武汉大学 弹塑性力学大题集合

由于横向分布荷载 ，因此基本微分方程变为：
假定坐标圆点的挠度为零，上式的解是 式中的 是待定常数。
使用
则有： ， ， ，
显然板边的边界条件能自然满足，为满足角点的边界条件，应有
，因此得：
挠度解就是：
3.设矩形薄板的边长分别为 和 ，四边固支，受
垂直于板面的横向均布荷载 作用，设弯曲挠度为
其中 是待定系数。试证明它满足所有边界条件。
代入挠度函数即可
2设变长为a的正方形薄板，四边均固定，受均布横向荷载q作用，求板弯曲内力（应力变分原理）
步骤：对于线弹性力学问题，应变余能与应变相等，本题位移边界位移均为零，因此外力余势能为0.总余势能用内力表示
（1）
所设内力试验函数应满足平衡方程和力边界条件。本问题没有力边界，仅需满足平衡方程
设 （2）
解：（1）显然满足变形协调方程（2）满足静力边界条件
由应力函数求应力分量
， ， （a）
边界条件：在 处， ， （b）
（a）代入（b）得： （c）
在x=0的边界（l=1，m= 0）上，力边界条件要求
，
应用圣维南原理近似满足： （d）
联立（c）和（d）得， ， （e）
将（e）代入（a）并由 ， ， 得
，y=0，
）
解：（1）根据应力状态求出主应力大小。 ，根据 ，解得主应力大小为分别为 ， ， ，将以上三个主应力代入 ，即得。
（2）
， ，
塑性体积应变为
（3）不合适，因为岩土材料的体积变形并非与静水压力无关，而且其塑性体积也并不是保持不变的。（个人理解）
有一受内水压p和轴向力共同作用的薄壁圆筒，内半径为r，壁厚为t，若圆筒保持直径不变，只产生轴向伸长，假设材料是不可压缩的，在忽略弹性变形的情况下，试求圆筒达到塑性状态时需要多大的内水压力。
解：（1）因为
所以
（2）
弹性阶段。
因为 ，所以
由于是单轴拉伸，所以
塑性阶段。
屈服条件
1.岩土材料处于平面应力状态，一点的应力分量为 ，假设 为中主应力，试：（1）使用已知应力分量写出Mohr-Coulumb屈服条件的具体表达式。（2）应用关联流动法则写出塑性应变增量的表达式，并写出塑性体积应变增量。（3）讨论流动关联法则对岩土材料是否合适，并指出为什么？（提示：用主应力表示的Mohr-Coulumb屈服条件为：
,将所求应力代入方程，求 , ,即得
应力路径求应变
1.已知材料在单轴拉伸时的应力—应变关系为
（a）
若采用Mises等向硬化模型，求该材料在纯剪时 的表达式。
解（1）求塑性模量。使用上式，得塑性应变与应力的关系为
它就是任意加载路径下的等效应力与累积塑性应变的关系，因此有
(b)
上式两边取增量，再代入式 ，得
应力解
平衡方程： ，几何方程： ， ，
物理方程： ， ，边界条件
1、如图所示的楔形体受水压力作用，水的容重为，试写出边界条件
解：在x=0上，l=1，m=0，
(x)x=0(1)+(yx)x=00 =y
(xy)x=0(1)+(y)x=00 = 0
(x)x=0=－y(xy)x=0
在斜边上l=cos，m=sin
解：Mises材料的加载面方程可写成
如取内变量为累积塑性应变 ，则上式变为
纯剪状态下的等效应力为
因为
所以
加载面的方程为
4已知某材料在纯剪作用下应力—应变关系如图所示，弹性剪切模量为G，Poisson比为 ，剪切屈服极限为 ，进入强化后满足 。若采用Mises等向硬化模型，试求（1）材料的塑性模量
（2）材料单轴拉伸下的应力应变关系。
试写出挠度表示的各边边界条件：
解：
简支边OC的边界条件是：
自由边AB的边界条件是：
，
两自由边的交点B： 是 点支座的被动反力。
2.如右图所示，矩形板在四个角点作用分别作用大小为F的集中力，其中A点和C点的集中力向上，B点和D点的集中力向下，四条边均为自由，求板的挠度。
解：板边的边界条件为：
，
，
4个角点的边界条件均为：
外力势
总势能 由
，代入位移公式的位移
4正方形薄板，三边固定另一边受均匀压力q作用，应力函数取为
，基于应力辩分原理Ritz法求解（v=0.3）
步骤：有应力函数求得应力
，
满足力边界条件，一定满足平衡方程。由于位移边界已知位移为0，外力余势能为0，总余势能就是应变余能，平面应力与线弹性情况下，应变余能为
，将应变由应力表达得
上下边界条件： ， ， ，
将σx，σy，τxy代入得A=－2q/h3，B=0，C=3q/2h，D=－q/2
由对称性，两端边界条件： ， ，由圣维南原理，
， ，
将σx，σy，τxy代入得
，K=0，将以上常数代入σx，σy，τxy得出应力解为
， ，
其中， ，
RITZ法
1.假定矩形板支承与承受荷载如图所示，
解：应力状态为 ，根据 =0得出其三个主应力分别为
，
第一不变量 ，第二不变量
单位体积应变能 ，将 ， 代入此式即可。
其中 ，化简此式得
（2）Mises屈服条件为 ，代入 即得。
Tresca屈服 ，将 代入即得。
（3）不会，别人的答案。
时加载，反之卸载，上式等于零时中性变载。
3.一处在平面应变状态下（ ）的理想刚塑性体，其材料的应力应变关系服从Levy-Mises增量理论，即 ，且材料体积是不可压缩的，考察其中的一个微单元体，试证明：
（2）在1、2方向施加剪应力 ，使之处于纯剪状态，使用正交流动法则，则产生的塑性剪应变增量应该是
(c)
对于纯剪的加载情况，加载过程中任意瞬间的应力状态和应力增量分量为如下
对于Mises等向硬化模型，将式 代入式（c）,并代入上述分量，得
由于 ，而在加载过程中 ，上式化简得
加上弹性应变后，有
最后可得
2薄壁圆管受拉与扭转作用，材料单拉时的应力应变关系为
（1）其应力状态分量可分解为静水压力状态与纯剪应力状态之和：
（2）Tresca和Mises屈服条件重合。
解：（1）
其中 ，上式第一项的第一不变量为0，故是纯剪状态，第二项为静水压力状态，得证。
（2） =0，所以 , 所以
平面应变状态：
2 =2
= = 故屈服条件重合
解：在板的固定端，挠度和转角为零。
显然： 满足
故 满足所有的边界条件。
1用Ritz法求解简支梁在均布荷载作用下的挠度（位移变分原理）
步骤：（1）设挠度的试验函数w(x) =c1x(lx)+c2x2(l2x2)+…显然，该挠度函数满足位移边界w(0) =0，w(l) = 0。（2）求总势能 仅取位移函数第一项代入，得 （3）求总势能的极值
4、简支梁收均匀分布荷载作用，梁高度h，跨度2L，试求应力分量和跨中挠度
设σy仅是y的函数，σy=f(y)，即 ，得
代入协调方程 得，
对于-L≤x≤L，上面方程都成立，所以 =0， =0， =0
积分得：f(y)=Ay3+By2+Cy+D，f1(y)=Ey3+Fy2+Gy+R，
因此
得：
由σx，σy，是x的偶函数，τxy是x的奇函数得：E=F=G=0
解：直径不变，则环向应变 ，轴向伸长靠薄壁圆筒变薄实现，个应变分量为
或
将上述应变状态代入Levy-Mises流动理论
在这里，Mises屈服条件可表示为
将偏应力分量之间的关系代入上式，得偏应力为
设平均体积应力为 ，则应力分量为
在本题中 ，因此有
在内水压力作用下， ，最后
2.薄壁圆筒平均半径为R，壁厚为t，轴线方向为z，轴部受轴向拉力T和扭矩M共同作用，材料的弹性模量为E，剪切模量为G，拉伸屈服条件为 。试：写出单位体积弹性应变能的表达式；分别写出Mises以及Tresca屈服条件的具体表达式；使用Mises屈服条件给出：轴向拉力T和扭矩M满足何种关系时，圆筒处于加载状态。
路径（1）：z=s，材料屈服，再增加剪应力dz0，dz=0，
路径（2）：当剪应力z=s/3，材料屈服，增加应力z，即dz0，dz=0，z=s/3
路径（3）：在加载中z =3z，z=s/2材料屈服，且dz =3dz，
塑性变形与加载路径有关
三种应力路径下的弹性应变都是
3若材料为Mises硬化材料，已知它在纯剪作用下的剪应力与塑性剪应变关系为 。且已知其剪切屈服应力为 ，试写出塑性模量和加载面的表达式。
试按以下三种加载路径达到最后应力状态，分别求其对应产生的应变z与z
(1)首先沿z轴加载至z=s，并保持z不变，然后再增加剪应力至z=s/3；
(2)先增加剪应力至z=s/3，并保持z不变，然后再增加拉应力至z=s；
(3)比例加载，按z:z=3:1增加应力至z=s，z=s/3。
解：（1）求塑性模量：
在单轴应力状态下，弹性应变是。
xcosyxsin= 0
xycosysin= 0
2、半无限空间体受均布荷载作用
根据问题的对称性，位移应只是z的函数uz=w(z)
体积应变是
代入平衡微分方程
，
应力是 ， ，
应用边界条件求待定常数：l=m=0，n=1， ，
边界条件是：zz=0=q得A=q/g，B代表刚度位移，应由位移边界条件确定
3、用应力函数=dxy +bxy求解悬臂梁一端受集中力作用下问题的应力解（不考虑体积力）。
满足平衡方程代入（1）求出总余势能。使用 ，得 代入（2）得弯矩
3一边固定三边自由的薄板，三自由边受均布剪应力作用，不计体力，设位移分量
基于位移变分原理求薄板位移
所设位移满足边界条件 对于平面问题，应变能
，将本构方程代入，并将应变分量用位移分量表示，得
仅取第一项作为近似位移解，代入上式得
板的上边下边右边的力边界条件是 ；
而塑性应变是
塑性模量应是Fra Baidu bibliotek
（2）加载判别：
当应力状态达到初始屈服后，下一步应力增量是否产生塑性变形，取决于(f/ij)dij是否大于零。
该题各路径下的应力状态偏量均可表示为：
sz=z，sx=sy=z，sz=sz=z，
由于z、dz同号，、dz同号，因此，
（3）使用流动法则求塑性变形
（4）按上述路径进行积分，塑性变形