近世代数课件--5.1 扩域,素域

形式的元，这里 ， ， …，是 S 中的任意有限个 元素，而 f 和 f ( 0) 是 F 上的这些 的多项式．这是 F 因为： ( S ) 既然是含有 F 和 S 的一个域，它必然含有一 切可以写成形式（１）的元；令一方面，一切可以写成 形式（１）的元已经作成一个含有 F 和 S 的域．
由（２）和（３），得
F ( S 1 )( S 2 ) F ( S 1 S 2 )
同样可以得到
F ( S 2 )( S 1 ) F ( S 1 S 2 )
证完
根据定理３，我们可以把添加一个有限集归结为陆续添 加单个的元素，例如
， F ( 1 2，…，
n
) F ( 1 )( 2 ) ( n )
E 定理2 另 E 是一个域．若 E 的特征是∞，那么 包含一个与有理数域同构的素域；若 E 的特征是 素数 p ，那么 E 包含一个与 R ( p ) 同构的素域．
由定理2，一个任意域都是一个素域的扩域；因此，如果 我们能够决定素域的所有扩域，我们就掌握了所有的 域．但事实上研究素域的扩域并不比研究一个任意域 F 的扩域来的容易．因此我们研究域的普通方法是：设法决 E 定一个任意域的所有扩域 ． 现在我们极粗略地描述一下一个扩域的结构． 另 E 是域 F 的一个扩域．我们从 E 里取出一个子集 S 来．我们用 F ( S ) 表示含 F 和 S 的 E 的最小子域，把它 叫做添加集合 S 于 F 所得的扩域．
定义 添加一个元素 于 的一个单扩域（扩张）．
F
域所得的扩域 F ( ) 叫做域
F
单扩域是最简单的扩域．我们在下一节将先讨论这种 扩域的结构．

：
n ne
显然是整数环 R 到 R ' 的一个同态满射． 情形１． E 的特征是 ．这时是一个同构映射：

：
'
RR
'
'
但 E 包含R ' 的商域F ．由Ⅲ，10，定理 ： 4，F 与 R 的商域，也就是有理数域同构．
E 情形2． 的特征是素数
p
．这时
R A R
'
此处
A
是 的核．但
F ( S )的存在容易看出．因为
的确有含 F 和 S 的 子域，例如 E 本身．一切这样的子域的交集显然是 含 F 和 S 的 E 的最小子域．
E
F 更具体地说， ( S ) 刚好包含
E
的一切可以写成
f 1 ( 1， 2， ， n )
（１）
f 2 ( 1， 2， ， n )
S1
和
S2
上
E
F ( S 1 )( S 2 ) F ( S 1 S 2 ) F ( S 2 )( S 1 )
证明 F ( S )( S )是一个包含 S 、 F 和 S 的 E 的子域， 而 F ( S S ) 是包含 F 和 S S 的 E 的最小子域．因 此 F ( S 1 )( S 2 ) F ( S 1 S 2 ) （２）
1
2
n
1
2
适当选择 S ，我们可以使 E F ( S ) ．例如，取 S E ， 就可以作到这一点．实际上，为了作到这一点，常常 只须取 E 的一个真子集 S ．
现在假定 E F ( S ) ．那么按照上面的分析，E 是一切添 加 S 的有限子集于 F 所得子域的并集．这样，求 E 就归纳为求添加有限集于 F 所得的子域以及求这些 子域的并集．
1 2
1
2
1
2
1
2
另一方面，F ( S S ) 是一个包含 F 、 S 1 和 S ，因而是 一个包含 F ( S ) 和 S 2 的 E 的子域．但 F ( S )( S ) 是包含F ( S 和 S 的 E 的最小子域，因此
1 2 2
2
1
1
1
)
2
（３）
F ( S 1 )( S 2 ) F ( S 1 S 2 )
p pe 0
所以 p A ，因而 ( p ) A ．由Ⅳ，３，引理２， ( p ) 是一个最大理想．
另一方面，
1 e 0
所以
A R
而
A ( p)
'
，因而
R ( p) Rຫໍສະໝຸດ 证完有理数域和 R
( p)
显然都不含真子域．
定义 一个域叫做一个素域，假如它不含真子域． 由定理１知道：一个素域或是与 R ( p ) 有理数同构， 或是与同构．因此定理１的另一形式是
第五章 扩域
在这一章里我们要对于域作一些进一步的 讨论．我们不准备证明一些复杂的结构定 理，而主要是对单扩域、代数扩域、多项 式的分裂域、有限域和可离扩域作一些讨 论．
这就有如何选择域的 F 问题．我们有以下事实 定理１ 令 E 是一个域．若 E 的特征是 ，那 么 E 含有一个与有理数域同构的子域；若 E 的 特征是素数 p ，那么 E 含有一个与 R ( p ) 同构的 子域，这里 R 是整数环，( p ) 是由 p 生成的主 理想．
§１．扩域、素域
我们先说明一下，研究域所用的方法． 定义 一个域 E 叫做一个域 F 的扩域（扩张），假如 F 是 E 的子域． 我们知道，实数域是在它的子域有理数域上建立起来的， 而复数域是在它的子域实数域上建立起来的．研究域的方 法就是：从一个给定的域 F 出发，来研究它的括域．
证明 域 E 包含一个单位元 e ．因此 E 也包含所有 ne n 是整数）．令 R ' 是所有 ne ． 作成的集 （ 合．那么
S 若 S是一个有限集： 把 F ( S )记作
F ( ， 1
} { 1， 2，…， n，那么我们也
2 ，…， n
)
F
叫做添加元素 ，
1
2
，…， 于
n
所得的子域．
为了便于讨论添加有限个元素所得的子域，我们证 明下述的一般定理．
定理３ 令 E 是域 F 的一个扩域，而 的两个子集．那么