2020年中考数学专题——例谈函数综合问题中二倍角的处理

例谈函数综合问题中二倍角的处理
二次函数综合问题在中考数学压轴题中扮演着重要的角色，而二倍角的存在性问题是近年来中考数学命题的热点问题.在初中阶段，点、线、角是构成图形的基本元素，相对于对点和线的处理，学生对角的处理显得比较陌生，往往感到束手无策.本文以一道中考数学题为例，深入剖析二倍角的转化方法，在此与各位同仁作交流探讨.
一、问题呈现
题目 (2018年河南中考题)如图1，抛物线
26y ax x c =++交x 轴于,A B 两点，交y 轴于点C .直线5y x =-经过点,B C .
(1)求抛物线的解析式.
(2}过点
A 的直线交直线BC 于点M .
①当AM BC ⊥时，过抛物线上一动点P (不与点,B C 重合)，作直线AM 的平行线交直线BC 于点Q ，若以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的横坐标; ②连结AC ，当直线AM 与直线BC 的夹角等于ACB ∠的2倍时，请直接写出点M 的坐标。

分析 (1)求出直线5y x =-与x 轴、y 轴的交点，代回抛物线解析式，即可求得抛物线解析式为 265y x x =-+-.
(2)①利用平行四边形的性质(对边平行且相等、对角线互相平分等)构造方程，可求得点P 的横坐标为
4或52+或52
-.需要注意的是，点P 的位置没有特别限制，需要结合函数图象进行分类讨论，避免漏解;②是二倍角的存在性问题，可以用两点间距离公式、中垂线的性质、直角三角形斜边上的中线、同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍等知识构造等腰三角形，进而构造二倍角进行求解.特别地，由于45ACB ∠<︒，所以在直线BC 上有两个不同的点M 满足题意，这是解题时容易漏解之处.
下面，笔者重点分析如何利用核心知识和方法对二倍角进行转化处理.
二、解法探究
解法1 利用两点间距离公式求解
如图2，由122∠=∠，且123∠=∠+∠，
可知23∠=∠，
∴11M A M C =.
设1(,5)M m m -，由11M A M C =
，可得 2222(1)(5)(0)(55)m m m m -+-=-+-+，
解得136
m =
， 即1137(,)66M -. 同理，由21M A M A =，利用两点间距离公式可求得2237(,)66
M -. 综上所述，M 的坐标为
137(,)66-或237(,)66
-
.
注 对于2M 可以过点A 作AN BC ⊥于N ，过点N 作NH AB ⊥于H ，利用ANB ∆和BNH ∆为等腰直角三角形，以及N 为12M M 的中点进行求解.
点评 两点间距离公式是学生在学习了平面直角坐标系和勾股定理之后所学习的一个重要公式，也是学生在解决等腰三角形存在性问题、平行四边形存在性问题、面积最值问题等综合问题时经常用到的一个公式.由23∠=∠可知11M A M C =，而点1M 在一条确定的直线5y x =-上，此时可设点1M 的坐标，利用两点间距离构造方程，求得点1M 的坐标。

解法2 利用直角三角形斜边中线性质求解
如图3，过点
A 作AF AC ⊥交BC 于F ，CF 的中点1M ，显然有12AM
B ACB ∠=∠. ∵直线
AC 的解析式为 55y x =-，
又
AF AC ⊥， ∴直线AF 的解析式为
1155
y x =-+. 由51155y x y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩
， 解得13323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
即132(,)33
F - 根据中点坐标公式，可得1M 的坐标为1320533,22⎛⎫+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
， 即1137(
,)66
M -， 同上，可得2237(,)66
M - 综上所述，M 的坐标为 137(,)66-或237(,)66
-
.
点评 直角三角形斜边上的中线把直角三角形分成了两个等腰三角形.112AM CF =是直角三角形斜边中线性质的代数表达形式，而1M AC V 和1M AF V 为等腰三角形则是其几何表达形式，这些是学生对定理学习之后形成的代数和几何认知表现.
解法3 利用中垂线求解
如图4，作
AC 的垂直平分线交BC 于1M ，交AC 于E . ∵11M A M C =，
∴23∠=∠，
∴122∠=∠.
易得AC 的解析式为55y x =-，E 点坐标为15(,)22
-. 设直线1EM 的解析式为15y x b =-+，把E 15(,)22
-代入， 得125
b =-， ∴直线1EM 的解析式为11255
y x =--.
解方程组511255y x y x =-⎧⎪⎨=--⎪⎩
， 得13676x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
， 则1137(
,)66
M -. 同上，可得2237(,)66
M - 综上所述，M 的坐标为 137(,)66-或237(,)66
-
.
点评 中线、垂线和角平分线是初中阶段平面几何学习的基础，也是很多几何问题解题时所需要的辅助线.线段的中垂线是轴对称图形的对称轴，是对称变换思想的具体体现.合理利用中垂线，除了能进行线段的转化(将军饮马问题等)，也能进行角度的转化(二倍角、多倍角的化归).
解法4 利用角平分线的性质
设122AM B ∠=∠.
如图5，过点1M 作1AM B ∠的平分线1M G 交x 轴于点G ，则
132∠=∠=∠，
∴1//
M G AC ， ∴11M C GA M B GB
=. 设点1(,5)M m m -，
∴1M G 的解析式为
5()5y x m m =-+- 即
545y x m =--. 当0y =时，455
m x +=，
即
45 (,0)
5
m
G
+
，
45
1
5
45
5
5
m
m
+
-
=
+
-
，
解得
13
6
m=，
即
1
137
(,)
66
M-.
同上，可得
2
237
(,)
66
M-
综上所述，M的坐标为
137
(,)
66
-或
237
(,)
66
-
.
点评对于二倍角问题，除了可以利用等腰三角形的性质构造已知角的两倍角以外，还可以采用逆向
思维的方式，把二倍角进行平分，利用角平分线的性质求解.进一步地，在上述解法中，
1
M G是
1
AM B
∠
的角平分线，由角平分线的性质，可以得到1
1
M C GA
M B GB
=，角平分线、平行线和等腰三角形的有关性质往往可以互相转化.
解法5 利用同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍求解
如图6，线段AB的中垂线3
x=与线段AC的中垂线112
55
y x
=--的交点为(3,3)
F.
∵,
FA FB FA FC
==，
∴,,
A B C三点共圆，即在⊙F上，
∴2
AFB ACB
∠=∠.
再作ABF
V的外接圆⊙G，显然圆心G在AB的中垂线上，
设⊙G的半径为r，则
AG r
=，
2
AH=，
3
GH r
=-.
在AGH
∆中，由勾股定理得，
222
AG GH AH
=+
即222(3)2r r =-+， 解得136
r =
，则 536
HG r =-=， ∴5(3,)6
G - 设1(,5)M m m -为⊙G 与BC 的交点，则 12AM B AFB ACB ∠=∠=∠.
由1GA GM =，可得
222255(31)(0)(3)(5)66
m m -+--=-+--+ 解得1136
m =，25m =(舍去)， 即1137(,)66
M -. 同上，可得2237(,)66
M - 综上所述，M 的坐标为
137(,)66-或237(,)66
-.
点评 解法5利用同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍，在⊙F 上，2AFB ACB ∠=∠.然后因为点M 在直线BC 上，利用同弧或等弧所对的圆周角相等，在⊙G 中把AFB ∠转化为1AM B ∠.在圆中，由半径处处相等可以构造出等腰三角形一另一方面，利用同弧或等弧的圆周角相等，可以得到相等的角，这为解决直线或曲线上等角的存在性问题提供了非常实用的转化方法.。