第4章 世代交叠模型 (1)
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央计划者（social planner）替代市场来运作，则可以使每一代人的消费水平都上升。中央计划
ˆ ，而未来代际的消费水平 c ˆgold 也会比原来的消费水 者通过增加当期消费减少储蓄而达到 k gold
平高。 与此相反，在储蓄不足情况下，则没有帕累托改进的机会，因为要将有效人均资本提高到 黄金律水平，必然会让现在几代人的消费水平下降而使未来代际的人消费水平上升。 既然在世代交叠模型中市场是完全竞争的而且也没有外部性，为什么可能达不到帕累托最 优呢？换言之，为什么“福利经济学第一定理”（First Welfare Theorem）不适用呢？这主要 是因为福利经济学第一定理假定经济中的消费者人数为有限。将有限的消费者推广到无限的消 费者时①，“悖论”就产生了。在市场经济下，老年期的消费一定要通过青年期的储蓄来提 供，尽管储蓄的回报率（利率）可能并不高。如果由中央计划者来分配资源，则可以将现期年 轻人的一部分收入转移给老年人消费，到下一期时再让下一期的年轻人补偿下一期的老年人
ˆ 是k ˆ 的单调递增凹函数。通过相图 4.1，可以看出差分方程(4.19)有唯一的 容易看出， k t +1 t ˆ （不考虑“原点”），并且是整体稳定的（globally stable）。因此，经济将趋向于一 均衡点 k
*
⎡ ⎤ α 1− α ˆ =⎢ ˆ ≡ Dk ˆα ⎥k k t +1 t ⎢⎣ (1 + n)(1 + g )(2 + ρ ) ⎥⎦ t
因此，储蓄率是利率的函数，
(1 + ρ ) θ (1 + ρ ) + (1 + rt +1 )
1 θ 1−θ θ
wt
(4.12)
C s (rt +1 ) ≡ 1− 1t = wt
(1 + rt +1 )
1 θ
1−θ θ 1−θ θ
(4.13)
(1 + ρ ) + (1 + rt +1 )
特别地，如果 θ = 1 （即为对数效用函数），则储蓄率不依赖于利率，因为“替代效应” （substitution effect）与“收入效应”（income effect）正好抵消。 在一般的情况下，现期消费函数可以简洁地写为，
(4.19)
ˆ 的代数表达式为， 个平衡的增长路径。均衡点 k
*
⎡ ⎤ 1−α 1− α ˆ* = ⎢ ⎥ k ⎢⎣ (1 + n)(1 + g )(2 + ρ ) ⎥⎦
1
(4.20)
ˆ k t +1
Dktα
45 D
ˆ k 0
ˆ* k
ˆ k t
3
图 4.1、世代交叠模型的相图 4.3 黄金律与过度储蓄的可能性 世代交叠模型实际上已经偏离了严格意义上的代表性经济主体（representative agent）模 型，因为不同代际之间的人并不完全相同（heterogeneous agents），比如面临的技术水平、消 费水平以及可以达到的效用水平都不相同。因此，要对整个经济的 福利状况作评价，就面临 如何对各代人的福利以某种权重进行加总的问题（80 后、90 后的权重不同？）。 但我们仍然可以探讨“帕累托最优”问题（Pareto optimum），即在不影响任何人的福利的 前提下，是否可能提高某个人的福利。一般来说，世代交叠模型并不能达到帕累托最优。具体
Lt 。年轻人提供一单位的劳动力，并将劳动 1+ n
收入分为现期消费与储蓄。老年人退休后不再劳动，而只是消费青年时期的储蓄以及储蓄的利息。 以 C1t 与 C2 t 表示在时间 t 年轻一代与年老一代的消费。 如果第一个下标为 “1” ， 则表示 “年轻” ； 第一个下标为“2” ，则表示“年老” 。第二个下标表示当下的时间为第 t 期。记时间 t 出生的“ t 世代 人”的 CRRA 效用函数记为 U t 。
ˆ ）的特例。此时，储蓄函数简化为， Douglas 生产函数（ k
α
s (rt +1 ) =
工资函数简化为，
1 2+ρ
(4.17)
ˆα − k ˆ (αk ˆα−1 )⎤ = A (1− α )k ˆα wt = At ⎡⎢ k t t t t ⎥⎦ ⎣ t
因此，差分方程(4.16)可以简化为，
(4.18)
(4.8)
一阶条件为，
∂L θ = C1− t −λ = 0 ∂C1t ∂L 1 λ −θ = C2, =0 t +1 − ∂C2, t +1 1 + ρ 1 + rt +1
综合方程(4.9)与(4.10)并消去拉格朗日乘子 λ 可得，
(4.9) (4.10)
C2, t +1 C1t
θ ⎛1 + rt +1 ⎞ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 1+ ρ ⎠
①
因为在世代交叠模型中有无穷多的世代。
4
（即上一期的年轻人）。由于有无穷多的世代，这一过程可以永远进行下去，因此每代人的消 费与福利都会改善。而自由市场经济却做不到这一点，这被称为“动态低效率”（dynamic inefficiency）。 例：“面包会有的”。假设经济中有无限多个人，编号为 1, 2, 3, 4, " ，每人的初始禀赋为 1 块面包。假设中央计划者让第 2 个人将他的面包给第 1 个人，让第 3 个人将他的面包给第 2 个人，以此类推。则第 1 个人将有 2 块面包，而所有其他人都还有 1 块面包。根据同样的逻辑 第 2 个人也可以有 2 块面包，……，所有人都可以有 2 块面包。事实上，所有人都可以有任意 多的面包。这就证明了“面包总是会有的”。 例：希尔伯特旅馆（Hilbert hotel）。假设一个五星级宾馆有无穷多个房间，而每个房间都 住了一位客人。这时候又来了一个新客人，还可以住下吗？可以！只要让原来住 1 号房间的客 人搬到 2 号房间，原来住 2 号房间的客人搬到 3 号房间，以此类推；然后让新客人住 1 号房 间。事实上，即使来了无穷可数个（countably infinite）新客人也能住下！只要让原来住第 n 号 房间的老客人住到 2n 号房间即可，这样所有奇数号房间都空出来了，可以将所有新客人安排 到奇数号房间。 4.4 利他主义、馈赠与无穷视野 在上面的世代交叠模型中，不同的代际之间没有任何“利他主义”（altruism）的联系，即 父母不爱子女，子女也不爱父母。这里我们假设父母爱子女，即将子女的效用作为自己效用的 一部分，并因此“馈赠”（bequest）财富给子女。可以证明，在此条件下，世代交叠模型将表 现得好像无穷视野的新古典增长模型一样。 假设 t 世代人的效用为，
1 ˆ )−δ s f ′(k t +1 (1 + n)(1 + g ) ˆ 的非线性差分方程。由于 k ˆ 方程(4.16)是一个关于 k ˆ = k t +1
(
) ⎡⎣⎢ f (kˆ ) − kˆ f ′(kˆ )⎤⎦⎥
t t t
(4.16)
t +1 同时出现在方程(4.16)的两边，这更
增加了求解的难度。为了得到一个较好的解，我们考虑对数效用函数（ ln C ）与 Cobb-
①
(4.14)
(4.15)
这是因为，下一期的资本一定为本期的年轻人所拥有，因为在下一期时，本期的老年人已经不在了，而下一 期的年轻人还刚刚出生，一无所有。而本期的年轻人在下一期所拥有的资本只能来源于本期年轻人在本期的储 蓄。因此，在 OLG 经济中，下一期的资本就等于本期年轻人的储蓄。
2
由于年老一代并不关心年轻一代的效用，因此年老一代将把他们拥有的所有资本卖给年轻 一代以供自己消费。因此，经济中下一期的资本总量就等于上一期年轻一代的总储蓄。可以认 为，世代交叠模型中的年轻人都是工人，而老年人都是资本家。而每个人一出生就是拥有完全 工作能力的成年人。 将方程(4.15)两边同时除以 At +1 Lt +1 可得，
第4章
世代交叠模型
4.1 离散时间模型 由于宏观经济的统计指标常常是月度、季度甚至更大尺度的年度数据，因此使用“离散时间” （discrete time）模型可能更为合适，特别是当需要将理论模型与数据相联系时。 离散时间的宏观经济模型主要分为两大类，即“无穷视野模型” （infinite horizon）与“世代交叠 模型” （overlapping generations） 。 无穷视野模型与前面几章的连续时间模型相似，即经济中的消费者都长生不老，只是时间变量 为非负整数，即 0,1,2,3，…。但是，有时我们需要研究不同代际之间的更替，比如“社会保障问题” （social security） 、内生人口增长问题等。如果假设个体的寿命为有限 ①，则必须考虑新一代人替代 老一代人，并为更新的一代人所替代，如此反复。最简单的模型设置就是世代交叠模型，即每一代 人只活两期，称为“青年”与“老年” 。世代交叠模型最早由Samuelson(1948)与Diamond(1964)提出。 离散时间模型与连续时间模型的另一区别是，前者在动态最优化后得到的是差分方程，而后者 是微分方程。 4.2 世代交叠模型 假设在第 t 期共有 Lt 人口出生 ②，而人口增长率为 n 。因此， L= (1 + n ) Lt −1 。由于每一代人只 t 活两期，故在时间 t ，青年人口为 Lt ，而老年人口为
ˆ 超过黄金律水平的 k ˆ 。我们知 来说，世代交叠经济可能过度储蓄，导致有效人均资本 k gold
*
ˆ 是以下最大化问题的解， 道，黄金律的有效人均资本 k gold ˆ) − (n + g + δ )k ˆ ˆ = f (k max c ˆ
k
(4.21)
其一阶条件为，
ˆ ) = n+ g +δ f ′( k gold
1
(4.11)
方程(4.11)与无穷视野模型中的“欧拉方程”（Euler equation）相似。方程(4.11)意味着如 果 rt +1 > ρ ，则 C2, t +1 > C1t ，即下一期的消费高于本期的消费。 结合预算约束(4.7)与方程(4.11)，可以求解现期消费函数 C1t ，
1
C1t =
α (1 + n)(1 + g )(2 + ρ ) < n + g + δ 1− α
(4.23)
(4.24)
假设每年的人口增长率为 1%，每年技术进步率为 2%，每年的时间贴现率为 2%，而每年 的资本折旧率为 5%。进一步，假设每一期为 30 年，即每人的寿命为 60 岁（如果加上模型所 不考虑的童年期 18 年，则寿命为 78 岁）。将所有年率折为三十年率，则有
= Ut
1−θ 1−θ 1 C2,t +1 C1 t ， + θ > 0 ，ρ > 0 1−θ 1+ ρ 1−θ
（4.1）
其中， ρ 为时间贴现率。当时间从 t 流逝到 (t + 1) 时，年轻人（第一下标为 1）也变成了老年人 （第一下标为 2） 。生产函数的形式与新古典增长模型相同，
Yt = F ( K t , At Lt )
C1t = ⎡⎣1− s (rt +1 )⎤⎦ wt 经济在时间 (t + 1) 的总资本等于在时间 t 时年轻一代的总储蓄①，即 ˆ )−k ˆ f ′( k ˆ )⎤ L K t +1 = s (rt +1 ) wt Lt = s (rt +1 ) At ⎡⎢ f (k t t t ⎥ t ⎣ ⎦
n = (1 + 0.01)30 −1 ≈ 0.35 ， g = (1 + 0.02)30 −1 ≈ 0.81 ， ρ = (1 + 0.02)30 −1 ≈ 0.81 ， δ = 1− (1− 0.05)30 ≈ 0.79 。将这些取值代入(4.24)式，则(4.24)式成立的条件大约是， α < 0.25 (4.25) 显然，如果 α 很小，则(4.24)式有可能满足，即出现过度储蓄。此时，如果经济由一位中
（4.2）
其中， （因为只有年轻人才工作） 。 假设技术水平 A 的外生增长速度为 g ， Lt 为第 t 期的年轻人口 即
At +1 =(1 + g ) At
（4.3）
ˆ≡ 定义 k
K Y ˆ≡ ，y ，将生产函数写成“密集型” （intensive form） ， AL AL
ˆ) ˆ t = f (k y t
其中， δ 为资本折旧率。t 世代人的跨期预算约束（intertemporal budget constraint）为，
ˆ )−δ rt = f ′(k t ˆ )−k ˆ f ′( k ˆ )⎤ wt = At ⎡⎢ f (k t t t ⎥ ⎣ ⎦
(4.5) (4.6)
C1t +
C2, t +1 1 + rt +1
*
(4.22)
ˆ=k ˆ 时，有效人均资本 c ˆ 的表达式(4.20)可得， ˆ 达到最大化。另一方面，代入 k 当k gold ˆ* ) = α k ˆ*α−1 = α (1 + n)(1 + g )(2 + ρ ) f ′( k 1− α * * ˆ ) < f ′( k ˆ ) ，则 k ˆ >k ˆ 。而 f ′(k ˆ* ) < f ′ ( k ˆ ) 意味着， 如果 f ′( k gold gold gold
（4.4）
在连续； 时间下， 也可以假设个体的寿命为有限， 且有世代更替。 在某个时刻， 都有无穷多个连续分布的时代 （cohorts） 共存。这类模型较少使用。
① ②
在此， Lt 并不指在时间 t 时的总人口，而是在时间 t 出生的年轻人口。 1
根据企业利润最大化所决定的实际利率与工资率分别为，
= wt
(4.7)
其中，上式左边为终生消费的贴现值，右边为劳动收入（劳动力供给为 1）。写下 t 世代 人最大化问题的拉格朗日函数，
1−θ 1−θ ⎡ C2, t +1 ⎤ C1 1 C2, t +1 t ⎥ max L = + + λ ⎢ wt − C1t − ⎢ ⎥ {C1t , C2, t+1} + 1− θ 1 + ρ 1− θ 1 r t +1 ⎦ ⎣
ˆ ，而未来代际的消费水平 c ˆgold 也会比原来的消费水 者通过增加当期消费减少储蓄而达到 k gold
平高。 与此相反，在储蓄不足情况下，则没有帕累托改进的机会，因为要将有效人均资本提高到 黄金律水平，必然会让现在几代人的消费水平下降而使未来代际的人消费水平上升。 既然在世代交叠模型中市场是完全竞争的而且也没有外部性，为什么可能达不到帕累托最 优呢？换言之，为什么“福利经济学第一定理”（First Welfare Theorem）不适用呢？这主要 是因为福利经济学第一定理假定经济中的消费者人数为有限。将有限的消费者推广到无限的消 费者时①，“悖论”就产生了。在市场经济下，老年期的消费一定要通过青年期的储蓄来提 供，尽管储蓄的回报率（利率）可能并不高。如果由中央计划者来分配资源，则可以将现期年 轻人的一部分收入转移给老年人消费，到下一期时再让下一期的年轻人补偿下一期的老年人
ˆ 是k ˆ 的单调递增凹函数。通过相图 4.1，可以看出差分方程(4.19)有唯一的 容易看出， k t +1 t ˆ （不考虑“原点”），并且是整体稳定的（globally stable）。因此，经济将趋向于一 均衡点 k
*
⎡ ⎤ α 1− α ˆ =⎢ ˆ ≡ Dk ˆα ⎥k k t +1 t ⎢⎣ (1 + n)(1 + g )(2 + ρ ) ⎥⎦ t
因此，储蓄率是利率的函数，
(1 + ρ ) θ (1 + ρ ) + (1 + rt +1 )
1 θ 1−θ θ
wt
(4.12)
C s (rt +1 ) ≡ 1− 1t = wt
(1 + rt +1 )
1 θ
1−θ θ 1−θ θ
(4.13)
(1 + ρ ) + (1 + rt +1 )
特别地，如果 θ = 1 （即为对数效用函数），则储蓄率不依赖于利率，因为“替代效应” （substitution effect）与“收入效应”（income effect）正好抵消。 在一般的情况下，现期消费函数可以简洁地写为，
(4.19)
ˆ 的代数表达式为， 个平衡的增长路径。均衡点 k
*
⎡ ⎤ 1−α 1− α ˆ* = ⎢ ⎥ k ⎢⎣ (1 + n)(1 + g )(2 + ρ ) ⎥⎦
1
(4.20)
ˆ k t +1
Dktα
45 D
ˆ k 0
ˆ* k
ˆ k t
3
图 4.1、世代交叠模型的相图 4.3 黄金律与过度储蓄的可能性 世代交叠模型实际上已经偏离了严格意义上的代表性经济主体（representative agent）模 型，因为不同代际之间的人并不完全相同（heterogeneous agents），比如面临的技术水平、消 费水平以及可以达到的效用水平都不相同。因此，要对整个经济的 福利状况作评价，就面临 如何对各代人的福利以某种权重进行加总的问题（80 后、90 后的权重不同？）。 但我们仍然可以探讨“帕累托最优”问题（Pareto optimum），即在不影响任何人的福利的 前提下，是否可能提高某个人的福利。一般来说，世代交叠模型并不能达到帕累托最优。具体
Lt 。年轻人提供一单位的劳动力，并将劳动 1+ n
收入分为现期消费与储蓄。老年人退休后不再劳动，而只是消费青年时期的储蓄以及储蓄的利息。 以 C1t 与 C2 t 表示在时间 t 年轻一代与年老一代的消费。 如果第一个下标为 “1” ， 则表示 “年轻” ； 第一个下标为“2” ，则表示“年老” 。第二个下标表示当下的时间为第 t 期。记时间 t 出生的“ t 世代 人”的 CRRA 效用函数记为 U t 。
ˆ ）的特例。此时，储蓄函数简化为， Douglas 生产函数（ k
α
s (rt +1 ) =
工资函数简化为，
1 2+ρ
(4.17)
ˆα − k ˆ (αk ˆα−1 )⎤ = A (1− α )k ˆα wt = At ⎡⎢ k t t t t ⎥⎦ ⎣ t
因此，差分方程(4.16)可以简化为，
(4.18)
(4.8)
一阶条件为，
∂L θ = C1− t −λ = 0 ∂C1t ∂L 1 λ −θ = C2, =0 t +1 − ∂C2, t +1 1 + ρ 1 + rt +1
综合方程(4.9)与(4.10)并消去拉格朗日乘子 λ 可得，
(4.9) (4.10)
C2, t +1 C1t
θ ⎛1 + rt +1 ⎞ ⎟ =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎝ 1+ ρ ⎠
①
因为在世代交叠模型中有无穷多的世代。
4
（即上一期的年轻人）。由于有无穷多的世代，这一过程可以永远进行下去，因此每代人的消 费与福利都会改善。而自由市场经济却做不到这一点，这被称为“动态低效率”（dynamic inefficiency）。 例：“面包会有的”。假设经济中有无限多个人，编号为 1, 2, 3, 4, " ，每人的初始禀赋为 1 块面包。假设中央计划者让第 2 个人将他的面包给第 1 个人，让第 3 个人将他的面包给第 2 个人，以此类推。则第 1 个人将有 2 块面包，而所有其他人都还有 1 块面包。根据同样的逻辑 第 2 个人也可以有 2 块面包，……，所有人都可以有 2 块面包。事实上，所有人都可以有任意 多的面包。这就证明了“面包总是会有的”。 例：希尔伯特旅馆（Hilbert hotel）。假设一个五星级宾馆有无穷多个房间，而每个房间都 住了一位客人。这时候又来了一个新客人，还可以住下吗？可以！只要让原来住 1 号房间的客 人搬到 2 号房间，原来住 2 号房间的客人搬到 3 号房间，以此类推；然后让新客人住 1 号房 间。事实上，即使来了无穷可数个（countably infinite）新客人也能住下！只要让原来住第 n 号 房间的老客人住到 2n 号房间即可，这样所有奇数号房间都空出来了，可以将所有新客人安排 到奇数号房间。 4.4 利他主义、馈赠与无穷视野 在上面的世代交叠模型中，不同的代际之间没有任何“利他主义”（altruism）的联系，即 父母不爱子女，子女也不爱父母。这里我们假设父母爱子女，即将子女的效用作为自己效用的 一部分，并因此“馈赠”（bequest）财富给子女。可以证明，在此条件下，世代交叠模型将表 现得好像无穷视野的新古典增长模型一样。 假设 t 世代人的效用为，
1 ˆ )−δ s f ′(k t +1 (1 + n)(1 + g ) ˆ 的非线性差分方程。由于 k ˆ 方程(4.16)是一个关于 k ˆ = k t +1
(
) ⎡⎣⎢ f (kˆ ) − kˆ f ′(kˆ )⎤⎦⎥
t t t
(4.16)
t +1 同时出现在方程(4.16)的两边，这更
增加了求解的难度。为了得到一个较好的解，我们考虑对数效用函数（ ln C ）与 Cobb-
①
(4.14)
(4.15)
这是因为，下一期的资本一定为本期的年轻人所拥有，因为在下一期时，本期的老年人已经不在了，而下一 期的年轻人还刚刚出生，一无所有。而本期的年轻人在下一期所拥有的资本只能来源于本期年轻人在本期的储 蓄。因此，在 OLG 经济中，下一期的资本就等于本期年轻人的储蓄。
2
由于年老一代并不关心年轻一代的效用，因此年老一代将把他们拥有的所有资本卖给年轻 一代以供自己消费。因此，经济中下一期的资本总量就等于上一期年轻一代的总储蓄。可以认 为，世代交叠模型中的年轻人都是工人，而老年人都是资本家。而每个人一出生就是拥有完全 工作能力的成年人。 将方程(4.15)两边同时除以 At +1 Lt +1 可得，
第4章
世代交叠模型
4.1 离散时间模型 由于宏观经济的统计指标常常是月度、季度甚至更大尺度的年度数据，因此使用“离散时间” （discrete time）模型可能更为合适，特别是当需要将理论模型与数据相联系时。 离散时间的宏观经济模型主要分为两大类，即“无穷视野模型” （infinite horizon）与“世代交叠 模型” （overlapping generations） 。 无穷视野模型与前面几章的连续时间模型相似，即经济中的消费者都长生不老，只是时间变量 为非负整数，即 0,1,2,3，…。但是，有时我们需要研究不同代际之间的更替，比如“社会保障问题” （social security） 、内生人口增长问题等。如果假设个体的寿命为有限 ①，则必须考虑新一代人替代 老一代人，并为更新的一代人所替代，如此反复。最简单的模型设置就是世代交叠模型，即每一代 人只活两期，称为“青年”与“老年” 。世代交叠模型最早由Samuelson(1948)与Diamond(1964)提出。 离散时间模型与连续时间模型的另一区别是，前者在动态最优化后得到的是差分方程，而后者 是微分方程。 4.2 世代交叠模型 假设在第 t 期共有 Lt 人口出生 ②，而人口增长率为 n 。因此， L= (1 + n ) Lt −1 。由于每一代人只 t 活两期，故在时间 t ，青年人口为 Lt ，而老年人口为
ˆ 超过黄金律水平的 k ˆ 。我们知 来说，世代交叠经济可能过度储蓄，导致有效人均资本 k gold
*
ˆ 是以下最大化问题的解， 道，黄金律的有效人均资本 k gold ˆ) − (n + g + δ )k ˆ ˆ = f (k max c ˆ
k
(4.21)
其一阶条件为，
ˆ ) = n+ g +δ f ′( k gold
1
(4.11)
方程(4.11)与无穷视野模型中的“欧拉方程”（Euler equation）相似。方程(4.11)意味着如 果 rt +1 > ρ ，则 C2, t +1 > C1t ，即下一期的消费高于本期的消费。 结合预算约束(4.7)与方程(4.11)，可以求解现期消费函数 C1t ，
1
C1t =
α (1 + n)(1 + g )(2 + ρ ) < n + g + δ 1− α
(4.23)
(4.24)
假设每年的人口增长率为 1%，每年技术进步率为 2%，每年的时间贴现率为 2%，而每年 的资本折旧率为 5%。进一步，假设每一期为 30 年，即每人的寿命为 60 岁（如果加上模型所 不考虑的童年期 18 年，则寿命为 78 岁）。将所有年率折为三十年率，则有
= Ut
1−θ 1−θ 1 C2,t +1 C1 t ， + θ > 0 ，ρ > 0 1−θ 1+ ρ 1−θ
（4.1）
其中， ρ 为时间贴现率。当时间从 t 流逝到 (t + 1) 时，年轻人（第一下标为 1）也变成了老年人 （第一下标为 2） 。生产函数的形式与新古典增长模型相同，
Yt = F ( K t , At Lt )
C1t = ⎡⎣1− s (rt +1 )⎤⎦ wt 经济在时间 (t + 1) 的总资本等于在时间 t 时年轻一代的总储蓄①，即 ˆ )−k ˆ f ′( k ˆ )⎤ L K t +1 = s (rt +1 ) wt Lt = s (rt +1 ) At ⎡⎢ f (k t t t ⎥ t ⎣ ⎦
n = (1 + 0.01)30 −1 ≈ 0.35 ， g = (1 + 0.02)30 −1 ≈ 0.81 ， ρ = (1 + 0.02)30 −1 ≈ 0.81 ， δ = 1− (1− 0.05)30 ≈ 0.79 。将这些取值代入(4.24)式，则(4.24)式成立的条件大约是， α < 0.25 (4.25) 显然，如果 α 很小，则(4.24)式有可能满足，即出现过度储蓄。此时，如果经济由一位中
（4.2）
其中， （因为只有年轻人才工作） 。 假设技术水平 A 的外生增长速度为 g ， Lt 为第 t 期的年轻人口 即
At +1 =(1 + g ) At
（4.3）
ˆ≡ 定义 k
K Y ˆ≡ ，y ，将生产函数写成“密集型” （intensive form） ， AL AL
ˆ) ˆ t = f (k y t
其中， δ 为资本折旧率。t 世代人的跨期预算约束（intertemporal budget constraint）为，
ˆ )−δ rt = f ′(k t ˆ )−k ˆ f ′( k ˆ )⎤ wt = At ⎡⎢ f (k t t t ⎥ ⎣ ⎦
(4.5) (4.6)
C1t +
C2, t +1 1 + rt +1
*
(4.22)
ˆ=k ˆ 时，有效人均资本 c ˆ 的表达式(4.20)可得， ˆ 达到最大化。另一方面，代入 k 当k gold ˆ* ) = α k ˆ*α−1 = α (1 + n)(1 + g )(2 + ρ ) f ′( k 1− α * * ˆ ) < f ′( k ˆ ) ，则 k ˆ >k ˆ 。而 f ′(k ˆ* ) < f ′ ( k ˆ ) 意味着， 如果 f ′( k gold gold gold
（4.4）
在连续； 时间下， 也可以假设个体的寿命为有限， 且有世代更替。 在某个时刻， 都有无穷多个连续分布的时代 （cohorts） 共存。这类模型较少使用。
① ②
在此， Lt 并不指在时间 t 时的总人口，而是在时间 t 出生的年轻人口。 1
根据企业利润最大化所决定的实际利率与工资率分别为，
= wt
(4.7)
其中，上式左边为终生消费的贴现值，右边为劳动收入（劳动力供给为 1）。写下 t 世代 人最大化问题的拉格朗日函数，
1−θ 1−θ ⎡ C2, t +1 ⎤ C1 1 C2, t +1 t ⎥ max L = + + λ ⎢ wt − C1t − ⎢ ⎥ {C1t , C2, t+1} + 1− θ 1 + ρ 1− θ 1 r t +1 ⎦ ⎣