2020高三第一轮复习训练题数学(15)(直线平面简单几何体1)
2020高三第一轮复习训练题数学(15)(直线平面简单几
何体1)
数学〔十五〕〔直线、平面、简单几何体1〕
一、选择题:本大题共12小题,每题5分,共60分,在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符合题目要求的。
1. 二面角l αβ--的大小为0
60,,m n 为异面直线,且,m n αβ⊥⊥,那么,m n 所成的角为 A .0
30 B .0
60 C .0
90 D .0
120
2.在空间四边形ABCD 中,AB 、BC 、CD 、DA 上分不取E 、F 、G 、H 四点,假如GH 、
EF 交于一点P ,那么
A .P 一定在直线BD 上
B .P 一定在直线A
C 上
C .P 在直线AC 或B
D 上 D .P 既不在直线BD 上,也不在AC 上
3.如图S 为正三角形所在平面ABC 外一点,且SA =SB =SC =AB ,E 、F 分不为SC 、AB 中点,那么异面直线EF 与SA 所成角为
A .90o
B .60o
C .45o
D .30o
4..直线m 、n 与平面α、β,给出以下三个命题: ①假设m ∥α,n ∥α,那么m ∥n ;②假设m ∥α,n ⊥α,那么n ⊥m ;③假设m ⊥α,m ∥β,那么α⊥β.其中真命题的个数是
A .0
B .1
C ..2
D .3
5.假设a 、b 为空间两条不同的直线,α、β为空间两个不同的平面,那么a α⊥的一个充分条件是
A .//a β且αβ⊥
B .a β?且αβ⊥
C .a b ⊥且//b α
D .a β⊥且//αβ
6.在北纬45°圈上有A 、B 两地,A 地在东经120°,B 地在西经150°,设地球半径为R ,那么A 、
B 两地的球面距离为
A .R π3
5
B .R π2
1
C .
R π4
2 D .R π3
1
7.关于直线m 、n 和平面a ,下面命题 中的真命题是 A .假如,a m ?n ∥a ,n m 、共面,那么m ∥n
B .假如,a m ?n 与a 相交,那么n m 、是面直线
C .假如n m a n a m 、,,??是异面直线,那么n ∥a
D .假如m ∥a ,n ∥a ,n m 、共面,那么m ∥n
8.P A 、PB 、PC 是从点P 引出的三条射线,每两条射线的夹角均为60o,那么直线PC 与平面APB 所成角的余弦值是
A .1
2
B .
6 C .
3 D .
3 9.设直线m n 、和平面αβ、,那么以下命题中正确的选项是...... A .假设//m n m n αβ??,,,那么//αβ B .假设//m n m n αβ?⊥,,,那么αβ⊥ C .假设m m n n αβ⊥⊥?,,,那么//αβ D .假设//m n m n αβ⊥⊥,,,那么αβ⊥ 10.设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点,在以下命题中,不正确的选项是....... A .假设AB=AC ,DB=DC ,那么AD=BC B .假设AC 与BD 是异面直线,那么AD 与BC 是异面直线
C .假设AC 与B
D 共面,那么AD 与BC 共面 D .假设AB=AC ,DB=DC ,那么AD ⊥BC 11.关于平面α和共面的直线m 、,n 以下命题中真命题是 A .假设,,m m n α⊥⊥那么n α∥ B .假设m αα∥,n ∥,那么m ∥n
C .假设,m n αα?∥,那么m ∥n
D .假设m 、n 与α所成的角相等,那么m ∥n
12.如下图,b 、c 在平面α内,a ∩c=B ,b ∩c=A ,且a ⊥b ,a ⊥c ,
b ⊥
c ,假设C ∈a ,D ∈b ,E 在线段AB 上〔C ,D ,E 均异于A ,B 〕,那么△CDE 是 A .锐角三角形 B .直角三角形 C .钝角三角形 D .等腰三角形
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
二、填空题:本大题共4小题;每题4分,共16分,把答案填在题中的横线上。
13.△A ′B ′C ′是水平放置的边长为a 的正三角形△ABC 的斜二测平面直观图,那么△A ′B ′C ′的面积为
14.正四棱锥中,侧面等腰三角形的顶角的取值范畴为 。
15.如图,ABCD 中,AB=3,BC=1,EF ∥BC 且AE=2EB ,G 为BC 中点,K 为△ADF 的外心,沿EF 将矩形折成一个120°的二面角A —EF —B ,那么现在KG 的长是 ; 16.给出以下四个命题:
A
D
O
P
D
B
A
C
E
①假如一条直线和一个平面平行,通过这条直线的平面和那个平面相交,那么这条直线和交线平行, ②假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于那个平面 ③假如两条直线都平行于一个平面,那么这两条直线互相平行,
④假如一个平面通过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直. 其中真命题的是 。
三、解答题〔本大题共6小题,共74分〕
17. 如图,正三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各棱长都等于2,D 在AC 1上,F 为BB 1中点,且FD ⊥AC 1。
〔1〕试求1
DC AD
的值;
〔2〕求二面角F -AC 1-C 的大小; 〔3〕求点C 1到平面AFC 的距离.
18.在三棱锥M —ABC 中,CM ⊥平面ABC ,MA=MB ,NA=NB=NC. 〔1〕求证:AM ⊥BC ;
〔1〕假设∠AMB=60°,求直线AM 与CN 所成的角.
19. 如图,在四棱锥ABCD P -中,四边形ABCD 为正方形,P 点在
平面ABCD 内的射影为A ,且2==AB PA ,E 为PD 中点.
〔1〕证明:PB //平面AEC ; 〔2〕证明:平面⊥PCD 平面PAD ; 〔3〕求二面角D AC E --的正切值.
20.如图,△ABC 和△DBC 所在平面互相垂直,且AB =BC =BD ,∠ABC =∠DBC =120o,求:⑴A 、D 连线和平面DBC 所成的角;⑵二面角A —BD —C 的正切值。
21. 如图,平面P AD ⊥平面ABCD ,ABCD 为正方形,
△P AD 是直角三角形,且P A=AD=2,E 、F 、G 分不是 线段P A 、PD 、CD 的中点. 〔1〕求证:EFG ⊥平面P AB ;
〔2〕求异面直线EG 与BD 所成的角; 〔3〕求点A 到平面EFG 的距离.
22.〔本小题总分值12分〕 如图,四面体ABCD 中,O 、E 分不是BD 、BC 的中点,
A
B
C
D
F
1
A 1
1
C
2, 2.CA CB CD BD AB AD ====== 〔1〕求证:AO ⊥平面BCD ;
〔2〕求异面直线AB 与CD 所成角的大小;
〔3〕求点E 到平面ACD 的距离。
高三第一轮复习训练题
数学〔十五〕〔直线、平面、简单几何体1〕参考答案
一、选择题
1.B 2..B 3.C 4.C 5.D 6.D 7.A 8.C 9.B 10.A 11.C 12.C
二、填空题
13.1662a 14.??
? ??2,0π 15. 3 16.. ①②④。
三、解答题
17.解法一〔1〕连AF ,FC 1,因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1是正三棱柱且各棱长都等于2,又F 为BB 1中点, ∴Rt △ABF ≌Rt △C 1B 1F ,∴AF =FC 1. 又在△AFC 1中,FD ⊥AC 1, 因此D 为AC 1的中点,即
11
=DC AD
.
〔2〕取AC 的中点E ,连接BE 及DE ,易得DE 与FB 平行且相等,因此四边形DEBF 是平行四边形,因此FD 与BE 平行。
因为三棱柱ABC -A 1B 1C 1是正三棱柱,
因此△ABC 是正三角形,∴BE ⊥AC ,∴FD ⊥AC ,又∵FD ⊥AC 1,∴FD ⊥平面ACC 1, 因此二面角F -AC 1-C 的大小为?90.
〔3〕运用等积法求解:AC =2,AF =CF =5,可求2=?ACF S ,
3
3
2233111=??==--ACC B ACC F V V ,
h S V V ACF ACF C ACC F ?==?--3
1
11,得3=h .
解法二取BC 的中点O ,建立如下图的空间直角坐标系。
由得()
()()()()()0,1,1,0,2,1,0,2,1,0,0,1,0,0,1,3,0,011F C B C B A -- 〔1〕设
λ=1
DC AD , 那么23,,11D λλλλ??
- ? ?++??
,
()
3,2,1,13,11,1211--=???
?
??++-+--=AC FD λλλλλ
011=?∴⊥AC AC
即()
013
31121211=+?-++-?++--?
-λ
λλλλ
解得1=λ,即
11
=DC AD
. 〔4分〕 〔2〕设平面F AC 1的一个法向量为()111,,1n x y =
()
3,1,1=AF ,由1n AF ⊥得0311=-+y x ,
又由11n AC ⊥,得03211=-+-y x ,
1113,333
x
n y ?=????∴∴= ?? ????=??
同上可得平面ACC 1的一个法向量为()
2n =-.
121232330110,n n n n ?=-?
+?+?=∴⊥. 故二面角F -AC 1-C 的大小为?90.
〔3〕设平面AFC 的一个法向量为(),,1n x y =, 由n AF ⊥得()
3,0,1;03-
-==-+
AC y x 又, 由n
AC ⊥得03=--x .
解得()
3,x n y ?=?∴=-?
=??
因此C 1到平面AFC 的距离为1
n AC d n
?=
()
()()
313231
3322312
2
2
=++-?-?+-?-=
.
L
K
C
D
A
L
K
E
C A B
D
P
P
D
B A
C
E
O
E
C
A
B
D
P
18.证明:〔1〕∵NA=NB=NC ∴N 是△ABC 外接圆的圆心,可得∠ACB=90°,即BC ⊥AC
∵CM ⊥平面ABC ,BC ?平面ABC ,∴MC ⊥BC ∴BC ⊥面MAC ∴BC ⊥MA
〔2〕取MB 的中点P ,连结CP ,NP ,那么NP//AM ,因此∠PNC 是直线AM 与CN 所成的角, 令AN=NB=NC=1, ∴AM=2,NP=1,CP=
2
1
MB=1 在△CPN 中,CP=NP=CN=1 ∴∠PNC=60° 19..〔1〕证明:连结BD 交AC 于点O ,连结EO .
O 为BD 中点,E 为PD 中点,
∴EO//PB .
EO ?平面AEC ,PB ?平面AEC ,
∴ PB//平面AEC .
〔2〕证明: P 点在平面ABCD 内的射影为A ,
∴P A ⊥平面ABCD .
?CD 平面ABCD ,
∴CD PA ⊥.
在正方形ABCD 中AD CD ⊥且A AD PA =?,
∴CD ⊥平面P AD . 又 ?CD 平面PCD ,
∴平面⊥PCD 平面PAD .
〔3〕解法1:取AD 中点L ,过L 作LK ⊥AC 于K ,连接EK 、EL,
L 为AD 中点,∴ EL//P A ,
∴ EL ⊥平面ABCD ,
∴ LK 为EK 在平面ABCD 内的射影. 又 LK ⊥AC, ∴ EK ⊥AC, ∴EKL ∠为二面角E —AC —D 的平面角. 在Rt ?ADC 中,LK ⊥AC , ∴AKL ?∽ADC ?,
z
y
x
E
C
A
B
D
P
∴
AC AL DC KL =,即2
212KL =
,∴ 22KL = , 在Rt ELK ?中,22
2
1
KL EL EKL tan ===
∠, ∴二面角E —AC —D 的正切值为2.
解法2:如图,以A 为坐标原点,AP AD AB ,,所在直线分不为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系.
由P A=AB=2可知A 、B 、C 、D 、P 、E 的坐标分不为 A(0, 0, 0), B(2, 0, 0),C(2, 2, 0), D(0, 2, 0), P(0, 0, 2), E(0, 1, 1) .
P A ⊥平面ABCD ,∴是平面ABCD 的法向量,=〔0, 0, 2〕.
设平面AEC 的法向量为),,(z y x =, AE (0,1,1),=,
AC (2,2,0)=
那么?????=?=?.
0,
0AC n 即???=++=++.0022,00y x z y
∴ ??
?-=-=.
,
y x y z
∴ 令1-=y ,那么)1,1,1(-=. ∴3
13
22|
|||,cos =
?=
?>=
∴2,tan >=<. ∴二面角E —AC —D 的正切值为2. 20.⑴作AO ⊥BC 交BC 的延长线于O ,∵面ABC ⊥面BCD ,∴OA ⊥面BCD ,连OD ,那么∠ADO 确实是AD 与平面BCD 所成的角,可求得∠ADO =45o ⑵作OE ⊥BD 于E ,连AE ,那么BD ⊥AE , ∴∠AEO 确实是二面角A -BD -C 的平面角的补角, ∵∠ABO =60o,∴3AO AB = ,12OB AB =,∵∠EBO =60o,∴3OE OB = 在R t △AOE 中,tan 2AO AEO EO ∠= =,∴二面角A -BD -C 的正切值为2 21. 解法一 〔1〕证明:∵ABCD 为正方形,△P AD 是直角三角形,且P A=AD=2, ∴AD ⊥AB ,AD ⊥P A 又AB ∩P A=A , ∴AD ⊥面P AB. ∵E 、F 分不是线段P A 、PD 的中点, ∴EF/AD ,∴EF ⊥面P AB. 又EF ?面EFG ,∴面EFG ⊥面P AB. 〔2〕解:取BC 的中点M ,连结GM 、AM 、EM ,那么GM//BD , ∴∠EGM 〔或其补角〕确实是异面直线EG 与BD 所成的角. 在Rt △MAE 中, 622=+=AM EA EM ,同理6=EG , 又22 1 == BD GM , ∴在△MGE 中, 63 2 626262cos 222= ?-+=?-+=∠GM EG ME GM EG EGM 故异面直线EG 与BD 所成的角为arccos 6 3 , 〔3〕解:取AB 中点H ,连结GH ,HE ,那么GH//AD//EF , ∴E 、F 、G 、H 四点共面,过点A 作A T ⊥HE 于T , ∵面EFGH ⊥面P AB ,∴A T ⊥平面EFGH ,……9分 ∴A T 确实是点A 到平面EFG 的距离.……10分 在Rt △AEH 中,AE=AH=1, ∴22 2 11= ?=?= EH AH AE AT , 故点A 到平面EFG 的距离为2 2 解法二:建立如下图的空间直角坐标系A -xyz , 那么A 〔0,0,0〕,B 〔2,0,0〕,C 〔2,2,0〕,D 〔0,2,0〕, P 〔0,0,2〕,E 〔0,0,1〕,F 〔0,1,1〕,G 〔1,2,0〕. (1) 证明:∵EF =〔0,1,0〕,AP =〔0,0,2〕, =〔2,0,0〕, ∴EF ·AP =0×0+1×0+0×2=0, ·=0×2+1×0+0×0=0, ∴EF ⊥AP ,EF ⊥AB. 又∵AP 、AB ?面P AB ,且P A ∩AB=A , ∴EF ⊥平面P AB. 又EF ?面EFG ,∴平面EFG ⊥平面P AB. 〔2〕解:∵)0,2,2(),1,2,1(-=-=BD EG , 6 322642,cos = ?+-= >= <∴BD EG , 故异面直线EG 与BD 所成的角为arcos 6 3. 〔3〕解:设平面EFC 的法向量n =〔x ,y ,z 〕, 那么? ? ?=-+=∴?????=-?=?=?=?02,0,0)1,2,1(),,(,0)0,1,0(),,(z y x y z y x EG n z y x 令z=1,得=〔1,0,1〕 又=〔0,0,1〕, ∴点A 到平现EFG 的距离.2 2 2 1= = = d 22〔1〕证明:连结OC ,,.BO DO AB AD AO BD ==∴⊥ ,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥ 在AOC ? 中,由可得1,AO CO == 而2,AC = 222,AO CO AC ∴+=90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥ ,BD OC O = AO ∴⊥平面BCD 〔2〕解:取AC 的中点M ,连结OM 、ME 、OE ,由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC ∴直线OE 与EM 所成的锐角确实是异面直线AB 与CD 所成的角 在OME ?中, 111,222 EM AB OE DC = === A B M D E O C OM 是直角AOC ?斜边AC 上的中线,1 1,2 OM AC ∴= = cos OEM ∴∠= ∴异面直线AB 与CD 所成角的大小为 〔3〕解:设点E 到平面ACD 的距离为.h 11 , (33) E ACD A CDE ACD CDE V V h S AO S --??=∴= 在ACD ? 中,2,CA CD AD == =12ACD S ?∴== 而211,22 CDE AO S ?= = = 1.72 CDE ACD AO S h S ??? ∴= = = ∴点E 到平面ACD 7