高级宏观经济学 袁志刚版 部分配套习题的答案

第二讲 单期代表性行为人模型

1.若效用函数现为：

γγ-=1),(l c l c u （10<<γ）

其他条件与实例中给出的相同，试分别求分散经济与计划经济的最优解。 计划者目标函数为：

}{max 1,γγ-l c l

c ..t s αα--==10)(l h zk y c

代约束条件进目标函数，可以得到无约束的最大化问题：

{}

γγαα---110])([max l l h zk l 一阶条件为：

)(l FOC γγααγγγγααγγγγα-------=--l l h k z l l h k z )1()()()1()1(011)1(0

求解可得： αγ

γ--=*1)1(h l αγαγ--=

*1)1(h n 代*n 进生产函数可得： αααγαγ-**⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==101)1(h zk y c

企业利润函数为：

wn k r n zk -+-=-)1(1ααπ

企业利润最大化的一阶条件为：

0)1(11=+-=∂∂--r n k z k

αααπ 0)1(=--=∂∂-w n k z n

αααπ 利用这两个一阶条件可以取得均衡的价格解，为：

αααγαγ-*⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=1)1(0h zk w 11)1(110-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=--*α

ααγαγαh k z r

2.考虑一个具有如下代表性行为人的模型。代表性消费者的效用函数如下： l c l c u +=β),(

其中，c 是消费，l 是闲暇，且0>β。消费者拥有一单位的时间禀赋和0k 单位的资本。代表性企业生产消费品的技术由如下的生产函数来表示：

αα-=1n Ak y

其中，y 是产出，A 是全要素生产率，k 是资本投入，n 是劳动投入，且10<<α。记w 为市场的实际工资，r 为资本的租金率。

a.试求解实现竞争均衡时的所有价格和数量。

b.试分析全要素生产率A 的一个变化会对消费、产出、就业、实际工资以及资本租金率产生怎样的影响。

解：a.第一步，分析消费者行为：

l c l c u l

c l c +=β,,max ),(max ..t s 0)1()1(k r l w c ++-=

代约束条件进目标函数，可转化为无约束的最大化问题。

l k r l w l

+++-])1()1([max 0β 对l 求一阶导数，并令其为零，可得：

β1

=w

第二步，分析企业的行为：

d d d d d

k k r wn n Ak )1()1(1δπαα-++--=- n FOC 0)1(=---w n Ak d d ααα

d k FOC 011=----δαααr n Ak d d

根据市场出清条件，可得如下方程组：

⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧=+==----0111)1(k k r n Ak n Ak d

d d d d δαβααααα

求解得：

[]

[]⎪⎩⎪⎨⎧--=-=-**δαβααβααααα1110)1()1(A r k A n 第三步，全部均衡解：

[]αααβ10

)1(11k A n l --=-=** [][]011100)1()1(k A k A Ak c y αααα

α

αααβαβ--**-=-== β1

=*w

或者，考虑计划经济情形：

l c l c u l

c l c +=β,,max ),(max ..t s αα--=10)1(l Ak c

代约束条件进目标函数，可转化为无约束的最大化问题：

()[]

l l Ak l +--ααβ10)1(max 对l 求一阶导数，并令其为零，可得：

1)1()1(0=---αααβl Ak

解得：

[]αααβ10

)1(1k A l --=* []αααβ10

)1(k A n -=*

b.()0)1()1(101<---=∂∂-k A A l αααβαβα

()0)1()1(101>--=∂∂-k A A n αααβαβα

()0)1(1011>-=∂∂=∂∂--k A A c A y αααααβα

()0)1(11>-=∂∂--αααααβA A r 0=∂∂A

w 说明：闲暇将随技术进步而减少，因而就业将随技术进步而增加；产出、消费和资本租金率将随技术进步而上升；实际工资不会随技术进步的变化而变化。

3.考虑一个如下的含有政府的代表性行为人的经济。消费者的偏好由如下的效用函数代表：

g l c l c u ln ln ln ),(γθ++=

这里，c 是消费；l 是闲暇；g 是政府购买；0,>γθ。消费者拥有一单位的时间禀赋。私人消费品的生产技术如下：

zn y =

这里，y 是产出，n 是劳动投入，0>z 。假设政府通过向消费者征收一个总额税来为自己的购买融资。

（1）对于一个给定的g ，试求均衡时的消费、产出和就业。证明这些均衡数量是帕累托最优的。

（2）试分析当政府购买发生变化时，这些均衡数量会受到怎样的影响。平衡预算乘数时大于1还是小于1，解释之。

（3）现在假设政府是一个“仁慈”的政府，它将选择一个最优的g 。也就是说，政府将选择一个合适的g 去最大化代表性行为人的福利。试求解最优水平的政府购买数量。

解：

（1）在给定0,>τg 时，消费者的最优规划问题可以表述如下：

]ln ln [ln max ,g l c l

c γθ++ ..t s τ--=)1(l w c

代约束条件进目标函数，可以转化为无约束的极值问题：

{}g l l w l

ln ln ])1(ln[max γθτ++-- 该最大化问题的一阶条件为： 0)1(=+---l

l w w θτ 利用这一一阶条件，可以求得消费者的闲暇需求函数： ⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=w l τθθ11 )

1()(θτθ+-=w w 利用闲暇的需求函数，再加上消费者的时间约束和预算约束，我们可以进一步求得消费者的劳动供给和消费需求函数： )

1(θθτ++=w w n ， θτ+-=1w c 从企业的利润最大化问题中，我们能得到：

z w =

竞争均衡的定义要求政府的预算要平衡：

τ=g

代这些表达式进入消费者的闲暇和消费需求函数中，可以得到如下的竞争均衡数量： )1()(θθ+-=z g z l ， )

1(θθ++=z g z n ， θ+-=1g z c 注意，当我们把消费者的时间预算代进其预算约束的时候，我们已经运用了劳动市场的出清条件，l n -=1。利用或者商品市场出清条件，y g c =+，或者生产函数，zn y =，并与上述均衡数量相结合，可以求得均衡产量：