2020高三第一轮复习训练题数学(15)(直线平面简单几何体1)

2020高三第一轮复习训练题数学（15）（直线平面简单几
何体1）
数学〔十五〕〔直线、平面、简单几何体1〕
一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1. 二面角l αβ--的大小为0
60，,m n 为异面直线，且,m n αβ⊥⊥，那么,m n 所成的角为 A ．0
30 B ．0
60 C ．0
90 D ．0
120
2．在空间四边形ABCD 中，AB 、BC 、CD 、DA 上分不取E 、F 、G 、H 四点，假如GH 、
EF 交于一点P ，那么
A ．P 一定在直线BD 上
B ．P 一定在直线A
C 上
C ．P 在直线AC 或B
D 上 D ．P 既不在直线BD 上，也不在AC 上
3．如图S 为正三角形所在平面ABC 外一点，且SA ＝SB ＝SC ＝AB ，E 、F 分不为SC 、AB 中点，那么异面直线EF 与SA 所成角为
A ．90º
B ．60º
C ．45º
D ．30º
4．.直线m 、n 与平面α、β,给出以下三个命题： ①假设m ∥α，n ∥α,那么m ∥n ;②假设m ∥α,n ⊥α,那么n ⊥m ;③假设m ⊥α,m ∥β,那么α⊥β.其中真命题的个数是
A ．0
B ．1
C ．.2
D ．3
5．假设a 、b 为空间两条不同的直线，α、β为空间两个不同的平面，那么a α⊥的一个充分条件是
A ．//a β且αβ⊥
B ．a β⊂且αβ⊥
C ．a b ⊥且//b α
D ．a β⊥且//αβ
6．在北纬45°圈上有A 、B 两地，A 地在东经120°，B 地在西经150°，设地球半径为R ，那么A 、
B 两地的球面距离为
A ．R π3
5
B ．R π2
1
C ．
R π4
2 D ．R π3
1
7．关于直线m 、n 和平面a ，下面命题 中的真命题是 A ．假如,a m ⊂n ∥a ，n m 、共面，那么m ∥n
B ．假如,a m ⊂n 与a 相交，那么n m 、是面直线
C ．假如n m a n a m 、,,⊄⊂是异面直线，那么n ∥a
D ．假如m ∥a ,n ∥a ,n m 、共面，那么m ∥n
8．P A 、PB 、PC 是从点P 引出的三条射线，每两条射线的夹角均为60º，那么直线PC 与平面APB 所成角的余弦值是
A ．1
2
B ．
6 C ．
3 D ．
3 9．设直线m n 、和平面αβ、，那么以下命题中正确的选项是．．．．．． A ．假设//m n m n αβ⊂⊂，，，那么//αβ B ．假设//m n m n αβ⊂⊥，，，那么αβ⊥ C ．假设m m n n αβ⊥⊥⊂，，，那么//αβ D ．假设//m n m n αβ⊥⊥，，，那么αβ⊥ 10．设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在以下命题中，不正确的选项是．．．．．．． A ．假设AB=AC ，DB=DC ，那么AD=BC B ．假设AC 与BD 是异面直线，那么AD 与BC 是异面直线
C ．假设AC 与B
D 共面，那么AD 与BC 共面 D ．假设AB=AC ，DB=DC ，那么AD ⊥BC 11．关于平面α和共面的直线m 、,n 以下命题中真命题是 A ．假设,,m m n α⊥⊥那么n α∥ B ．假设m αα∥,n ∥,那么m ∥n
C ．假设,m n αα⊂∥,那么m ∥n
D ．假设m 、n 与α所成的角相等，那么m ∥n
12．如下图，b 、c 在平面α内，a ∩c=B ，b ∩c=A ，且a ⊥b ，a ⊥c ，
b ⊥
c ，假设C ∈a ，D ∈b ，E 在线段AB 上〔C ，D ，E 均异于A ，B 〕，那么△CDE 是 A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
二、填空题：本大题共4小题；每题4分，共16分，把答案填在题中的横线上。

13．△A ′B ′C ′是水平放置的边长为a 的正三角形△ABC 的斜二测平面直观图，那么△A ′B ′C ′的面积为
14．正四棱锥中，侧面等腰三角形的顶角的取值范畴为 。

15．如图，ABCD 中，AB=3，BC=1，EF ∥BC 且AE=2EB ，G 为BC 中点，K 为△ADF 的外心，沿EF 将矩形折成一个120°的二面角A —EF —B ，那么现在KG 的长是 ； 16．给出以下四个命题：
A
D
O
P
D
B
A
C
E
①假如一条直线和一个平面平行，通过这条直线的平面和那个平面相交，那么这条直线和交线平行， ②假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于那个平面 ③假如两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行，
④假如一个平面通过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 其中真命题的是 。

三、解答题〔本大题共6小题，共74分〕
17. 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的各棱长都等于2，D 在AC 1上，F 为BB 1中点，且FD ⊥AC 1。

〔1〕试求1
DC AD
的值；
〔2〕求二面角F －AC 1－C 的大小； 〔3〕求点C 1到平面AFC 的距离.
18．在三棱锥M —ABC 中，CM ⊥平面ABC ，MA=MB ，NA=NB=NC. 〔1〕求证：AM ⊥BC ；
〔1〕假设∠AMB=60°，求直线AM 与CN 所成的角.
19. 如图，在四棱锥ABCD P -中，四边形ABCD 为正方形，P 点在
平面ABCD 内的射影为A ，且2==AB PA ，E 为PD 中点．
〔1〕证明：PB //平面AEC ； 〔2〕证明：平面⊥PCD 平面PAD ； 〔3〕求二面角D AC E --的正切值．
20．如图，△ABC 和△DBC 所在平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ，∠ABC ＝∠DBC ＝120º，求：⑴A 、D 连线和平面DBC 所成的角；⑵二面角A —BD —C 的正切值。

21． 如图，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，
△P AD 是直角三角形，且P A=AD=2，E 、F 、G 分不是 线段P A 、PD 、CD 的中点. 〔1〕求证：EFG ⊥平面P AB ；
〔2〕求异面直线EG 与BD 所成的角； 〔3〕求点A 到平面EFG 的距离.
22.〔本小题总分值12分〕 如图，四面体ABCD 中，O 、E 分不是BD 、BC 的中点，
A
B
C
D
F
1
A 1
1
C
2, 2.CA CB CD BD AB AD ====== 〔1〕求证：AO ⊥平面BCD ；
〔2〕求异面直线AB 与CD 所成角的大小；
〔3〕求点E 到平面ACD 的距离。

高三第一轮复习训练题
数学〔十五〕〔直线、平面、简单几何体1〕参考答案
一、选择题
1．B 2．.B 3．C 4．C 5．D 6．D 7．A 8．C 9．B 10．A 11．C 12．C
二、填空题
13．1662a 14．⎪⎭
⎫ ⎝⎛2,0π 15． 3 16．. ①②④。

三、解答题
17．解法一〔1〕连AF ，FC 1，因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱且各棱长都等于2，又F 为BB 1中点， ∴Rt △ABF ≌Rt △C 1B 1F ，∴AF ＝FC 1. 又在△AFC 1中，FD ⊥AC 1， 因此D 为AC 1的中点，即
11
=DC AD
.
〔2〕取AC 的中点E ，连接BE 及DE ，易得DE 与FB 平行且相等，因此四边形DEBF 是平行四边形，因此FD 与BE 平行。

因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，
因此△ABC 是正三角形，∴BE ⊥AC ，∴FD ⊥AC ，又∵FD ⊥AC 1，∴FD ⊥平面ACC 1， 因此二面角F －AC 1－C 的大小为︒90.
〔3〕运用等积法求解：AC ＝2，AF ＝CF ＝5，可求2=∆ACF S ，
3
3
2233111=⨯⨯==--ACC B ACC F V V ，
h S V V ACF ACF C ACC F ⨯==∆--3
1
11，得3=h .
解法二取BC 的中点O ，建立如下图的空间直角坐标系。

由得()
()()()()()0,1,1,0,2,1,0,2,1,0,0,1,0,0,1,3,0,011F C B C B A -- 〔1〕设
λ=1
DC AD ， 那么23,,11D λλλλ⎛⎫
- ⎪ ⎪++⎝⎭
，
()
3,2,1,13,11,1211--=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++-+--=AC FD λλλλλ
011=⋅∴⊥AC AC
即()
013
31121211=+⨯-++-⨯++--⨯
-λ
λλλλ
解得1=λ，即
11
=DC AD
. 〔4分〕 〔2〕设平面F AC 1的一个法向量为()111,,1n x y =
()
3,1,1=AF ，由1n AF ⊥得0311=-+y x ，
又由11n AC ⊥，得03211=-+-y x ，
1113,333
x
n y ⎧=⎪⎛⎫⎪∴∴= ⎪⎨ ⎪⎝⎭⎪=⎪⎩
同上可得平面ACC 1的一个法向量为()
2n =-.
121232330110,n n n n ⋅=-⨯
+⨯+⨯=∴⊥. 故二面角F －AC 1－C 的大小为︒90.
〔3〕设平面AFC 的一个法向量为(),,1n x y =， 由n AF ⊥得()
3,0,1;03-
-==-+
AC y x 又， 由n
AC ⊥得03=--x .
解得()
3,x n y ⎧=⎪∴=-⎨
=⎪⎩
因此C 1到平面AFC 的距离为1
n AC d n
⋅=
()
()()
313231
3322312
2
2
=++-⨯-⨯+-⨯-=
.
L
K
C
D
A
L
K
E
C A B
D
P
P
D
B A
C
E
O
E
C
A
B
D
P
18．证明：〔1〕∵NA=NB=NC ∴N 是△ABC 外接圆的圆心，可得∠ACB=90°，即BC ⊥AC
∵CM ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴MC ⊥BC ∴BC ⊥面MAC ∴BC ⊥MA
〔2〕取MB 的中点P ，连结CP ，NP ，那么NP//AM ，因此∠PNC 是直线AM 与CN 所成的角， 令AN=NB=NC=1， ∴AM=2，NP=1，CP=
2
1
MB=1 在△CPN 中，CP=NP=CN=1 ∴∠PNC=60° 19．．〔1〕证明：连结BD 交AC 于点O ，连结EO ．
O 为BD 中点，E 为PD 中点，
∴EO//PB ．
EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC ，
∴ PB//平面AEC ．
〔2〕证明： P 点在平面ABCD 内的射影为A ，
∴P A ⊥平面ABCD ．
⊂CD 平面ABCD ，
∴CD PA ⊥．
在正方形ABCD 中AD CD ⊥且A AD PA =⋂，
∴CD ⊥平面P AD ． 又 ⊂CD 平面PCD ，
∴平面⊥PCD 平面PAD ．
〔3〕解法1：取AD 中点L ，过L 作LK ⊥AC 于K ，连接EK 、EL,
L 为AD 中点，∴ EL//P A ，
∴ EL ⊥平面ABCD ，
∴ LK 为EK 在平面ABCD 内的射影． 又 LK ⊥AC, ∴ EK ⊥AC, ∴EKL ∠为二面角E —AC —D 的平面角． 在Rt ∆ADC 中，LK ⊥AC ， ∴AKL ∆∽ADC ∆,
z
y
x
E
C
A
B
D
P
∴
AC AL DC KL =,即2
212KL =
，∴ 22KL = ， 在Rt ELK ∆中，22
2
1
KL EL EKL tan ===
∠， ∴二面角E —AC —D 的正切值为2．
解法2：如图，以A 为坐标原点，AP AD AB ,,所在直线分不为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．
由P A=AB=2可知A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分不为 A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0), D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) ．
P A ⊥平面ABCD ，∴是平面ABCD 的法向量，=〔0, 0, 2〕．
设平面AEC 的法向量为),,(z y x =, AE (0,1,1),=,
AC (2,2,0)=
那么⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.
0,
0AC n 即⎩⎨⎧=++=++.0022,00y x z y
∴ ⎩⎨
⎧-=-=.
,
y x y z
∴ 令1-=y ,那么)1,1,1(-=. ∴3
13
22|
|||,cos =
⨯=
⋅>=
<n AP n AP ,
∴2,tan >=<．
∴二面角E —AC —D 的正切值为2．
20．⑴作AO ⊥BC 交BC 的延长线于O ，∵面ABC ⊥面BCD ，∴OA ⊥面BCD ，连OD ，那么∠ADO
确实是AD 与平面BCD 所成的角，可求得∠ADO ＝45º
⑵作OE ⊥BD 于E ，连AE ，那么BD ⊥AE ，
∴∠AEO 确实是二面角A －BD －C 的平面角的补角，
∵∠ABO ＝60º，∴3AO AB =
，12OB AB =，∵∠EBO ＝60º，∴3OE OB =
在R t △AOE 中，tan 2AO AEO EO
∠=
=，∴二面角A －BD －C 的正切值为2
21. 解法一
〔1〕证明：∵ABCD 为正方形，△P AD 是直角三角形，且P A=AD=2，
∴AD ⊥AB ，AD ⊥P A 又AB ∩P A=A ，
∴AD ⊥面P AB. ∵E 、F 分不是线段P A 、PD 的中点， ∴EF/AD ，∴EF ⊥面P AB.
又EF ⊂面EFG ，∴面EFG ⊥面P AB.
〔2〕解：取BC 的中点M ，连结GM 、AM 、EM ，那么GM//BD ， ∴∠EGM 〔或其补角〕确实是异面直线EG 与BD 所成的角. 在Rt △MAE 中， 622=+=AM EA EM ，同理6=EG ，
又22
1
==
BD GM ， ∴在△MGE 中，
63
2
626262cos 222=
⋅-+=⋅-+=∠GM EG ME GM EG EGM 故异面直线EG 与BD 所成的角为arccos
6
3
， 〔3〕解：取AB 中点H ，连结GH ，HE ，那么GH//AD//EF ， ∴E 、F 、G 、H 四点共面，过点A 作A T ⊥HE 于T ，
∵面EFGH ⊥面P AB ，∴A T ⊥平面EFGH ，……9分 ∴A T 确实是点A 到平面EFG 的距离.……10分 在Rt △AEH 中，AE=AH=1，
∴22
2
11=
⨯=⋅=
EH AH AE AT ， 故点A 到平面EFG 的距离为2
2
解法二：建立如下图的空间直角坐标系A －xyz ， 那么A 〔0，0，0〕，B 〔2，0，0〕，C 〔2，2，0〕，D 〔0，2，0〕， P 〔0，0，2〕，E 〔0，0，1〕，F 〔0，1，1〕，G 〔1，2，0〕.
（1） 证明：∵EF =〔0，1，0〕，AP =〔0，0，2〕，
=〔2，0，0〕，
∴EF ·AP =0×0+1×0+0×2=0，
·=0×2+1×0+0×0=0，
∴EF ⊥AP ，EF ⊥AB.
又∵AP 、AB ⊂面P AB ，且P A ∩AB=A ，
∴EF ⊥平面P AB. 又EF ⊂面EFG ，∴平面EFG ⊥平面P AB.
〔2〕解：∵)0,2,2(),1,2,1(-=-=BD EG , 6
322642,cos =
⋅+-=
>=
<∴BD EG ， 故异面直线EG 与BD 所成的角为arcos
6
3. 〔3〕解：设平面EFC 的法向量n =〔x ,y ,z 〕，
那么⎩
⎨
⎧=-+=∴⎪⎩⎪⎨⎧=-⋅=⋅=⋅=⋅02,0,0)1,2,1(),,(,0)0,1,0(),,(z y x y z y x EG n z y x 令z=1，得=〔1，0，1〕 又=〔0，0，1〕，
∴点A 到平现EFG
的距离.2
2
2
1=
=
=
d 22〔1〕证明：连结OC ,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥ ,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥
在AOC ∆
中，由可得1,AO CO == 而2,AC =
222,AO CO AC ∴+=90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥ ,BD OC O = AO ∴⊥平面BCD
〔2〕解：取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC ∴直线OE 与EM 所成的锐角确实是异面直线AB 与CD 所成的角 在OME ∆中，
111,222
EM AB OE DC =
=== A
B
M
D
E
O
C
OM 是直角AOC ∆斜边AC 上的中线，1
1,2
OM AC ∴=
=
cos OEM ∴∠=
∴异面直线AB 与CD
所成角的大小为 〔3〕解：设点E 到平面ACD 的距离为.h
11
, (33)
E ACD A CDE ACD CDE V V h S AO S --∆∆=∴=
在ACD ∆
中，2,CA CD AD ==
=12ACD S ∆∴==
而211,22
CDE AO S ∆=
=
=
1.72
CDE
ACD
AO S h S
∆∆⨯
∴=
=
= ∴点E 到平面ACD 7。