就是指一个具有确定概率分布的随机变量

定义5.2 设是具有分布函数 F (x)的随机变量,
若1,2, , n 是具有同一分布函数 F (x)、 相互独立的随机变量, 则称 1, 2, , n 为 从总体 (或总体 F (x)) 中抽取的容量为 n
的简单随机样本, 简称样本.
它们的观察值 x1, x2, , xn 称为样本值,
n
的分布函数为 F (xi ). i 1
(2)若总体的分布密度为p(x),则样本(1,2, ,n )
n
的分布密度为 p(xi ). i 1
(3)若总体的分布率为P{ xi*} p(xi*)(i 1, 2, ),
n
则样本(1,2, ,n )的分布率为 p(xi ). i 1
第 五章
数理统计的基本概念 与 抽样分布
第5.1节 基本概念
一、总体与个体 二、随机样本的定义 三、统计量 四、小结
一、总体与个体
一个统计问题总有它明确的研究对象.
研究对象的全体称为总体(母体)，
总体中每个成员称为个体.
总体
研究某批灯泡的质量
总体 …
考察国产 轿车的质量
然而在统计研究中，人们往往关心每个 个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标 在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有 的数量指标的全体就是总体.
1. 代表性：母体的每一个体有同等机会被选入 子样.
2. 独立性：子样的分样 是相互独立的随机变量.
满足上述两条性质的样本称为简单随机样本.
获得简单随机样本的抽样方法称为简单随机抽 样.
为了使大家对总体和样本有一个明确的 概念,我们给出如下定义:
定义5.1 一个随机变量 或其相应的分布 函数F(x)称为一个总体.
如:研究某批灯泡的寿命时，我们关心的数 量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随 机变量X表示，或用其分布函数F(x)表示.
总体
寿命 可用一概 F(x) 率分布来刻划
某批 灯泡的寿命
因此, 在统计学中,总体这 个概念的要旨是:
总体就是一个概率分布.
有限总体和无限总体
实例 某工厂10月份生产的灯泡寿命所组成的 总体中, 个体的总数就是10月份生产的灯泡数, 这是一个有限总体; 而该工厂生产的所有灯泡寿 命所组成的总体可近似地看成一个无限总体, 它 包括以往生产和今后生产的灯泡寿命.
些是统计量, 哪些不是?
T1 Xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ,
T2 X1 X2e X3 , 是
pn (x1,
1,2 ,
x2 , ,
xn
,n
)
)的概率密度为
n
p( xi
)


ne

n

i 1
xi
,
i 1
0,
xi 0 其它
例2 设总体 服从两点分布 B(1, p), 其中0 p 1, (1,2 , ,n )是来自总体的样本, 求样本 (1,2, ,n )
当有限总体包含的个体的 总数很大时, 可近似地将它看 成是无限总体.
二、随机样本的定义
1. 样本的定义 为推断总体的分布及各种特征,按一定的
规则从总体中抽取若干个体进行观察试验,以 获得有关总体的信息.这一抽取过程称为“抽 样”.所抽取的部分个体称为样本.通常记为
(1,2 , ,n )
样本中所包含的个体数目n称为样本容量.
例1 设总体 服从参数为 ( 0) 的指数分
布, (1,2 , ,n ) 是来自总体的样本, 求样本
(1,
解
2 , ,n ) 的概率密度.
总体 的概率密度为p(
x)

ex

,
x0
0,
x0
因为1,2, ,n 相互独立, 且与 有相同的分布,
所以 (
灯泡的寿命
国产轿车每公里 的耗油量
该批灯泡寿命的 全体就是总体
所有国产轿车每公里耗 油量的全体就是总体
由于每个个体的出现带有随机性，即相应的 数量指标值的出现带有随机性。从而可把此种 数量指标看作随机变量，我们用一个随机变量 或其分布来描述总体。为此常用随机变量的符 号或分布的符号来表示总体。
通常，我们用随机变量 ,,,…, 等表示总 体。当我们说到总体，就是指一个具有确定概 率分布的随机变量。
n
n
xi
n xi
pi1 (1 p) i1
P{n xn }
其中 x1, x2, , xn 在集合{0,1}中取值.
三、统计量
由样本推断总体特征,需要对样本值进行 “加工”,“提炼”.这就需要构造一些样本的 函数,它把样本中所含的信息集中起来.
定义5.3. 统计量
设1,2 , ,n 是来自总体 的一个样本, f (1,2 , ,n ) 是1,2 , ,n 的函数, 若 f 不依 赖于任何未知参数 , 则称 f (1,2 , ,n ) 是一
容量为n的样本可以看作n维随机变量.但 是,一旦取定一组样本,得到的是n个具体的数
(x1, x2 ,, xn ) ,称此为样本的一次观察值,简 称样本值.
2. 简单随机样本
抽取样本的目的是为 了利用样本对总体进行统 计推断,这就要求样本能很 好的反映总体的特性且便 于处理.为此,需对抽样提 出一些要求,通常有两条:
又称为的 n 个独立的观察值.
样本 (1,2 , ,n ) 所有可能取值的全体称
为样本空间。x1, x2 , , xn 称为样本空间中 的样本点
3.样本的分布 定理5.1 设(1,2, ,n )为来自总体的样本.
(1)若总体的分布函数为F (x),则样本(1,2, ,n )
的分布律.
解 总体 的分布律为
P{ i} pi (1 p)1i (i 0, 1)
因为 1,2 , ,n相互独立, 且与 有相同的分布,
所以 (1,2, ,n ) 的分布律为
P{1 x1, 2 x2 , , n xn }
P{1 x1}P{ 2 x2}
个统计量，统计量的分布称为抽样分布。
设 x1, x2 , , xn 是相应于样本1,2 , ,n
的样本值, 则称 f (x1, x2 , , xn ) 是 f (1,2 , ,n )
的观察值.
例1
设
X
1
,
X
2
,
X
是来自总体
3
N
(

,
2
)的一
个
样本, 其中 为已知, 2 为未知, 判断下列各式哪