【高考真题汇编】2017年高考数学理科真题汇编解析：第03章导数与定积分

第三章 导数与定积分

第一节 导数的概念与运算

题型30 导数的定义——暂无 题型31 求函数的导数 题型32 导数的几何意义

1.(2017北京理19)已知函数()e cos x

f x x x =-.

（1）求曲线()y f x =在点()()

0,0f 处的切线方程； （2）求函数()f x 在区间π0,2

⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上的最大值和最小值.

解析 （1）因为()e cos x f x x x =-，所以()e (cos sin )1x f x x x '=--，(0)0f '=. 又因为(0)1f =，所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为1y =. （2）设()e(c o s s i n )1x hx x x =--

，则()e(c o s s i n s i n c o s )2e s

i n x x

h x x x x x x '=---=-

.

当π0,

2x ⎛

⎫∈ ⎪⎝

⎭时，()0h x '<，所以()h x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦

上单调递减. 所以对任意π0,2x ⎡⎤

∈⎢⎥⎣⎦

，有()(0)0h x h =…，即()0f x '….

所以函数()f x 在区间π0,2

⎡⎤

⎢⎥⎣⎦

上单调递减.

因此()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为(0)1f =，最小值为ππ

22f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.

第二节 导数的应用

题型33 利用导数研究函数的单调性 题型34 利用导函数研究函数的极值与最值

1.（2017江苏20）已知函数()321f x x ax bx =+++()0,a b >∈R 有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x 的零点（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）. （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：2

3b a >；

（3）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于7

2

-

，求a 的取值范围． 解析 （1）由()321f x x ax bx =+++，得()232f x x ax b =++'，

当3a x =-时，()f x '有极小值为2

3

a b -．

因为()f x '的极值点是()f x 的零点，

所以331032793a a a ab f ⎛⎫

-=-+-+= ⎪⎝⎭

，又0a >，故2239a b a =+． 当()2

2120a b ∆=-…时，()2320f x x ax b =++'…恒成立，即()f x 单调递增， 所以此时()f x 不存在极值，不合题意．

因此2

4120a b ∆=->，即232

2231927

30933a a a a a a a ⎛⎫--+=-=> ⎪⎝⎭

，所以3a >．

()=0f x '有两个相异的实根1=

3a x -，2=3

a x -. 列表如下

故()f x 的极值点是12,x x ，从而3a >.

所以b 关于a 的函数关系式为223

9a b a

=+，定义域为()3,+∞． （2）解法一：由（1）知，即证明2

22339

a a a ⎛⎫+>

⎪⎝⎭，即4244

39138a a a a ++>， 因为0a >，所以问题等价于6

3

41357290a a -+>，

不妨设3

t a =，则()27,t ∈+∞，不妨设()24135729g t t t =-+，

易知()g t 在135,8⎛⎫+∞

⎪⎝⎭

上单调递增，且135278<， 从而()()227427135277290g t g >=⨯-⨯+=，即6

3

41357290a a -+>得证． 因此2

3b a >．

解法二（考试院提供）：由（1

+

． 设()23=9t g t t +，则()222

23227

=99t g t t t --='．

当t ⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0g t '>，从而()g t

在⎫+∞⎪⎝⎭

上单调递增． 因为3a >

，所以>

，故(

(

g g >=

因此2

3b a >．

（3）由（1）设()2320f x x ax b =++='的两个实根为12,x x ，且设12x x <，

且有12123123x x a x x b

⎧

+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩

，因此222

12469a b x x -+=．

而()f x 的情况如下表所示：

所以()f x 的极值点是12,x x ，

从而()()3232

1211122211=f x f x x ax bx x ax bx +=+++++++

()()()()2222

12112212121232322=3333x x x ax b x ax b a x x b x x ++++++++++ ()()221212122=33

a x x

b x x ++++ 3423227a ab -+324223202739a a a a ⎛⎫=-++= ⎪⎝⎭

． 记()f x ，()f x '所有极值之和为()h a ，

因为()f x '的极值为2213

39a b a a

-

=-+，所以()2139h a a a =-+，3a >． 处理方法一：因为()223

=09h a a a

'-

-<，于是()h a 在()3,+∞上单调递减． 因为()7

6=2

h -

，由()()6h a h …，故6a …． 处理方法二：所以()2137

92

h a a a =-+-…，整理得3263540a a --…（必然可以猜测零点），

()()2621290a a a -++…，因此6a …．

因此a 的取值范围为(]3,6．

评注 ①此题第（2）问考查的是数值大小的比较，常见的有作差法、作商法、两边平方比较法，此题采用作商（考试院解法二）化简函数达到简化效果，可见对于压轴问题，方法的选择是非常关键的．

②第（3）问实际考查的是函数零点的应用，下面提供此前我们做过的两个类似习题供参考．