四边形综合题(含答案)

较典型，具有一定的代表性，且证明过程类似，同时通过做此题培养了学生的猜想能力
和类比推理能力．
4. 已知在四边形 ABCD 中，点 E、F 分别是 BC、CD 边上的一点．
如图 1：当四边形 ABCD 是正方形时，作出将
绕点 A 顺时针旋转 90 度后
的图形
；并判断点 M、B、C 三点是否在同一条直线上______ 填是或否 ；
若
的边 EF 在射线 CB 上移动 分别如图 和图 所示，
不与 A
重合
中的结论还成立吗？若不成立，直接写出你发现的新结论．
精品
.
【答案】解： 过 P 作
于 如图 ，
四边形 ABCD 是矩形，
，即
，
又
，ຫໍສະໝຸດ Baidu
，
是等边三角形，
，
在
中，
，
设
，根据勾股定理得：
，
解得： ，故
，
的边长为 2；
，理由如下：
在
中，
，
由勾股定理得
，
，
在
中，
，
解得
；
如图所示，当点 E 在线段 BC 上时，作点 D 关于直线 AE
的对称点 F，连结
，
根据
≌
，可得
，
，
又
，
在
中，
，
解得
．
【解析】
根据轴对称的性质，得到
，再根据同角
的余角相等，得到
，即可判定
≌
；
由 可得：
≌
，据此得出
，进而得
到
，再根据
，运用勾股定理求得 CE 即可；
分两种情况进行讨论：当点 E 在 BC 延长线上时，作点 D 关于直线 AE 的对称点 F，连
别交 CB、 或它们的延长线 于点 M、
于点 H．
如图 ，当
点 A 旋转到
时，请你直接写出 AH 与 AB 的数量关系：
______ ；
如图 ，当
绕点 A 旋转到
时， 中发现的 AH 与 AB 的数量关系
还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
如图 ，已知
于点 H，且
，求 AH 的
长．
【答案】
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形，
作
于 如图
中，
精品
， ，
. ．
结论不成立，
当
时，
，
当
时，
．
【解析】 过 P 作
，垂足为 Q，由四边形 ABCD 为矩形，得到 为直角，且
，
得到
，又
为等边三角形，根据“三线合一”得到 为 ，在
中，设出 QF 为 x，则
，由 PQ 的长，根据勾股定理列出关于 x 的方程，
求出 x 的值，即可得到 PF 的长，即为等边三角形的边长；
如图 1：当四边形 ABCD 是正方形时，且
，请直接写出线段 EF、BE、
DF 三者之间的数量关系______ ；
如图 2：当
是
的一半，问： 中的数
量关系是否还存在，并说明理由；
在 的条件下，将点 E 平移到 BC 的延长线上，请在图 3 中补全图形，并写出
EF、BE、DF 的关系．
【答案】是；
【解析】 解：如图 1：
由 可知，
，
设
，则
，
精品
.
在
中，由勾股定理，得
，
精品
.
，
解得
不符合题意，舍去
．
由三角形全等可以证明
，
延长 CB 至 E，使
，证明
≌
，能得到
，
分别沿 AM、AN 翻折
和
，得到
和
，然后分别延长 BM 和
DN 交于点 C，得正方形 ABCE，设
，则
，在
中，
由勾股定理，解得 x．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，翻折的性质，此题比
精品
.
2. 如图 ，在矩形 ABCD 中，
，在 BC 边上取两点 E、 点 E 在点 F
的左边 ，以 EF 为边所作等边
，顶点 P 恰好在 AD 上，直线 PE、PF 分别交直
线 AC 于点 G、H．
求
的边长；
若
的边 EF 在线段 CB 上移动，试猜想：PH 与 BE 有何数量关系？并证明
你猜想的结论；
.
四边形综合题
1. 已知
是等腰直角三角形，
，点 D 是边 BC 上的一个动
点 不运动至点
，点 E 在 BC 所在直线上，连结
，且
若点 E 是线段 BC 上一点，如图 1，作点 D 关于直线 AE 的对称点 F，连结
求证： 若
≌
；
，求 CE 的长；
如图 2，若
，求 CE 的长 直接写出答案即可
【答案】解：
证明：在 BC 上截取
，
，
，
，
在
和
中，
，
精品
.
≌
，
，
精品
.
，
，
，
，
在
和
中，
，
≌
，
，
．
首先由旋转的性质，画出旋转后的图形，然后由
，证得
点 M、B、C 三点共线；
首先由旋转的性质可得：
精品
.
【解析】解： 如图 四边形 ABCD 是正方形，
， ，
在
与
中，
，
≌
，
，
，
，
， ，
在
与
中，
，
≌
，
；
故答案为：
；
数量关系成立 如图 ，延长 CB 至 E，使
．
是正方形，
，
在
和
中，
，
≌
，
，
，
在
和
中，
，
≌
，
、AH 是
和
；
， 对应边上的高，
如图 分别沿 AM、AN 翻折
和
，得
到
和
，
，
分别延长 BM 和 DN 交于点 C，得正方形 ABCD，
，过 E 作 ER 垂直于 AD，如图所示，首先证明
为等腰三角形，在
根据矩形的对边平行得到一对内错角相等，可得
，在
中，
，根据直角三角形中， 角所对的直角边等于斜边的一半，由 PE 求出 PR，
由
，则
，即可得到两线段的关系；
当若
的边 EF 在射线 CB 上移动时 中的结论不成立，由 的解题思路可知
当
时，
根据旋转的性质，
，
四边形 ABCD 是正方形，
，
、B、C 三点在一条直线上．
故答案为：是；
由旋转的性质可得：
，
四边形 ABCD 是正方形，
，
，
精品
，
在
和
中，
. ，
，
≌ 故答案为：
， ；
；
存在
理由如下：延长 CB 到 P 使
，
，
，
，
在
和
中，
，
≌
即：
在
和
， ，
，
， ， ， 中，
，
≌
，
，
；
如图 3，补全图形．
点 D 与点 F 关于直线 AE 的对称，
垂直平分 DF，
，
，
即
，
，
，
，
，
在
与
中，
，
≌
；
由 可得：
≌
垂直平分 DF， ，
；
， ，
，
精品
. 或． 理由：如图所示，当点
精品
.
E 在 BC 延长线上时，作点 D 关于直
线 AE 的对称点 F，连结
，
根据
≌
，可得
，
在等腰直角三角形 ABC 中， ， ，
，当
时，
．
此题综合考查了矩形的性质，等腰三角形的判别与性质、等边三角形的性质及直角三角
形的性质 学生作第三问时，应借助第二问的结论，结合图形，多次利用数学中等量代
换的方法解决问题，这就要求学生在作几何题时注意合理运用各小题之间的联系．
3. 已知，正方形 ABCD 中，
绕点 A 顺时针旋转，它的两边长分
结
；当点 E 在线段 BC 上时，作点 D 关于直线 AE 的对称点 F，连结
分别根据全等三角形的性质以及勾股定理，求得 CE 的长即可．
本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的性质以判定，等腰直角三角形的性质，
勾股定理以及对称轴的性质的综合应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的判定方
法，解题时注意分类思想的运用．