×562×7=5.3（棵），205.3×280=148（棵）．答：估计这3280名学生共植树1484棵．【类型二】用样本估计总体【例2】为了提高学生的综合素养，某校开设了五门第二课堂活动课，按照类别分为：A“剪纸”、B“绘画”、C“雕刻”、D“泥塑”、E“插花”．为了了解学生对每种活动课的喜爱情况，随机抽取了部分同学进行调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据信息，回答下列问题：(1)本次调查的样本容量为________，统计图中的a=________，b=________；(2)通过计算补全条形统计图；(3)该校共有3000名学生，请你估计全校喜爱“雕刻”的学生人数.解：(1)样本容量为1815％=120，a=120×10％=12，b=120×30％=36.故答案为：120；12；36.(2)组频数：120―18―12―30―36=24（人），补全条形统计图如图所示：(3)3000×30120=750（人），答：该校喜爱“雕刻”约有750人.【跟踪训练1】在一个不透明的盒子中装有20个黄、白两种颜色的乒乓球，除颜色外其它都相同，小明进行了多次摸球试验，发现摸到白色乒乓球的频率稳定在0.2左右，由此可知盒子中黄色乒乓球约有…（）A.2个B.4个C.18个D.16个【答案】D【跟踪训练2】质检部门从1000件电子元件中随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品．试据此估计这批电子元件中大约有________件次品．【答案】20【解析】根据随机抽取100件进行检测，其中有2件是次品，可以计算出这批电子元件中大约有多少件次品．【跟踪训练3】书籍是人类进步的阶梯．为了解学生的课外阅读情况，某校随机抽查了部分学生本学期阅读课外书的册数，并绘制出如下统计图．(1)共抽查了多少名学生？(2)请补全条形统计图，并写出被抽查学生本学期阅读课外书册数的众数、中位数；(3)根据抽查结果，请估计该校1200名学生中本学期课外阅读5册书的学生人数．解：(1)12÷30%=40（名）．(2)如图所示，由图知，众数为5，中位数为5．(3)∵抽查的样本中，课外阅读5册书的学生人数占14×100%=35%，40∴估计该校学生课外阅读5册书的学生人数约占35%，∴该校1200名学生中课外阅读5册书的学生人数约为1200×35%=420（人）．【类型三】用样本频率估计总体频率【例3】中长跑（男生1000m，女生800m）是河南省某市中招体育考试的必考项目．甲、乙两校为了解本校九年级学生的训练情况，各随机抽取了20名九年级学生的中长跑模拟测试成绩(满分：30分)，将成绩进行统计、整理与分析，过程如下：【收集数据】【整理数据】整理以上数据，得到模拟测试成绩x（分）的频数分布表．【分析数据】根据以上数据，得到以下统计量．根据以上信息，回答下列问题：(1)填空：a= ________，b=_________, m=________, n=________；(2)综合上表中的统计量，推断________校学生中长跑成绩更好，理由为________（写出一条即可）(3)若甲、乙两校各有800名学生，请估计两校中长跑模拟测试成绩不低于25分的学生一共有多少名？解：(1)由数据可得，a=7，b=8，m=24.75，n=23.4. 故答案为：7；8；24.75；23.4.(2)甲校学生成绩的平均数比乙校学生成绩的平均数高，且甲校学生成绩的方差比乙校学生成绩的方差小，成绩较稳定．（答案不唯一，合理即可）故答案为：甲.=720（名）,(3)(800+800)×1082020答：估计两校中长跑模拟测试成绩不低于25分的学生一共有720名．【跟踪训练】今年是建党100周年，为了让全校学生牢固树立爱国爱党的崇高信念，某校开展了形式多样的党史学习教育活动，八、九年级（各有500名学生）举行了一次党史知识竞答（满分为100分），然后随机各抽取20名同学的成绩进行了收集、统计与分析，过程如下：【收集数据】两个年级抽取的20名同学的成绩如下表：八年级：7968878985598997898998938586899077898379九年级：8688979194625194877194789255979294948598【整理数据】将两个年级的抽样成绩进行分组整理：成绩x（分）50≤x<6060≤x<7070≤x<8080≤x<9090≤x<100八年级113114九年级2a b411【分析数据】抽样的平均数、众数、中位数、方差和优秀率（90分及以上为优秀）如下表：年级统计量平均数众数中位数方差优秀率八年级8589c80.420%九年级859491.5192d请根据以下信息，回答下列问题：(1)填空：a=________，b= ________，c=________，d=________；(2)请估计此次知识竞答中，八年级成绩优秀的学生人数；(3)小李同学认为九年级的整体成绩更好，请从至少两个方面分析其合理性．解：(1)由表中数据可知，九年级落在60≤x<70内的只有62，故a=1；九年级落在70≤x<80内的有71，78，故b=2；八年级成绩按照从小到大的顺序排列后，落在第10，11的数为87，89，∴中位数为88，故c=88；九年级90分及以上的学生有11人，∴九年级的优秀率为1120×100%=55%.故答案为：1；2；88；55%.(2)∵500×20%=100，∴估计此次知识竞答中，八年级成绩优秀的学生人数为100人.(3)九年级抽样成绩的众数，中位数和优秀率均高于八年级，说明九年级平均成绩更高，高分更多，因此九年级整体成绩更好．【类型四】用样本推断总体的实际应用【例4】某运动鞋经销商随机调查某校40名女生的运动鞋号码，结果如下表：鞋的号码35.53636.53737.5人数4616122现在该经销商要进200双上述五种运动鞋，你认为应该怎样进货比较合理？解析：先求出各鞋码所占比例，再乘200，即可得到所需进货数.解：由表中数据可知各鞋码的女生的比例，根据比例进货.需要进35.5码运动鞋：200×440＝20（双），需要进36码运动鞋：200×640＝30（双）需要进36.5码运动鞋：200×1640＝80（双），需要进37码运动鞋：200×1240＝60（双）需要进37.5码运动鞋：200×240＝10（双）。
初中数学用样本估计总体优秀教案
初中数学用样本估计总体优秀教案（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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用样本推断总体知识讲解
宁远二中用样本推断总体——知识讲解【学习目标】1.学会用样本平均数、样本方差去估计总体平均数、总体方差.2.了解用样本估计总体的过程.3.能用样本的某种“率”估计总体相应的“率”，用样本的频数、频率分布估计总体的频数、频率分布.4.能通过样本来预测总体在未来一段时间内的发展水平或发展趋势.【要点梳理】要点一、总体平均数与方差的估计从总体中抽取样本，然后通过对样本的分析，去推断总体的情况，这是统计的基本思想.用样本平均数、样本方差分别去估计总体平均数、总体方差就是这一思想的一个体现.实践和理论都证明：对于简单随机样本，在大多数情况下，当样本容量足够大时，这种思想是合理的.由于简单随机样本客观地反映了实际情况，能够代表总体，因此我们可以用简单随机样本的平均数与方差去估计总体的平均数与方差.要点二、统计的简单应用在实践中，我们常常通过简单随机抽样，用样本的“率”去估计总体相应的“率”，例如：收视率、合格率、达标率等等.通过科学调查，在取得真是可靠的数据后，我们可以运用正确的统计方法来推断总体，除此之外，还可以利用已有的统计数据对事物在未来一段时间内的发展趋势做出判断和预测，为正确的决策提供服务.要点诠释：样本是总体的一部分，一个总体中可以有许多样本，为了使样本能较好地反映总体情况，在选取样本时要注意使其具有一定的代表性和广泛性．要点三、利用样本推断总体利用样本推断总体的过程如下：【典型例题】类型一、总体平均数与方差的估计1.水资源越来越缺乏，全球提倡节约用水，水厂为了了解某小区居民的用水情况，随机抽查了该小区10户家庭的月用水量，有关数据如下表：月用水量（m3）10 13 14 17 18户数 2 2 3 2 1如果该小区有500户家庭，根据上面的统计结果，估计该小区居民每月需要用水多少立方米？（写出解答过程）．。
用样本估计总体
组数
总体密度曲线
各个范围内取值的百分比
总体在
用样本的数字特征估计总体的数字特征 众数、中位数、平均数 众数：在一组数据中，出现次数 的数据叫做 这组数据的众数. 中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在 位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数） 叫做这组数据的 . 平均数：样本数据的算术平均数.即 = .
题型三
思维启迪
解析
探究提高
用样本的数字特征估计总体的数字特征
题型分类·深度剖析
题型三
思维启迪
解析
探究提高
用样本的数字特征估计总体的数字特征
题型分类·深度剖析
D
思想方法·感悟提高
方 法 与 技 巧
思想方法·感悟提高 失 误 与 防 范
A组 专项基础训练
2
3
4
5
6
7
8
9
1
练出高分
解 析
最多
最中
间
中位数
（2）样本方差、标准差 标准差s= 其中xn是 ，n是 ， 是 . 是反映总体波动大小的特征数，样本方差是 标准差的 .通常用样本方差估计总体方差，当 时,样本方差很接近总体方差.
2
3
4
5
6
7
8
9
1
练出高分
解 析
A组 专项基础训练
2
3
4
5
6
7
8
9
1
练出高分
解 析
A组 专项基础训练
2
3
4
5
6
7
8
9
1
练出高分
解 析
1,1,3,3
A组 专项基础训练
28_2 用样本估计总体(重点练)解析版
28.2用样本估计总体（重点练）一、单选题1．（2019·重庆市育才中学九年级期中）为了调查红旗小学六年级学生的兴趣爱好，以下样本最具代表性的是（）A．该年级书法社团的学生B．该年级部分女学生C．该年级跑步较快的学生D．从每个班级中，抽取学号为10的整数倍的学生【答案】D【分析】抽样调查中具有代表性是指具有随机性、大众性.【详解】A.书法社团的学生的兴趣爱好大多数是书法，不具代表性，故错误；B.部分女生没有考虑到男生的兴趣爱好，故错误；C.跑步较快的学生兴趣爱好偏向与运动，故错误；D.抽取学号为10的整数倍，具有随机性，故正确.【点睛】此题主要考察抽样调查样本的代表性.2．（2019·湖南望城·九年级期末）为了解我县七年级6000名学生期中数学考试情况，从中抽取了500名学生的数学成绩进行统计．下列判断：①这种调查方式是抽样调查；②6000名学生是总体；③每名学生的数学成绩是个体；④500名学生是总体的一个样本；⑤500名学生是样本容量．其中正确的判断有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．【详解】这种调查方式是抽样调查；故①正确；总体是我市七年级6000名学生期中数学考试情况；故②错误；个体是每名学生的数学成绩；故③正确；样本是所抽取的500名学生的数学成绩，故④错误；样本容量是500，故⑤错误．故选B【点睛】本题考查了总体、个体与样本．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小，样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位，难度适中．3．（2020·山东烟台·二模）为了了解2018年北京市乘坐地铁的每个人的月均花费情况，相关部门随机调查了1000人乘坐地铁的月均花费(单位：元)，绘制了如下频数分布直方图.根据图中信息，下面3个推断中，合理的是______.①小明乘坐地铁的月均花费是75元，那么在所调查的1000人中至少有一半的人月均花费超过小明；②估计平均每人乘坐地铁的月均花费的范围是60～120元；③如果规定消费达到一定数额可以享受折扣优惠，并且享受折扣优惠的人数控制在20%左右，那么乘坐地铁的月均花费达到120元的人可享受折扣.A．①②B．①③C．②③D．①②③【答案】D【分析】①根据图中信息可得月均花费超过80元的有500人，故①正确；②根据图中信息，可得大多数人乘坐地铁的月均花费在60-120之间，据此可得平均每人乘坐地铁的月均花费的范围；③该市1000人中，20%左右的人有200人，根据图形可得乘坐地铁的月均花费达到120元的人有200人可以享受折扣．【详解】解：①月均花费超过80元的有200+100+80+50+25+25+15+5=500人，小明乘坐地铁的月均花费是75元，∴所调查的1000人中至少有一半以上的人月均花费超过小明；故①正确；②根据图中信息，可得大多数人乘坐地铁的月均花费在60-120之间，估计平均每人乘坐地铁的月均花费的范围是60-120；故②正确；③∵1000×20%=200，而80+50+25+25+15+5=00，∴乘坐地铁的月均花费达到120元的人可享受折扣,③正确；故选D．【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，抽样调查以及用样本估计总体等内容，准确识图并合理分析是解题的关键.二、填空题4．（2021·全国·九年级单元测试）为估计某天鹅湖中天鹅的数量，先捕捉10只，全部做上记号后放飞．过了一段时间后，重新捕捉40只，其中带有标记的天鹅有2只．据此可估算出该地区大约有天鹅________只．【答案】200【分析】重新捕捉40只，数一数带有标记的天鹅有2只，说明在样本中，有标记的所占比例为240，而在总体中，有标记的共有10只，估计所占比例，即可解答．【详解】10240÷=200（只）．故答案为200．【点睛】本题考查了通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．5．（2019·全国·九年级单元测试）小新家今年4月份头6天用米量如表：估计小新家4月份用米量为________kg．【分析】先计算出这6天一共用米的量,再算出平均每天用米的量,从而计算出小新家4月份用米的总量.【详解】解根据题意得:(0.6+0.8⨯2+0.9⨯2+1.0)÷6=56 (kg),则小新家4月份用米量为: 56⨯30=25(kg);故答案为:25.;【点睛】本题考查的是通过样本去估计总体,总体平均数约等于样本平均数. 6．（2020·北京·九年级专题练习）小明调查了他所在年级三个班学生的身高，并进行了统计，列出如下频数分布表：155cm”可能性最大.【答案】1班【分析】先计算出三个班中身高不低于155cm 的人数占总人数的比例，分别进行比较大小即可．【详解】解：1班中身高不低于155cm 的人数占总人数的比例为3940；2班中身高不低于155cm 的人数占总人数的比例为3040；3班中身高不低于155cm 的人数占总人数的比例为3540；通过比较大小可得，抽到1班的身高不低于155cm 可能性最大.故答案为1班. 【点睛】本题考查的可能性的大小．准确计算概率是解题的关键.7．（2020·广东·东莞市长安雅正学校九年级月考）田大伯从鱼塘捞出200条鱼做上标记再放入池塘，经过一段时间后又捞出300条，发现有标记的鱼有20条，田大伯的鱼塘里鱼的条数约是_____________． 【答案】3000【分析】设鱼塘中估计有鱼条，第一次捞出200条，并将每条鱼做上记号再放入水中，当做了记号完全混于鱼群中，又捞出300条，发现带有记号的鱼有20条，由此根据样本估计总体的思想可以列出方程300:20:200x ，解方程即可求解． 【详解】解：∵20÷300=115∴200÷115=3000.故答案为：3000【点睛】本题考查的是概率问题，利用样本估计总体的思想，理解题意找到相等关系是解题关键． 三、解答题8．（2021·全国·九年级课时练习）为了顾及鱼塘中的鱼数，养鱼者首先从鱼塘中打捞n 条鱼，在每一条鱼身上做好记号后把这些鱼放归鱼塘，再从鱼塘中打捞a 条鱼，如果在这a 条中有b 条鱼是有记号的，那么估计鱼塘中鱼的条数为anb，你认为这种估计方法有道理吗？为什么？ 【答案】有道理，理由见解析．【分析】首先求出有记号的b 条鱼在a 条鱼中所占的比例，然后根据用样本中有记号的鱼所占的比例等于鱼塘中有记号的鱼所占的比例，即可求得鱼的总条数．【详解】解：∵打捞a 条鱼，发现其中带标记的鱼有b 条，∴有标记的鱼占b a． ∵共有n 条鱼做上标记，∴鱼塘中估计有n ÷b a=nab（条），∴这种说法有道理． 【点睛】本题考查了用样本估计总体，关键是求出带标记的鱼占的百分比，运用了样本估计总体的思想．9．（2021·河南省淮滨县第一中学九年级期末）一个口袋中有9个红球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明采用如下的方法估算其中白球的个数：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色…，小明重复上述过程共摸了100次，其中40次摸到白球，请回答：(1)口袋中的白球约有多少个？(2)有一个游乐场，要按照上述红球、白球的比例配置彩球池，若彩球池里共有1200个球，则需准备多少个红球？【答案】（1）小明可估计口袋中的白球的个数是6个．（2）需准备720个红球．试题分析：（1）用白球的个数:（白球的个数+红球的个数）=40:100，列方程求解；（2）用彩球的总数乘以10040100，即可得到红球的个数.试题解析：（1）解：设白球的个数为x个，根据题意得：解得：x=6小明可估计口袋中的白球的个数是6个．（2）1200×=720．答：需准备720个红球．点睛：本题主要考查了用样本估计总体，其本质是利用概率相等来解决问题，如口袋中有9个红球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，随机摸出一个，摸出白球的概率与重复100次摸到40次白球的概率相同，从而列方程求解.10．（2018·安徽·宣城市第六中学九年级月考）中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对七年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了不完整的图表，如下所示：（1）统计表中的a＝________，b＝___________，c＝____________；（2）请将频数分布表直方图补充完整；（3）求所有被调查学生课外阅读的平均本数；（4）若该校七年级共有1200名学生，请你分析该校七年级学生课外阅读7本及以上的人数．【答案】（1）a＝10，b＝0.28，c＝50；（2）补图见解析；（3）6.4本；（4）528人.【分析】（1）首先求出总人数，再根据频率，总数，频数的关系即可解决问题；（2）根据a的值画出条形图即可；（3）根据平均数的定义计算即可；（4）用样本估计总体的思想解决问题即可；【详解】（1）由题意c=180.36=50，a=50×0.2=10,b=1450=0.28，c=50；故答案为a＝10，b＝0.28，c＝50；（2）将频数分布表直方图补充完整，如图所示：（3）所有被调查学生课外阅读的平均本数为：(5×10＋6×18＋7×14＋8×8)÷50＝320÷50＝6.4(本)．（4）该校七年级学生课外阅读7本及以上的人数为：(0.28＋0.16)×1200＝528(人)．11．（2019·全国·九年级单元测试）小颖同学学完统计知识后，随机调查了她所在辖区若干名居民的年龄，将调查数据绘制成如下扇形和条形统计图：请根据以上不完整的统计图提供的信息，解答下列问题：（1）小颖同学共调查了多少名居民的年龄，扇形统计图中a，b各等于多少？（2）补全条形统计图；（3）若该辖区年龄在0～14岁的居民约有1500人，请估计年龄在15～59岁的居民的人数．【答案】（1）300，a=20%，b=12%；（2）答案见解析；（3）5100．【分析】（1）根据15——40岁的居民所占百分比求出总人数,再得各段的百分比,从而求出a,b 的值,（2）见下图,（3）根据年龄在0～14岁的居民所占比重求出总人数,乘以年龄在15～59岁的居民的占比即可.【详解】解：（1）根据题意得：144÷48%=300（名），a=60÷300×100%=20%，b=36÷300×100%=12%，（2）41～59岁的居民有300×20%=60（人），补图如下：（3）根据题意得：总人数：1500÷20%=7500（人），7500×（20%+48%）=5100（人）．【点睛】本题考查了统计图的实际应用,用样本估计总体,中等难度,从统计图中得到有用信息是解题关键.12．（2019·山西·九年级专题练习）晋剧（山西梆子）是我国北方的一个重要戏剧剧种，也叫中路戏，是国家级非物质文化遗产.某校在传统文化活动周期间拟向同学们推介晋剧，并就“你想要听哪部晋剧曲目”调查了部分学生，选择曲目有：A.《打金枝》，B.《战宛城》，C.《杀宫》，D.《火焰驹》，E，《双锁山》，每个学生只能选择一部，根据统计结果绘制了如下不完整的统计图.请根据以上信息，解答下列问题：（1）请补全条形统计图；（2）在扇形统计图中，扇形A的圆心角是多少度？（3）若该校共有2000名学生，请你估计想听《战宛城》的学生有多少人？（4）要从这些被调查的学生中随机抽取一人进行访谈，那么正好抽到想听《火焰驹》的学生的概率是多少？【答案】（1）补图见解析；（2）54°；（3）500人；（4）15【分析】(1)根据E 的特征,结合两种统计图求出总人数,进而求出B,D 组对应的人数即可; (2)先求出A 组所占的百分比,再乘以360°即可; (3)用2000乘以B 组所占百分比即可; (4)根据概率=D 组人数÷总人数即可解题. 【详解】解：（1）补全条形统计图如解图；调查学生的总人数为2430%80÷=（人），选择B 的人数为8025%20⨯=（人），选择D 的人数为80122082416----=（人），据此补全条形统计图. （2）选择A 的人数所占百分比为12100%15%80⨯=， ∴扇形A 所对应扇形的圆心角度数为3601554%︒︒⨯=.（3）200025%500⨯=（人），∴估计想听《战宛城》的学生有500人；（4）共有80人，其中想听《火焰驹》的有16人，P ∴（正好抽到想听《火焰驹》的学生）161805==, ∴随机抽取一人正好抽到想听《火焰驹》的学生的概率是15【点睛】本题考查了统计与概率,用样本信息估计总体信息,属于简单题,找到两种统计图之间的信息关联是解题关键,主要失分原因是: ①找不到扇形统计图和条形统计图中的对应关系；②补全条形统计时作图不规范；③在计算概率时发生错误.13．（2020·江苏吴江·一模）苏州市某初中学校对本校初中学生完成家庭作业的时间做了总量控制，规定每天完成家庭作业时间不超过1.5小时．该校数学课外兴趣小组对本校初中学生回家完成作业的时间做了一次随机抽样调查，并绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分．（1）a＝，b＝；（2）补全频数分布直方图；（3）请估计该校1500名初中学生中，约有多少学生在1.5小时以内完成家庭作业．【答案】（1）12；0.2；（2）见解析；（3）975人【分析】（1）首先求得总人数，然后根据频率的定义求得a和b的值；（2）根据（1）即可直接补全直方图；（3）利用总人数乘以对应的频率即可求解.【详解】解：（1）调查的总人数是：4÷0.1＝40（人），则a＝40×0.3＝12（人），b＝8÷40＝0.2，故答案是：12，0.2；（2）根据（1）求出的频数，补全统计图如下：（3）根据题意得：1500×（0.1+0.3+0.25）＝975（人），答：该校1500名初中学生中，约有975名学生在1.5小时以内完成家庭作业.【点睛】此题考查了统计表及频数分布直方图，读懂统计图表.，会计算部分的数量，根据部分的百分比求总体的数量，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键. 14．（2021·山东巨野·一模）2012年6月5日是“世界环境日”，南宁市某校举行了“绿色家园”演讲比赛，赛后整理参赛同学的成绩，制作成直方图（如图）．（1）分数段在-----范围的人数最多；（2）全校共有多少人参加比赛？（3）学校决定选派本次比赛成绩最好的3人参加南宁市中学生环保演讲决赛，并为参赛选手准备了红、蓝、白颜色的上衣各1件和2条白色、1条蓝色的裤子．请用“列表法”或“树形图法”表示上衣和裤子搭配的所有可能出现的结果，并求出上衣和能搭配成同一种颜色的概率．【答案】（1）85～90（2）24人（3）1/3【详解】解：（1）由条形图可知，分数段在85～90范围的人数最多为10人，故答案为85～90；（2）全校参加比赛的人数=5+10+6+3=24人；（3）上衣和裤子搭配的所有可能出现的结果如图所示，共有9总搭配方案，其中，上衣和裤子能搭配成同一种颜色的有3种，上衣和裤子能搭配成同一种颜色的概率为：31 93（1）由条形图可直接得出人数最多的分数段；（2）把各小组人数相加，得出全校参加比赛的人数；（3）利用“树形图法”，画出搭配方案，由此可求上衣和裤子能搭配成同一种颜色的概率15．（2020·北京市第十三中学九年级开学考试）某医院医生为了研究该院某种疾病的诊断情况，需要调查来院就诊的病人的两个生理指标x，y，于是他分别在这种疾病的患者和非患者中，各随机选取20人作为调查对象，将收集到的数据整理后，绘制统计图如下：注“●”表示患者，“▲”表示非患者．根据以上信息，回答下列问题：（1）在这40名被调查者中，①指标y低于0．4的有人；②将20名患者的指标x的平均数记作1x，方差记作21s，20名非患者的指标x的平均数记作2x，方差记作22s，则1x2x，21s22s(填“>”，“=”或“<”)；（2）来该院就诊的500名未患这种疾病的人中，估计指标x低于0．3的大约有人；（3）若将“指标x低于0．3，且指标y低于0．8”作为判断是否患有这种疾病的依据，则发生漏判的概率多少．【答案】（1）①9；②<，>；（2）100；（3）0.25【分析】（1）①直接统计指标y低于0．4的有人的个数即可；②通过观察图表估算出指标x、y的平均数，然后再进行比较即可确定平均数的大小；根据点的分散程度可以确定方差的大小关系．（2）先估算出样本中未患这种疾病的人中指标x低于0．3的概率,然后500乘以该概率即可；（3）通过观察统计图确定不在“指标x低于0．3，且指标y低于0．8”范围内且患病的人数，最后用概率公式求解即可．【详解】解：（1）①经统计指标y低于0．4的有9人,故答案为9；②观察统计图可以发现，1x大约在0.3左右，2x大约在0.6左右，故1x＜2x；观察图表可以发现，x指标的离散程度大于y指标，故21s＞22s；故答案为<、>；（2）由统计图可知：在20名未患病的样本中，指标x低于0．3的大约有4人，则概率为420；所以的500名未患这种疾病的人中，估计指标x低于0．3的大约有500×420=100人．故答案为100；（3）通过统计图可以发现有五名患病者没在“指标x低于0．3，且指标y低于0．8”，漏判；则被漏判的概率为520=0.25.答：被漏判的概率为0.25.【点睛】本题考查概率的求法，平均数、方差的估计等基础知识，从统计图中获取信息、估计平均数和方差是解答本题的关键．16．（2021·浙江湖州·九年级月考）感恩节即将来临，小王调查了初三年级部分同学在感恩节当天将以何种方式对帮助过自己的人表达感谢，他将调查结果分为如下四类：A类——当面表示感谢、B类——打电话表示感谢、C类——发短信表示感谢、D类——写书信表示感谢．他将调查结果绘制成了如图所示的扇形统计图和条形统计图．请你根据图中提供的信息完成下列各题：（1）补全条形统计图；（2）在A类的同学中，有4人来自同一班级，其中有2人主持过班会．现准备从他们4人中随机抽出两位同学主持感恩节主题班会课，请用树状图或列表法求抽出1人主持过班会而另一人没主持过班会的概率．【答案】（1）见解析；（2）2 3【分析】（1）联系扇形统计图和条形统计图的信息分别求出调查的学生总数、C类人数和B 类人数，然后画图即可；（2）先采用列表法或树状图法列出所有机会均等的结果，然后求出抽出1人主持过班会而另一人没主持过班会的概率．【详解】（1）调查的学生总数为510÷％50=（人），C类人数为1085015360⨯=（人），B类人数为505151218---=（人），条形统计图为：（2）设主持过班会的两人分别为1A 、2A ，另两人分别为1B 、2B ，填表如下：所以P （抽出1人主持过班会而另一人没主持过班会）82123==． 【点睛】此题主要考查关联扇形统计图与条形统计图、通过列表法与树状图法求概率，解题关键是正确读懂统计图的信息．17．（2021·山东中区·一模）加强劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措．为了解学生参加各项劳动的情况，某校对七年级部分学生进行了随机问卷调查，其中一个问题是“你每周在家参加家务劳动的时间是多少？”，共有如下四个选项： A ．1小时以下 B ．1~2小时（不包含2小时） C ．2~3小时（包含2小时） D ．3小时以上图①、图②是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题：（1）填空：本次问卷调查一共调查了______名学生； （2）请将图①的条形统计图补充完整； （3）并求出图②中D 部分所对应的圆心角度数；（4）若该校共有1800名学生，请你估计全校可能有多少名学生每周在家参加家务劳动的时间在2小时以上（包含2小时）？【答案】（1）200；（2）见解析；（3）18︒；（4）估计全校可能有360名学生每周在家参加家务劳动的时间在2小时以上（包含2小时）【分析】（1）根据B 选项人数及其占被调查人数的比例计算即可得出答案． （2）用总人数减去其他选项的人数求出D 选项的人数，即可补全统计图； （3）用360︒乘以D 部分所占的百分比即可得出D 部分所对应的圆心角度数；（4）用该校的总人数乘以每周在家参加家务劳动的时间在2小时以上（包含2小时）的人数所占的百分比即可．【详解】解：（1）本次问卷调查一共调查的学生数是：10050%200÷=（名） 故答案为：200；（2）劳动的时间在3小时以上的人数有：200601003010---=（名），补全统计图如下：（3）D 部分所对应的圆心角度数是1036018200⨯=︒︒； （4）根据题意得：30101800360200+⨯=（名）， 答：估计全校可能有360名学生每周在家参加家务劳动的时间在2小时以上（包含2小时）． 【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，学会用样本估计总体的思想解决问题，属于基础题，中考常考题型．。
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教学过程
一.课程导入：
问题1 :假设我要去一家公司应聘，了解到这家公司50名员工的月工资资料如下（单位：元）：800 800 800 800 800 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 2 00 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 2 00 1 200 1 200 1 200 1 200 1 500 1 500 1 500 1 500 1 500 1 500 1 500 2 000 2 000 2 000 2 0 00 2 000 2 500 2 500 2 500
问题1：这50名员工的月平均工资数为多少？这个企业员工的平均工资估计为多少呢？
解这50名员工的月平均工资为 800+800+…+250050＝1320（元）．
由此可以估计这家大型企业员工的月平均工资为1320元．
问题2：再随机抽取50名员工的工资，计算所得的样本平均数与例1中的一定相同吗？
分析不一定．用样本平均数估计总体平均数时，样本平均数只是总体平均数的近似值．
小结平均数描述了数据的平均水平，定量的反映了数据的集中趋势所处的水平，样本平均数是估计总体的一个重要指标．
从上面的例子我们可以知道我们可以算其中的一部分就大致的了解整体的一个情况,这种就是我们今天要学习的用样本估计总体
二、复习预习
1．由于高考对统计考查的覆盖面广，几乎对所有的统计考点都有所涉及，其中频率分布直方图、均值与方差、茎叶图是核心考点，需要好好掌握．复习时，对于统计的任何环节都不能遗漏，最主要的是掌握好统计的基础知识，适度的题量练习．
2．高考对频率分布直方图或茎叶图与概率相结合的题目考查日益频繁．因此，复习时要加强这方面的训练，弄清图表中有关量的含义，并从中提炼出有用的信息，为后面的概率计算打好基础．
三、知识讲解
考点1、频率分布直方图
(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种：一种是用样本的频率分布估计总体的分布；另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征．
(2)作频率分布直方图的步骤
①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)．
②决定组距与组数．
③将数据分组．
④列频率分布表．
⑤画频率分布直方图．
(3)在频率分布直方图中，纵轴表示频率
组距
，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示．各小长
方形的面积总和等于1.
考点2、频率分布折线图和总体密度曲线
(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得频率分布折线图．
(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线．
考点3、茎叶图的优点
用茎叶图表示数据有两个突出的优点：
一是统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示．
考点4、样本方差与标准差
设样本的元素为x 1，x 2，…，x n ，样本的平均数为x ， (1)样本方差：s 2＝1n
[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]． (2)样本标准差：
s ＝ 1n [x 1－x 2＋x 2－x 2＋…＋x n －x 2]
四、例题精析
考点一频率分布直方图
【例题1】
【题干】某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重(单位：kg)数据进行整理后分成六组，并绘制频率分布直方图(如图所示)．已知图中从左到右第一、第六小组的频率分别为0.16、0.07，第一、第二、第三小组的频率成等比数列，第三、第四、第五、第六小组的频率成等差数列，且第三小组的频
数为100，则该校高三年级的男生总数为( )
A．480 B．440 C．420 D．400
【答案】D
【解析】设第一、第二、第三小组的频率构成的等比数列公比为q ，第三、第四、第五、第六小组的频率构成的等差数列公差为d ，则由题意知
⎩⎨⎧ 0.16＋0.16q ＋0.16q 2＋0.16q 2＋d ＋0.16q 2＋2d ＋0.16q 2＋3d ＝1，0.16q 2＋3d ＝0.07，
即⎩⎨⎧
0.16＋0.16q ＋0.64q 2＋6d ＝1，
0.16q 2＋3d ＝0.07.
消去d 得，16q 2＋8q －35＝0.
∵q>0，∴q ＝54.
∴第三组的频率P＝0.16q2＝0.25.
设男生总数为x，则x×25%＝100，∴x＝400.
考点二样本的平均数与方差
【例题2】
【题干】某校高中一年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示(如图)．S1、S2分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则S1________S2.(填“>”、“<”或“＝”)
【答案】<
【解析】x －甲＝15(8＋11＋14＋15＋22)＝14，x －乙＝15(6＋7＋10＋24＋28)＝15，S 21＝15
[(8－14)2＋(11－14)2＋(14－14)2＋(15－14)2＋(22－14)2]＝22，S 22＝15
[(6－15)2＋(7－15)2＋(10－15)2＋(24－15)2＋(28－15)2]＝84，∴S 1＝
22，S 2＝221，∴S 1<S 2.
考点三用样本估计总体
【例题3】
【题干】为了解一片大约一万株树木的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长(单位：cm)．根据所得数据画出的样本频率分布直方图如图，那么在这片树木中，底部周长小于110cm的株数大约是( )
A．3000 B．6000 C．7000 D．8000
【答案】C
【解析】∵底部周长小于110cm的频率为(0.01＋0.02＋0.04)×10＝0.7，∴1万株中底部小于110cm的株数为0.7×10000＝7000.
[点评] 用样本的频率作为总体频率的估计值．
考点四样本的数字特征
【例题4】
【题干】在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是( )
A．众数B．平均数C．中位数D．标准差
【答案】D
【解析】 A 的众数88，B 的众数为88＋2＝90.
“各样本都加2”后，平均数显然不同．A 的中位数86＋862＝86，B 的中位数
88＋882＝88，而由标准
差公式S ＝1
n [x 1－x －2＋x 2－x －2＋…＋x n －x －2]知D 正确．
课后评价。