用样本估计总体(重点)

教学过程

一.课程导入：

问题1 :假设我要去一家公司应聘，了解到这家公司50名员工的月工资资料如下（单位：元）：800 800 800 800 800 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 000 1 2 00 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 200 1 2 00 1 200 1 200 1 200 1 200 1 500 1 500 1 500 1 500 1 500 1 500 1 500 2 000 2 000 2 000 2 0 00 2 000 2 500 2 500 2 500

问题1：这50名员工的月平均工资数为多少？这个企业员工的平均工资估计为多少呢？

解这50名员工的月平均工资为 800+800+…+250050＝1320（元）．

由此可以估计这家大型企业员工的月平均工资为1320元．

问题2：再随机抽取50名员工的工资，计算所得的样本平均数与例1中的一定相同吗？

分析不一定．用样本平均数估计总体平均数时，样本平均数只是总体平均数的近似值．

小结平均数描述了数据的平均水平，定量的反映了数据的集中趋势所处的水平，样本平均数是估计总体的一个重要指标．

从上面的例子我们可以知道我们可以算其中的一部分就大致的了解整体的一个情况,这种就是我们今天要学习的用样本估计总体

二、复习预习

1．由于高考对统计考查的覆盖面广，几乎对所有的统计考点都有所涉及，其中频率分布直方图、均值与方差、茎叶图是核心考点，需要好好掌握．复习时，对于统计的任何环节都不能遗漏，最主要的是掌握好统计的基础知识，适度的题量练习．

2．高考对频率分布直方图或茎叶图与概率相结合的题目考查日益频繁．因此，复习时要加强这方面的训练，弄清图表中有关量的含义，并从中提炼出有用的信息，为后面的概率计算打好基础．

三、知识讲解

考点1、频率分布直方图

(1)通常我们对总体作出的估计一般分成两种：一种是用样本的频率分布估计总体的分布；另一种是用样本的数字特征估计总体的数字特征．

(2)作频率分布直方图的步骤

①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)．

②决定组距与组数．

③将数据分组．

④列频率分布表．

⑤画频率分布直方图．

(3)在频率分布直方图中，纵轴表示频率

组距

，数据落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示．各小长

方形的面积总和等于1.

考点2、频率分布折线图和总体密度曲线

(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得频率分布折线图．

(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线．

考点3、茎叶图的优点

用茎叶图表示数据有两个突出的优点：

一是统计图上没有原始数据信息的损失，所有数据信息都可以从茎叶图中得到；二是茎叶图中的数据可以随时记录，随时添加，方便记录与表示．

考点4、样本方差与标准差

设样本的元素为x 1，x 2，…，x n ，样本的平均数为x ， (1)样本方差：s 2＝1n

[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]． (2)样本标准差：

s ＝ 1n [x 1－x 2＋x 2－x 2＋…＋x n －x 2]

四、例题精析

考点一频率分布直方图

【例题1】

【题干】某校对高三年级的学生进行体检，现将高三男生的体重(单位：kg)数据进行整理后分成六组，并绘制频率分布直方图(如图所示)．已知图中从左到右第一、第六小组的频率分别为0.16、0.07，第一、第二、第三小组的频率成等比数列，第三、第四、第五、第六小组的频率成等差数列，且第三小组的频

数为100，则该校高三年级的男生总数为( )

A．480 B．440 C．420 D．400

【答案】D

【解析】设第一、第二、第三小组的频率构成的等比数列公比为q ，第三、第四、第五、第六小组的频率构成的等差数列公差为d ，则由题意知

⎩⎨⎧ 0.16＋0.16q ＋0.16q 2＋0.16q 2＋d ＋0.16q 2＋2d ＋0.16q 2＋3d ＝1，0.16q 2＋3d ＝0.07，

即⎩⎨⎧

0.16＋0.16q ＋0.64q 2＋6d ＝1，

0.16q 2＋3d ＝0.07.

消去d 得，16q 2＋8q －35＝0.

∵q>0，∴q ＝54.

∴第三组的频率P＝0.16q2＝0.25.

设男生总数为x，则x×25%＝100，∴x＝400.

考点二样本的平均数与方差

【例题2】

【题干】某校高中一年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示(如图)．S1、S2分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则S1________S2.(填“>”、“<”或“＝”)

【答案】<

【解析】x －甲＝15(8＋11＋14＋15＋22)＝14，x －乙＝15(6＋7＋10＋24＋28)＝15，S 21＝15

[(8－14)2＋(11－14)2＋(14－14)2＋(15－14)2＋(22－14)2]＝22，S 22＝15

[(6－15)2＋(7－15)2＋(10－15)2＋(24－15)2＋(28－15)2]＝84，∴S 1＝

22，S 2＝221，∴S 1