全国大学生数学建模比赛论文中国人口预测模型
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我们将预测区间分为 20０6～2０30 年、203０～2050 年两个区间，以量化 未来我国短中期与长期的人口变化。
关键词： 人口数量的变化 人口指数模型 Loｇｉstｉc 模型 灰度预测
模型 ＭATＬＡB Excｅl
1 / 17
目
录
第一部分
问题重述 …………………………………………………………
（3）
X
(t )
X er (t t. ) 0
1982 年人口自然增长率为 1.1％， X0 11.98504
为了能对比Ｍalthuｓ模型计算的长期值和实际值，取１９８2 年～２0０5 年数 据［2］:
时间（年） 1982 198３ 1９84 １985 １９8６
1987
人口(万人） 1
1
1
Baidu Nhomakorabea
时间（年） 1988 1989 199
（５.1．1） 令 t 0 ,得到 x(t) 满足微分方程
x(t t) rx(t)t
于是 X (t) 满足微分方程:
dx dt
rx,
x(0)
x0
（5.1.2） （二）、模型求解 解微分方程（５。1．2）得：
（５.1．3)
表明： t 时, xt (r 0)
dx(t dt
)
rx(t)
x(0) X0
Cｏｌｕｍns 1２ ｔhｒｏuｇh 2２
11.85７8 12．0250 12．1９4６ １2.3665 １２.５４08 12。 717６ １2。8969 13.０7８8 13.２632 13．4501 １３．6398
Ｃolｕmnｓ 23 through 24
13。8321 14.0271 用 Matｌａb 软件将计算值与实际人口数进行对比： 程序： t=［１9８2 1９83 １９84 1９85 198６ 1987 １988 19８９ １990 19９1 １ ９9２ １9９3 1９９4 199５ １996 19９７ 1９98 １99９ 2000 2０01 2 ００2 ２00３ 200４ 2005］； x=［10１6５4 1030０8 104３57 105851 １07５07 １09３00 １1102６ 112７0 ４ １1433３ 115823 117171 1158１7 119850 121１21 １2238９ １23626 1 ２4761 125786 1２67４３ 1２7627 128453 1292２7 1299８８ 1306２8]; plot（t,ｘ）; ｈoｌd on y＝［１01654 １0３０87 1045４1 １0６014 107５０9 10９0２５ 11０562 11２121 11３701 1１5３0４ １16９30 1１8５78 １20250 1219４6 123665 125４08 12717６ １28９６9 1３0７８8 １32632 1345０１ 13638９ １３ 832１ 1402７１］； ｐｌot(t，ｙ，'r＊＇）; legenｄ（＇实际值’,’预测值’）； hｏｌd ofｆ xlabｅl('年份’）； ｙlabeｌ（'总人口数＇）； ｔitｌe（＇模型计算值与实际值对比’)； grｉd；
二、 模型假设
1、假设题目所给的数据真实可靠； 2、假设不考虑我国人口大规模的朝国外迁移,也不考虑外国人大量涌入我国； ３、假设不考虑战争、自然灾害、疾病对人口数目和性别比的影响； 4、假设在本世纪中叶前，我国计划生育政策稳定。 ５、假设中短期内生育率和死亡率保持相对稳定 6、假设相同年龄段人口性别比基本稳定。 7、假设人口生育率不受传统观念和个人主观因素的影响。
2 / 17
一、问题重述
人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。本题要求根据已知数据，运 用数学建模的思想对我国人口做出分析和预测。具体问题如下：
从中国的实际情况和人口增长的特点，例如我国老龄化进程加快、出生人口 性别比持续升高、乡村人口城镇化等,利用参考附录中所提供的数据，建立中国 人口增长的数学模型，由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，并指 出模型的优缺点。
第二部分 问题分析 …………………………………………………………(3）
第三部分
模型的假
设 ………………………………………………………(3）
第四部分 定义与符号说明 …………………………………………………（3)
第五部分
模型的建立与求解 ………………………………………………
（3）
5。1 模型一……………………………………………………………………(3)
5.２模型二……………………………………………………………………(8)
5.3 模型三 ………………………………………………………………．(12)
第六部分 对模型的评价……………………………………………………(1４)
第七部分 参考文献…………………………………………………………(1５)
第八部分 附表………………………………………………………………（15)
9３
人口(万人) 1１１
４333
1
11581７
时间（年） 1９94 1995 1996 19９7
1998
１999
人口（万人) 1198５
8９ 1２362６ １2476１ 125７８６
时间(年）
2
2
人口（万人）
１ 26743
12762 12８４
７
5３
129227
１29988
１3０628
表一:1994 年-20０５年全国人口数 根据 Malthuｓ模型,用 Mａtｌab 计算１９94～2005 各年的人口总数，程序：
五、模型的建立与求解
５.1．模型一：指数增长模型［１] （一)、模型建立:
记 t 时刻的人口数为 x(t) ，当考察一个国家的人口时， x(t) 为一个人很大的
整数。利用微积分这一数学工具，将 x(t) 看作一个连续、可微函数。记初始时刻
3 / 17
（ t 0 ）的人口为 X 0 。假设人口增长率为常数 r ，即单位时间内 x(t) 的增量等于 r 乘以 x(t) .考虑到 t 到 t t 时间内人口的增量，显然有：
中国人口预测模型
摘要：人口数量的变化,关系到一个国家的未来。认识人口数量的变化规律，建
立人口模型，能够较准确的预报,是有效控制人口增长的前提。本文对人口预测 的数学模型进行了研究.首先，建立人口指数模型、Lｏｇisｔｉc 模型及灰度预 测模型.对我国 20０５年以后 45 年的人口增长进行了预测，根据１982 年人口基 本数据运用模型对 1９８２年~200５年进行了预测，并用实际数据对预测结果进 行了检验。
三、符号说明
符号说明：由于符号较多,在以后的模型中具体给出
四、问题分析
人口发展过程的定量预测，需要预测出未来的人口发展趋势，人口出生、死 亡和自然增长率的变化以及在未来的人口构成等各项人口指数全部测算出来.人 口增长的决定因素为出生率、死亡率和人口基数,鉴于我国人口问题已有多方面 的研究,我们针对近年来我国的人口发展出现的一些新特点，忽略国际人口流动， 故可以认为我国人口为一个封闭的系统。对于封闭的系统来说 ，某时刻人口总 量=人口基数＋新生人口数—死亡人口数。
4 / 17
> t=［198２：1:2005］； t0=1982; x=10。１65４＊exp（0.014＊(t—t0))； 〉〉 x 计算结果 x=
Ｃolｕmns 1 tｈｒouｇh 11
10。１654 10．3087 10．4５41 １０.6014 10。7５09 10．9 ０２5 1１。05６2 11。2121 11.３７0１ 11。5304 11。6930
关键词： 人口数量的变化 人口指数模型 Loｇｉstｉc 模型 灰度预测
模型 ＭATＬＡB Excｅl
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目
录
第一部分
问题重述 …………………………………………………………
（3）
X
(t )
X er (t t. ) 0
1982 年人口自然增长率为 1.1％， X0 11.98504
为了能对比Ｍalthuｓ模型计算的长期值和实际值，取１９８2 年～２0０5 年数 据［2］:
时间（年） 1982 198３ 1９84 １985 １９8６
1987
人口(万人） 1
1
1
Baidu Nhomakorabea
时间（年） 1988 1989 199
（５.1．1） 令 t 0 ,得到 x(t) 满足微分方程
x(t t) rx(t)t
于是 X (t) 满足微分方程:
dx dt
rx,
x(0)
x0
（5.1.2） （二）、模型求解 解微分方程（５。1．2）得：
（５.1．3)
表明： t 时, xt (r 0)
dx(t dt
)
rx(t)
x(0) X0
Cｏｌｕｍns 1２ ｔhｒｏuｇh 2２
11.85７8 12．0250 12．1９4６ １2.3665 １２.５４08 12。 717６ １2。8969 13.０7８8 13.２632 13．4501 １３．6398
Ｃolｕmnｓ 23 through 24
13。8321 14.0271 用 Matｌａb 软件将计算值与实际人口数进行对比： 程序： t=［１9８2 1９83 １９84 1９85 198６ 1987 １988 19８９ １990 19９1 １ ９9２ １9９3 1９９4 199５ １996 19９７ 1９98 １99９ 2000 2０01 2 ００2 ２00３ 200４ 2005］； x=［10１6５4 1030０8 104３57 105851 １07５07 １09３00 １1102６ 112７0 ４ １1433３ 115823 117171 1158１7 119850 121１21 １2238９ １23626 1 ２4761 125786 1２67４３ 1２7627 128453 1292２7 1299８８ 1306２8]; plot（t,ｘ）; ｈoｌd on y＝［１01654 １0３０87 1045４1 １0６014 107５０9 10９0２５ 11０562 11２121 11３701 1１5３0４ １16９30 1１8５78 １20250 1219４6 123665 125４08 12717６ １28９６9 1３0７８8 １32632 1345０１ 13638９ １３ 832１ 1402７１］； ｐｌot(t，ｙ，'r＊＇）; legenｄ（＇实际值’,’预测值’）； hｏｌd ofｆ xlabｅl('年份’）； ｙlabeｌ（'总人口数＇）； ｔitｌe（＇模型计算值与实际值对比’)； grｉd；
二、 模型假设
1、假设题目所给的数据真实可靠； 2、假设不考虑我国人口大规模的朝国外迁移,也不考虑外国人大量涌入我国； ３、假设不考虑战争、自然灾害、疾病对人口数目和性别比的影响； 4、假设在本世纪中叶前，我国计划生育政策稳定。 ５、假设中短期内生育率和死亡率保持相对稳定 6、假设相同年龄段人口性别比基本稳定。 7、假设人口生育率不受传统观念和个人主观因素的影响。
2 / 17
一、问题重述
人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。本题要求根据已知数据，运 用数学建模的思想对我国人口做出分析和预测。具体问题如下：
从中国的实际情况和人口增长的特点，例如我国老龄化进程加快、出生人口 性别比持续升高、乡村人口城镇化等,利用参考附录中所提供的数据，建立中国 人口增长的数学模型，由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测，并指 出模型的优缺点。
第二部分 问题分析 …………………………………………………………(3）
第三部分
模型的假
设 ………………………………………………………(3）
第四部分 定义与符号说明 …………………………………………………（3)
第五部分
模型的建立与求解 ………………………………………………
（3）
5。1 模型一……………………………………………………………………(3)
5.２模型二……………………………………………………………………(8)
5.3 模型三 ………………………………………………………………．(12)
第六部分 对模型的评价……………………………………………………(1４)
第七部分 参考文献…………………………………………………………(1５)
第八部分 附表………………………………………………………………（15)
9３
人口(万人) 1１１
４333
1
11581７
时间（年） 1９94 1995 1996 19９7
1998
１999
人口（万人) 1198５
8９ 1２362６ １2476１ 125７８６
时间(年）
2
2
人口（万人）
１ 26743
12762 12８４
７
5３
129227
１29988
１3０628
表一:1994 年-20０５年全国人口数 根据 Malthuｓ模型,用 Mａtｌab 计算１９94～2005 各年的人口总数，程序：
五、模型的建立与求解
５.1．模型一：指数增长模型［１] （一)、模型建立:
记 t 时刻的人口数为 x(t) ，当考察一个国家的人口时， x(t) 为一个人很大的
整数。利用微积分这一数学工具，将 x(t) 看作一个连续、可微函数。记初始时刻
3 / 17
（ t 0 ）的人口为 X 0 。假设人口增长率为常数 r ，即单位时间内 x(t) 的增量等于 r 乘以 x(t) .考虑到 t 到 t t 时间内人口的增量，显然有：
中国人口预测模型
摘要：人口数量的变化,关系到一个国家的未来。认识人口数量的变化规律，建
立人口模型，能够较准确的预报,是有效控制人口增长的前提。本文对人口预测 的数学模型进行了研究.首先，建立人口指数模型、Lｏｇisｔｉc 模型及灰度预 测模型.对我国 20０５年以后 45 年的人口增长进行了预测，根据１982 年人口基 本数据运用模型对 1９８２年~200５年进行了预测，并用实际数据对预测结果进 行了检验。
三、符号说明
符号说明：由于符号较多,在以后的模型中具体给出
四、问题分析
人口发展过程的定量预测，需要预测出未来的人口发展趋势，人口出生、死 亡和自然增长率的变化以及在未来的人口构成等各项人口指数全部测算出来.人 口增长的决定因素为出生率、死亡率和人口基数,鉴于我国人口问题已有多方面 的研究,我们针对近年来我国的人口发展出现的一些新特点，忽略国际人口流动， 故可以认为我国人口为一个封闭的系统。对于封闭的系统来说 ，某时刻人口总 量=人口基数＋新生人口数—死亡人口数。
4 / 17
> t=［198２：1:2005］； t0=1982; x=10。１65４＊exp（0.014＊(t—t0))； 〉〉 x 计算结果 x=
Ｃolｕmns 1 tｈｒouｇh 11
10。１654 10．3087 10．4５41 １０.6014 10。7５09 10．9 ０２5 1１。05６2 11。2121 11.３７0１ 11。5304 11。6930