正投影基本知识

第三次课
教学内容：第2章正投影的基本理论2.1投影法的基本知识 2.2点的投影
教学目的：了解投影法的基本知识；掌握点在三面投影图中的投影特点及由已知点的两个投影求作其第三投影的方法；
重点：点的投影特性及第三投影的求法
难点：点的投影特性
教学方法：讲授法
教学手段：多媒体，与内容配套的挂图、模型
教学过程：
（一）组织教学（检查出勤情况）：（3分钟）
（二）复习上次课内容：（5分钟）复习第一章内容
（三）引入新课内容：（5分钟）。

如何把立体或者真实的机械零件以图样的形式展现出来呢？那就要用投影法。

为了得到物体的投影，必须具有投射线、物体和投影面三个条件，其中投射线可自一点发出，也可是一束与投影面成一定角度的平行线，这样就使投影法分为中心投影法和平行投影。

（四）新课内容讲解（82分钟）
第2章正投影的基本理论
2.1投影法的基本知识
2.1.1投影法的基本概念
生活中的投影现象抽象出了投影法绘图理论。

所谓投影法，就是一组投射线通过物体射向预定平面上得到图形的方法。

预定平面P 称为投影面，在P面上得到的图形称为投影，如图2-1所示。

投影法三要素：投影中心、投影线和投影面。

图2-1 中心投影法
2.1.2投影法的种类
可分为中心投影法和平行投影法。

1．中心投影法
如图2-1所示，这种投影线自投影中心出发的投影法称为中心投影法，所得投影称为中心投影。

注：（1）中心投影法很难反映实形，度良性差；
（2）中心投影法主要用于绘制产品或建筑物富有真实感的立体图，也称透视图。

2．平行投影法
若将投影中心S移到离投影面无穷远处，则所有的投影线都相互平行，这种投影线相互平行的投影方法，称为平行投影法，所得投影称为平行投影。

平行投影法中以投影线是否垂直于投影面分为正投影法和斜投影法，如图2-2所示。

由于正投影法得到的正投影图能真实地表达空间物体的形状和大小，不仅度量性好，作图也比较方便，故在机械工程中广泛应用。

（a）正投影法（b）斜投影法
图2-2 平行投影法
2.1.3正投影法的基本特征
1.正投影法的投影特点
(1)真实性；(2)积聚性；(3)类似性。

（a）P//H有真实性（b）P┻H有积聚性（C）P∠H有类似性
图2-3 正投影特性
2.多面正投影
一面正投影是不能唯一确定物体的形状和结构的。

为了唯一确定物体的结构形状，需采用多面正投影。

通常选用两个或两个以上互相垂直的投影面进行正投影，如图2–5（a）所示。

在按一定规律把投影面展开，摊平在一个平面上，便得到多面正投影图，如图2-5（b）为三面正投影图。

多面正投影具有良好的度量性，只要物体上的平面或直线与某一投影面平行，就能反映其实形或实长，故在工程中被广泛应用，是绘制工程图样的理论基础。

（a）（b）
图2–5 三面正投影
2.2点的投影
2.2.1点在两投影面体系中的投影
1.两投影面体系的建立
两投影面体系由水平投影面（简称水平面），以H表示，另一个为正立投影面（简称正面），以V表示。

两投影面的交线称为投影轴，以OX表示。

如图2-6所示。

图2-6两投影面体系的建立
2．点在两投影面体系中的投影
如图2-7所示，空间点A的正面投影为a′，水平投影为a。

投影面展开后得到投影图如2-8所示。

3.点在两投影面体系中的投影规律
(a) (b)
图2-7 点在两投影面体系中的投影
(a) (b)
图2-8 点在两投影面体系中的投影
（1）一点的水平投影和正面投影的连线垂直于OX轴即aa′⊥OX。

（2）一点的水平投影到OX轴的距离等于该点到V面的距离；其正面投影到OX轴的距离等于该点到H面的距离，即aax=Aa′；a’a x=Aa。

2.2.2点在三投影面体系中的投影
1.三投影面体系的建立
如图2-9所示，三投影面体系是在V⊥H两投影面体系的基础上，增加一个与V、H投影面都垂直的侧立投影面Ｗ（简称侧面）组成的。

图2-9 三投影面体系的建立图2-10 点在三投影面体系中的投影
2.点的三面投影
如图2-10示，空间点A的三个投影分别为水平投影a、正面投影a′和侧面投影a″（点的侧面投影用相应的小写字母加两撇表示）。

投影面展开并擦去边界得到点得三面投影图如图2-11所示。

3.点的三面投影规律
点在三投影面体系中的投影规律为：
1)点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴，即a′a⊥OX；
2)点的正面投影和侧面投影的连线垂直于O Z轴，即a′a"⊥OZ；
3)点的水平投影到OX轴的距离和点的侧面投影到OZ轴的距离都等于该点到V面的距离，即aa x=a″a z＝Aa′。

（a） (b) (c)
图2-11 点的三面投影
4.点的三面投影与坐标的关系
若把三投影面体系看作空间直角坐标系，则V、H、W面就是坐标面，X、Y、Z就是坐标轴，O就是原点。

则点A得三面投影与其坐标关系如下：
（1）空间点的任一投影均反映该点的两个坐标值。

因此，已知一点的三个坐标，就可作出该点的三面投影。

反之，已知一点的两面投影，也就等于已知该点的三个坐标，即可利用点的投影规律求出该点的第三面投影。

（2）空间点的每一个坐标值反应该点到某一投影面的距离，即：
a′a Z=Aa″=aay
=x坐标；a a x =Aa′=a″a z=y坐标；a′a x =Aa=a″ ayw =z坐标。

h
例已知空间点A（20、10、15），试作它的三面投影图。

图2-12根据坐标作点的三面投影
例已知A点的两投影a和a′，求a″。

（a）(b) (c)
图2-13 已知点的两面投影求第三投影
2.2.3两点间的相对位置
（1）两点的各个同面投影之间的坐标关系，可以判断空间两点的相对位置。

x坐标差确定两点的左右位置，y坐标差确定两点的前后位置，z坐标差确定两点的上下位置。

三个坐标差均为正值，则点A在点B的左方、前方、上方。

从图2-14（b）看出，三个坐标差可以准确地反映在两点的投影图中。

(a) (b)
图2-14 两点的相对位置
（2）重影点及可见性判断
当两点位于某一投影面的同一条投射线上时，这两点在该投影面上的投影重合，称这两点为对该投影面的重影点。

显然，两点在某一投影面上的投影重合时，它们必有两对相等的坐标。

如图2-15所示，A、B两点为对V面的重影点，C、D两点为对H面的重影点。

重影点需判别可见性。

根据正投影特性，可见性的区分应是前遮后、上遮下、左遮右。

在投影图中，对于重影的投影，在不可见点投影的字母两侧画上圆括号。

如图2-15（b），A、B两点为对V面的重影点，它们的正面投影重合，点A在点B的前方，a′可见，表示为a′；b′不可见，表示为（b′）。

C、D两点为对H面的重影点，它们的水平投影重合，点C在
点D的上方，c可见，表示为c；d不可见，表示为（d）。

(a) (b)
图2-15 重影点
（五）总结、归纳、巩固新课要点：（5分钟）
投影法是机械图样的作图依据。

投影法分中心投影和平行投影法两种，平行投影法又分正投影和斜投影两种。

由于正投影法得到的正投影图能真实地表达空间物体的形状和大小，不仅度量性好，作图也比较方便，故在机械工程中广泛应用。

点的投影规律是投影法的基础，不管是线、面还是体的投影都是由点而来，所以要熟练掌握点的投影规律，熟练求作点的投影，并会判断点的相对位置及重影点。

（六）课后作业：
第四次课
教学内容：2.3直线的投影 2.4面的投影
教学目的：掌握各种位置的直线、平面的三面投影特点；两直线处于各种相对位置时的投影特点；求一般位置直线的实长及倾角；直角投影定理；根据各种位置平面的投影特性，判别平面对投影面的相对位置。

重点：各种位置直线及平面的投影特性
难点：一般位置直线的实长及倾角的求法；直角投影定理；
教学方法：讲授法
教学手段：多媒体，与内容配套的挂图、模型。

教学过程：
（一）组织教学（检查出勤情况）：（3分钟）
（二）复习上次课内容：（5分钟）投影法的基本知识及点的投影规律。

（三）引入新课内容：（5分钟）。

构成立体的三个要素为点、线、面，要熟悉点、线、面的投影特性。

从而利用几何元素的投影规律研究立体的投影。

（四）新课内容讲解（82分钟）
2.3直线的投影
2.3.1各种位置直线的投影
1．直线的投影
图2-16 直线的投影
直线的投影可由直线上两点的同面投影连接得到。

如图2-17，分别作出直线上两点A、B的三面投影，将其同面投影相连，即得到直线AB的三面投影图。

2.各种位置直线的投影特性
在三投影面体系中，直线对投影面的相对位置可以分为三种：投影面平行线、投影面垂直线、投影面倾斜线。

前两种为投影面特殊位置直线，后一种为投影面一般位置直线。

(1) 投影面平行线
投影面的平行线是指只平行于某一个投影面的直线。

它与一个投影面平行，与另外两个投影面倾斜。

与H面平行的直线称为水平线，与V面平行的直线称为正平线，与W面平行的直线称为侧平线。

它们的投影图及投影特性见表2-1。

规定直线（或平面）对H、V、W 面的倾角分别用α、β、γ表示。

表2-1 投影面平行线的投影特性
名称直观图投影图投影特性
水平线1．水平投影反映实长，与X轴夹角为β，与Y 轴夹角为α
2．正面投影平行X轴3．侧面投影平行Y轴
正平线1．正面投影反映实长，与X轴夹角为α，与Z 轴夹角为γ
2．水平投影平行X轴3．侧面投影平行Z轴
侧平线
1．侧面投影反映实长，
与Y轴夹角为α，与Z
轴夹角为β
2．正面投影平行Z轴
3．水平投影平行Y轴
(2) 投影面垂直线
投影面的垂直线是指垂直于某一个投影面的直线。

它与一个投影面垂直，必与另外两个
投影面平行。

与H面垂直的直线称为铅垂线，与V面垂直的直线称为正垂线，与W面垂直的直线称为侧垂线。

它们的投影图及投影特性见表2-2。

表2-2 投影面垂直线的投影特性
名称直观图投影图投影特性
铅垂线1．水平投影积聚为一点2．正面投影和侧面投影都平行于Z轴，并反映实长
正垂线1．正面投影积聚为一点2．水平投影和侧面投影都平行于Y轴，并反映实长
侧垂线
1．侧面投影积聚为一点
2．正面投影和水平投影
都平行于X轴，并反映
实长
(3) 一般位置直线
一般位置直线与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映实长，投影与
投影轴之间的夹角也不反映直线与投影面之间的倾角，见图2-17。

图2-17 一般位置直线的投影
2.3.2直线上的点
从图2-18（a）可以看出，直线AB上的任一点C有以下投影特性：
1 从属性：
直线上点的投影在这条直线的投影上。

如图2-18（a）所示，线段AB上有一点C，C 点的正面投影c′必在a’b′上；其水平投影c必在ab上，侧面投影C”必在a”b”上。

2 定比性：
点分割线段之比在投影中保持不变。

如图2-18（a）, C点将线段AB的各个投影分割成
和空间相同的比例，即
"
''
"''''b c c a b c c a cb ac CB AC =
== 。

（a ） （b ）
图2-18 直线上点的投影
由直线上点的投影特性可知：如果点在已知直线上，则可根据该点的一个投影（投影面垂直线有积聚性的投影除外），求出它的另外两个投影。

图2-18（b ）表示由AB 线上点C 的投影求C 和C ”。

例 试判别C 点是否在线段AB 上 (图2-19)。

分析：C 点的两个投影分别在线段AB 的同面投影上，但线段AB 为侧平线，它的正面投影a 'b '，水平投影ab 均垂直于OX 轴，在此特殊情况下一般不能直接用观察方法确定C 点是否在线段AB 上。

这时可以应用定比分段法来验证，如果C 点是在AB 上，则其两投影线段之比应相等；但如果两投影线段之比不等，则C 点不在线段AB 上，只不过是C 点投影与AB 线段的投影重影。

图2-19 判别C 点是否在线段AB 上
作图：首先过a 作一辅助线ab 1，使ab 1＝a 'b ',ac 1＝a 'c ';然后连接b 1b ，过c 1作b 1b 的平行线使与ab 相交，如果交点与C 点的水平投影c 重合，则表明C 点对AB 的分段符合定比分段法，此时C 点在直线段AB 上；反之不在直线段AB 上。

2.3.3两直线的相对位置
空间两直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。

其中平行和相交两直线均在同一平面上，交叉两直线不在同一平面上，因此，又称为异面直线。

1. 两直线平行：
若空间两直线互相平行，则其同面投影都平行，且投影长度之比相等，端点字母顺序相
同；反之，若两直线的同面投影都平行，则空间两直线互相平行。

如图2-20(a)所示，因为AB∥CD，则ab∥cd、a'b'//c'd'，且ab：cd= a'b'：c'd'。

(a) (b)
图2-20平行两直线
如果从投影图上判定两条直线是否平行，对于一般位置的直线和投影面垂直线，只要看它们的任意两个同面投影是否平行即可。

例如图20（b）中，因为ab∥cd、a'b'//c'd'，则AB∥CD。

对于投影面平行线，如果已知两直线不平行的两个投影面上的投影，则可以利用以下两种方法判断。

方法一：判断两直线投影长度之比是否相等，端点字母顺序是否相同，若相等同时相同则两直线平行。

方法二：求出两直线所平行的投影面上的投影判断是否平行，若平行则两直线平行。

例如图2-21中，AB、CD是两条侧平线，它们的正面投影及水平投影均互相平行，即ab∥cd、a'b'//c'd'，但由于字母顺序a′、b′、c′、d′与a、b、d、c不同，因此便可以判定，AB、CD两直线的空间位置不平行。

当然，也可以从它们的侧面投影清楚地看出a"b"与c"d"不平行，由此同样得出AB与CD不平行的结论。

显然，与方法二求第三投影相比，方法一更加简便。

图2-21 两直线不平行
2．两直线相交
若空间两直线相交，则它们的各个同面投影亦分别相交，且交点的投影符合点的投影规律；反之，如果两直线的各个同面投影分别相交，且交点的投影符合点的投影规律，则两直线在空间必相交。

如图2-22所示，两直线AB、CD交于K点；则其水平投影ab与cd交于k；正面投影a′
b′与c′d′交于k′；kk'垂直于OX轴；
（a）(b)
图2-22 两直线相交
如果从投影图上判定两条直线是否相交，对于一般位置的直线和投影面垂直线，只要看它们的任意两个同面投影是否相交且交点的投影是否符合点的投影规律即可。

例如图22(b)中，因为ab与cd交于k，a′b′与c′d′交于k′，且kk′⊥OX，则空间AB与CD相交。

当两直线中有一条为投影面平行线，且已知该直线不平行的两个投影面上的投影时，则可以利用定比关系或求第三投影的方法判断。

如图2-23(a)所示，点K在直线AB上，但是，由于ck：kd≠c′k′：k′d′，点K不在直线CD上，所以，点K不是两直线AB与CD的共有点，即AB与CD不相交。

图2-23（b）中求出了侧面投影，从图中可以看出，虽然两直线AB与CD的三个投影都分别相交，但是，三个投影的交点不符合一点的投影规律，因此直线AB与CD在空间不相交。

(a) (b)
图2-23 两直线不相交
例已知两相交直线AB、CD的水平投影ab，cd及直线CD和B点的正面投影c'd'和b',求直线AB的正面投影a'b'。

分析：利用相交两直线的投影特性，可求出交点K的两投影k、k'；再运用相交原理即可求得a'b'。

作图：(如图2-24)
a）两直线的水平投影ab与cd相交于k，即交点Ｋ的水平投影；
b）过k作OX轴的垂直线，求得c'd'上的k'；
c）连接b'和k'并将其延长；
d）再过a作OX轴垂直线与b'k'延长线相交于a'，a'b'即为所求。

(a) (b)
图2-24 利用交点求相交两直线
3．两直线交叉
在空间既不平行又不相交的两直线称为交叉直线或异面直线。

因此，在投影图上，既不符合两直线平行的投影特性，又不符合两直线相交的投影特性的两直线即为交叉直线。

(a) (b)
图2-25两直线交叉
如图25(a)所示，a′b′∥c′d′，但是，ab不平行于cd，因此，直线AB、CD是交叉直线。

图25(b)中，虽然ab与cd相交，a′b′与c′d′相交，但它们的交点不符合点的投影规律，因此，直线AB、CD是交叉直线。

ab与cd的交点是直线AB和CD上的点Ⅰ和Ⅱ对H面的重影点，a′b′与c′d′的交点是直线AB和CD上的点Ⅲ和Ⅳ对V面的重影点。

交叉两直线可能有一对或两对同面投影互相平行，但绝不会三对同面投影都平行，如图2-21和图2-25(a)所示。

交叉两直线可能有一对、两对甚至三对同面投影相交，但是同面投影的交点绝不符合点的投影规律，如图2-23和图25(b)所示。

2.3.4一般位置直线的实长及对投影面的倾角
一般位置直线的投影既不反映实长，也不反映对各投影面的倾角。

在实际应用中，有时需要根据一般位置直线的投影，求其实长和对投影面的倾角。

在投影图上可以利用直角三角形法来解决这一问题。

如图2-26（a）所示，AB为一般位置直线，AB与其水平投影ab的夹角为直线AB对H 面倾角α。

在直角梯形ABba中，过点A作AB0平行于ab，△ABB0为直角三角形。

其中，直角边AB0＝ab，另一条直角边BB0等于AB两端点的z坐标差，即BB0＝z B－z A，∠BAB0为AB对H面的倾角α，斜边AB即为直线的实长。

在投影图中如果作出这个直角三角形，就可以求出直线的实长及其对投影面的倾角。

这种利用特定直角三角形解决有关直线的实长及其倾角问题的方法称为直角三角形法。

(a) (b)
图2-26用直角三角形法求直线的实长和倾角α
1.作法一：如图2-26（b）
（1）以水平投影ab为一条直角边，过b作bB0⊥ab，取bB0等于Z B－Z A；
（2）连接aB0，得到直角△abB0。

其中斜边aB0为AB的实长，斜边aB0与ab的夹角即为AB对H面的倾角α。

2.作法二：如图2-26（b）
(1)V面投影中，过a′作OX轴的平行线，与bb'交于b0′，延长a’b0′，使b0′A0＝ab；
（2）连接b′A0，得到的直角△b′b0′A0。

其中，斜边b′A0为AB的实长，z坐标差b′b0′所对的锐角即为AB对H面的倾角α。

同样，利用直线的正面投影和y坐标差作为两条直角边也可以求出直线实长及对V面的倾角β，如图2-27所示。

图2-27 用直角三角形法求直线的实长和倾角β
若求直线AB对W面的倾角γ，应以a″b″和x A－x B为直角边作直角三角形，斜边与a″b″的夹角即为γ角。

2.3.5直角的投影
当两直线相交成直角时，如果两直线都平行于某一投影面，则两直线在该投影上的投影的夹角仍为直角；如果两直线都不平行于某一投影面时，则两直线在该投影面上的投影不反映直角。

如果两直线相交成直角、且其中有一条直线平行于某一投影面，则两直线在该投影面上的投影仍然反映直角关系。

通常称之为直角投影原理。

如图2-28所示，AB、BC为相交成直角的两直线，其中BC平行于Ｈ面（即水平线），AB 为一般位置直线。

现证明两直线的水平投影ab和bc仍相互垂直，即bc垂直于ab。

(a) (b)
图2-28直角投影原理
证明：因BC垂直于B b，BC垂直于AB，所以BC垂直于平面AB ba;又因BC‖bc，所以bc也垂直于平面AB ba。

根据立体几何定理可知bc垂直于平面AB ba上的所有直线，故bc 垂直于ab（图2-28b）。

例求A点到正平线BC的距离。

分析：点到直线的距离是指该点到直线的垂直距离。

图2-29中，BC为一正平线，所以可利用相交两直线成直角的投影特性，从a'作b'c'的垂直线，得到垂足d的正面投影d'，过d’作OX轴的垂直线使与bc相交，得垂足D的水平投影d；然后连接ad，得到垂直线AD的两个投影；最后运用直角三角形法作出垂直线段AD的实长。

图2-29求A点到正平线BC的距离
2.4平面的投影
2.4.1平面的表示方法
由初等几何可知，不属于同一直线的三点确定一平面。

因此，可由下列任意一组几何元素的投影表示平面（如图2-30）：(a)不在同一直线上的三个点；(b)一直线和不属于该直线的一点；(c)相交两直线；(d)平行两直线；(e ）任意平面图形。

（a）(b) (c) (d) (e)
图2-30 平面表示法
2.4.2各种位置平面的投影
1. 投影面平行面
投影面平行面是平行于一个投影面，并必与另外两个投影面垂直的平面。

与H面平行的平面称为水平面，与V面平行的平面称为正平面，与W面平行的平面称为侧平面。

它们的投影图及投影特性见表2-3。

表2-3 投影面平行面的投影特性
名
称
直观图投影图投影特性
水平面1．水平投影反映实形。

2．正面投影积聚成平行于X轴的直线。

3．侧面投影积聚成平行于Y轴的直线。

正平面1．正面投影反映实形。

2．水平投影积聚成平行于X轴的直线。

3．侧面投影积聚成平行于Z轴的直线。

侧平面
1．侧面投影反映实
形。

2．正面投影积聚成
平行于Z轴的直
线。

3．水平投影积聚成
平行于Y轴的直
线。

2．投影面垂直面
投影面垂直面是垂直于一个投影面，并与另外两个投影面倾斜的平面。

与H面垂直的
平面称为铅垂面，与V面垂直的平面称为正垂面，与W面垂直的平面称为侧垂面。

它们的投影图及投影特性见表2-4。

表2-4 投影面垂直面的投影特性
名
称
直观图投影图投影特性
铅垂面1．水平投影积聚成直线，与X轴夹角为β，与Y 轴夹角为γ。

2．正面投影和侧面投影具有类似
性。

正垂面1．正面投影积聚成直线，与X轴夹角为α，与Z 轴夹角为γ。

2．水平投影和侧面投影具有类似
性。

侧垂面
1．侧面投影积聚
成直线，与Y轴
夹角为α，与Z
轴夹角为β。

2．正面投影和水
平投影具有类似
性。

3．一般位置平面
一般位置平面与三个投影面都倾斜，因此在三个投影面上的投影都不反映实形，而是缩
小了的类似形，如图2-31。

(a)立体图 (b)投影图
图2-31 一般位置平面的投影
2.4.3平面上的点和直线
1．平面上的直线
具备下列条件之一的直线，必在给定平面内：
1)直线上有两点在平面内；
2)直线上有一点在平面内，且直线平行于平面内某一条直线。

若欲在平面上取直线，须通过该平面内的两点，过两点连一条直线；或通过该平面上的一点作直线平行于该平面内的任一直线。

例图2-32表示，已知直线DE在△ABC所决定的平面内，求作其水平投影de。

(a) (b) (c)
图2-32 在平面内取直线的作图方法
解根据直线在平面内的条件，可按下述方法和步骤作图：
①延长d’e’，与a’b’和a’c’分别交于1’和2’；应用直线上点的投影特性，求得Ⅰ、Ⅱ两点的水平投影1和2，如图2-32b所示。

②连接1、2，再应用直线上点的投影特性，由d’e’求得de，如图2-32c所示。

2.平面上的点
点在平面内的条件是：点在平面内的一条直线上。

若欲在平面上取点，须先在该平面内作直线，然后在直线上取点。

例图2-33a表示，已知点D在△ABC所决定的平面内，求作其正面投影d’。

（a）(b) (c)
图2–33 在平面上求点
解:通过D点在△ABC平面内任作一直线BⅠ(BⅠ成为辅助线),然后在BⅠ上根据D点的水平投影d，求出其正面投影d’。

在投影图中，由于D点的水平投影d为已知，因此应先过d作辅助线的水平投影b1，由b1求得b’1’，然后由d再b’1’上求得d’，如图2-33b 所示。

图2-33c表示以平行于已知直线BC的直线ⅡD作为辅助线的作图方法。

3.平面上的投影面平行线
在平面上且平行于某一投影面的直线，称为平面上的投影面的平行线。

这些直线既与所在平面有从属关系，又具有投影面平行线的投影特性
例作从属于平面△ABC的一条水平线。

解：作图过程如图2-34所示。

(a)(b)
图2-34 作从属于平面的水平线
在正面投影中，作d’e’∥X轴，并与a’b’交于d’、于a’c’交于e’，d’e’即为平面△ABC 内水平线的正面投影，如图2-34（a）所示；再根据d’、e’求出d、e，连接de，即得改直线的水平投影，如图2-34（b）所示。

（五）总结、归纳、巩固新课要点：（5分钟）
本次课主要要求掌握各种位置的直线、平面的三面投影特点，两直线处于各种相对位置时的投影特点，求一般位置直线的实长及倾角，直角投影定理，及平面对投影面的相对位置的判定等知识点。

（六）课后作业：。