2.1 复变函数的极限与连续性解析

的极限不存在. 事实上, 当z沿直线y=kx趋于零时,
x ikx 1 ik lim f ( z ) lim . z 0 x 0 x ikx 1 ik y kx
该极限值随k值的变化而变化, 所以极限
lim f ( z )
z 0
wk.baidu.com不存在.
z 0 x0 iy0 则 • 定理：设f ( z) u( x, y) iv( x, y) ， lim f ( z ) A u 0 iv0
z z0 z z0
任意 0, 存在 0，当0<|z-z0 |< 则， |f(z)-A|< 又因为 f ( z ) - A f ( z ) A
f ( z ) - A 得证
z Re z 例2 当 z0 时, 函数(1) f ( z ) (z 0);(2) f ( z ) z z
• 例1 试求下列函数的极限.
z zz z z 1 lim （1） zlim （ 2 ） z 1 1 i z z 1
2 2
解： （1）法1 设 z x iy ，则 z x iy ，且
z x iy x y i 2 xy x iy 2 2 2 2 x y x y z z x2 y2 2 xy 得： lim i lim 2 i lim 2 2 2 x 1 x y x 1 x y z 1 i z
所以 f ( z ) A 2 ,
二、极限四则运算法则
lim g ( z ) B，则 • 设 lim f ( z ) A ， z z0 z z0 (1) lim[ f ( z ) g ( z )] lim f ( z ) lim g ( z ) A B
z z0 z z0 z z0
0
1、讨论 函数 的连续性
sin z , e z , cos z , e z , shz, chz
• 函数 sin z , e z , cos z , 在整个复平面上连续 • 2、讨论 函数
e , shz, chz
z
sec z , cs c z , tan z , cot z 的连续性 函数 sec z , cs c z , tan z , cot z 在分母不为零处连续
证明:
只须注意, 由等式
2 2 f z A u( x , y ) u0 v ( x , y ) v 0

,
1 2
可得不等式
u( x , y ) u0 f ( z ) A ,
v ( x , y ) v0 f ( z ) A .
所以 f ( z ) A ,
反之， u( x , y ) u0 ,
v ( x , y ) v0 .
又有不等式
f ( z ) A u( x , y ) u0 v ( x , y ) v0 .
u( x , y ) u0 ,
v ( x , y ) v0 .
lim[ f ( z ) g ( z )] lim f ( z ) lim g ( z ) AB (2) z z zz zz
0 0 0
(3)
f ( z ) z z0 A lim ( B 0) z z0 g ( z ) lim g ( z ) B
z z0
lim f ( z )
z z0
的充分必要条件为:
x x0 y y0
lim u ( x, y ) u0 且 lim v( x, y ) v0 x x
y y 0 0
于是有：
z z0
lim f ( z ) lim u ( x, y ) i lim v( x, y )
x x0 y y0 x x0 y y0
y 1 y 1
法2
z 1 i z zlim lim 1i i z 1 i z lim z 1 i
z 1i
（ 2） 设 z
x iy ，则 z x iy ，得
zz z z 1 ( z 1)( z 1) lim lim z 1 z 1 z 1 z 1
第二章 导数
2.1 复变函数的极限与连续性
• 一、极限 • 定义 设函数 f ( z )在 z0 的某去心邻域内有定义， 若对任意给定的正数 （无论它多么小）总存 在正数 ，使得适合不等式 ( ) 0 z z0 ( ) ) 的所有 z ，对应的函数值 f ( z都满足不等式
u
当z从平面上任一方向、沿任何路径、以任意 方式趋近于z0时，f ( z )均以A为极限。
判断： z 0与x 0、y 0之间的关系 z 0、z 0与|z| 0三者之间的关系
例1 若lim f ( z) A, 则lim|f ( z)| |A|
f ( z) A 则称复常数 A为函数 f ( z )当时 z z 0 的极限， 记作： lim f ( z ) A 或 f ( z) A ( z z 0 ) zz
0
几何意义:
y z
v f(z)
z0
O A lim f ( z )
z z0
A
x O 意味着：
lim( z 1) 2
z 1
•三、 复变函数的连续
• 定义 设 f ( z )在点 z0 的某邻域内有定义， f ( z ) f ( z 0 )，则称函数f ( z ) 在点 z0处连续. 若 zlim z • 若 f ( z )在区域 D 内每一个点都连续，则称 函数 f ( z )在区域 D内连续. • 定理1 函数 f ( z) u( x, y) iv( x, y)，在 z 0 x0 iy0 处连续的充要条件是 u ( x, y)和 v( x, y )都在点( x0 , y0 ) 处连续. • 定理2 在 z0 处连续的两个函数的和、差、积、 商（分母在 z0 处不等于零）在 z0 处仍连续.