信号与系统-课件(陈后金)
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信号与系统第一章(陈后金)
系统的分类
连续时间系统 与 离散时间系统 线性系统 与 非线性系统 非时变系统 与 时变系统 因果系统 与 非因果系统 稳定系统 与 不稳定系统
系统 是指由相互作用和依赖的若干事物组成
的、具有特定功能的整体。
ä è Å Å Ê È Ð ¹ ä ö Å Å Ê ³ Ð ¹
Å ¢ ´ Ð Ï Ô
´ · « Ð ÷ Æ
[例] 判断下列系统是否为线性系统？（其中 y(0)、 y[0]为系统的初始状态，x(t) 、x[k]为系统 的输入激励，y(t)、 y[k]为系统的输出响应）。
(1) y(t ) 5 y(0) 4 x(t )
(2) y(t ) 2 y(0) 6 x (t )
2
(3) y(t ) 4 y(0) x(t ) 3x(t )
线性系统：具有线性特性的系统。 线性特性 包括 均匀特性 与 叠加特性 。 1) 均匀特性：
若x1 (t ) y1 (t )
则Kx1 (t ) Ky1 (t )
2) 叠加特性：
若x1 (t ) y1 (t ), x2 (t ) y2 (t )
则x1 (t ) x2 (t ) y1 (t ) y2 (t )
二、系统的分类
2．线性系统 与 非线性系统
含有初始状态线性系统的 y1[ k ] y1[0] x2 [ k ] T y2 [k ] y 2 [0]
x1[ k ] x2 [ k ] T a b y [0] a y1[ k ] b y 2 [ k ] 2 y1[0]
di(t ) L Ri(t ) x(t ) dt
输入输出描述：N阶微分方程或N阶差分方程 状态空间描述：N个一阶微分方程组或N个一阶差分方程组
信号与系统第7章(陈后金)1
Re z
-1
z平面
例：求以下序列的z变换及收敛域。
(1) x[k ] a u[k ]
k
(2)
1 0 k N - 1 x[k ] 0 其它
Im z
解：
(1)
X ( z) a z
k k 0
-k
1 -1 1 - az
|a|
Re z
ROC : z a
(2)
X ( z ) z -k
四、单边z变换的主要性质
3. 指数加权特性
z a x[ k ] X ( ) a
k Z
ROC a Rx
例：求aksin(0k) u[k] 的z变换及收敛域
解：
sin( 0 k )u[k ]
z
sin 0 z -1 1 - 2 z cos 0 z
-1 -2
z 1
对上式应用初值定理，即得
a x[1] limz{X ( z) - x[0]} lim a -1 z z 1 - az 当|a|<1时，(z-1)X(z)的收敛域包含单位圆，由终 值定理，有 z -1 0 x[] lim z -1) X (z) lim ( -1 z 1 1 - az z1
例：求以下单边周期序列的单边z变换。
k
n 0, 1, 2, 1, k 2n, (1) x[ k ] 0, k 2n 1, n 0, 1, 2,
(2) y[k ] (-1)i x[k - i]
i 0
一般情况：周期为N的单边周期序列xN[k]u[k]可以表示为第一 个周期序列x1[k]及其位移x1[k-lN]的线性组合，即
证：Z{x1[k ] x2 [k ]} Z{ x1[n]x2 [k - n]}
信号和系统陈后金版答案课件省公共课一等奖全国赛课获奖课件
(4) 计算瞬态响应与稳态响应:
瞬态响应: 稳态响应:
yt [k ]
[
7 2
(1)k 2
4 3
(1 )k 3
]u[k ]
ys [k ]
1 2
u[k ]
第17页
第四章
第18页
4-5(d)波形如图: x(t)
A
-T0/2
T0/2 T0
t
-A
x1(t)
A
-T0/2
T0/2 T0
t
A x2(t)
-T0/2
2 2
2 2
= 4sin[2( 1)] 4sin[2( 1)]
2( 1)
2( 1)
p4
(t
)
FT
4
sin(2 2
)
p4
(t)e
jt
FT
4
sin[2( 1)] 2( 1)
p4
(t )e
jt
x(t) x1(t) x1(t)
由X1( j) Sa( )，有：x1(t)
1
1
2
p2 (t)
x(t) x1(t) x1(t) 4 2 p2 (t) p2 (t)
= 1 [u(t ) u(t )][u(t ) u(t )] 4 2
= 1 [r(t 2 ) r(t) r(t 2 )]
2 j sin(0T )
…
t
第2页
2-5: (4)
x(t)
2
0 23 5 t
x(t+1)
2
-1 0 1 2 4
t
x(t/3+1)
2
-3 0 3
6
12
t
第3页
2-9:
信号与系统第五章(陈后金)1资料
例1 已知描述某LTI系统的微分方程为
y"(t) + 3y'(t) + 2y(t) = 3x '(t)+4x(t)，系统的输入激 励 x(t) = e3t u(t)，求系统的零状态响应yzs (t)。
解： 由于输入激励x(t)的频谱函数为
系统的频率响应由微分方程可得
1 X ( j ) j 3
~ x (t )
A
-T0
0
T0
t
解： 对于周期方波信号，其Fourier系数为
A n0 Cn Sa T0 2
可得系统响应
y(t )
n
jn 0t C H ( j n ) e n 0
A A n0 e jn0t y(t ) 2 Sa Re aT n 1 T 2 a jn0
非周期x(t)通过LTI系统的零状态响应 若信号x(t)的Fourier存在，则可由虚指数信号 ejt(<t<)的线性组合表示，即
1 jt x(t ) X ( j ) e d 2π
由系统的线性非时变特性，可推出信号x(t)作 用于系统的零状态响应yzs(t)。
二、连续非周期信号通过系统响应的频域 分析
Yzs ( j ) bm ( j ) m bm1 ( j ) m1 b1 ( j ) b0 H ( j ) X ( j ) a n ( j ) n a n1 ( j ) n1 a1 ( j ) a0
一、连续时间LTI系统的频率响应
1 1 H ( j ) F [h(t )] j 1 j 2 1 ( j ) 2 3( j ) 2
信息与系统课件 (2)
(6 6 2k )
yzi [k]
3
, k 0
3 3 2k 2k
y[k] yzi[k] yzs[k]
3k
, k 0
一、状态方程的时域求解
q[k] Akq[0] k1 Ak1i Bx[i]u[k 1]
i0
y[k] CAkq[0] k1 CAk1iBx[i]u[k 1] Dx[k]
i0
当q[0]=0，系统的零状态响应为
yzs[k] CAk1Bu[k 1] D [k] x[k] h[k] x[k]
式中 (t)为状态转移矩阵(state transition matrix)
(t) e At I At 1 A2t 2 1 Akt k 1 Akt k
2!
k!
k0 k!
当q(0)=0，系统的零状态响应为
yzs (t) C(t)B D (t) x(t) h(t) x(t)
2 (1 z1)2
(1 z1)2
(3 2k 3 2k)u[k]
yzs[k]
ku[k]
解：Yzi (z) C(zI A)1 zq[0]
1 1 z 1 1 1 2 1 2 z 3 1z
(z
z 1)(z
2)
6 3z 6
6 1 z1
6 1 2z1 3
1 z1
求该系统的状态和输出。
解：
Φ(s)
(sI
A) 1
s
0
2
3 1 s 1
1/ s X (s) 1/(s 3)
1
(sBiblioteka 2)0 3
(s
2)(s 1
1)
(s 1)
Q1 (s) Q2 (s)
Φ(s)q(0
北京交通大学陈后金教授信号处理课件
第8章 数字滤波器的实现
第9章 数字语音信号
主要参考书
[1] 陈后金等译:数字信号处理及MATLAB仿真, 机械工业出版社, 2015
[2] S.K. Mitra. 数字信号处理(第4版） 清华大学出版社, 2012
[3] A.V.Oppenheim. 离散时间信号处理(第3版)英文版 ,电子工业出版社, 2011 [4] 胡广书.数字信号处理.清华大学出版社(第3版), 2012. [5]P.P. Vaidyanathan, Multirate systems and filter banks, Prentice Hall, Englewood Cliffs NJ,1993. [6] N.J.Fliege, Multirate digital signal processing. John Wiley &Sons, NY,1994. [7] I.Daubechies, 小波十讲（修订版） ,国防工业出版社, 2011 [8] S. Mallat 信号处理的小波导引：稀疏方法（第3版）英文影印版, 2012
第4章 IIR数字滤波器的设计
第5章 FIR数字滤波器的设计
第6章 随机信号功率谱估计
第7章 数字系统的结构 第8章 多速率信号处理基础Fra bibliotek主要教材
第1章 概述 第2章 离散时间信号 第3章 频域概念 第4章 抽样与重建 第5章 FIR滤波器设计与分析 第6章 IIR滤波器设计与分析 第7章 抽样速率转换
近代数字信号处理
(Advanced Digital Signal Processing)
信号与图像处理研究室 电子信息工程学院
主要教材
主教材: 普通高等教育“十一五”国家级规划教材
信号与系统第二章(陈后金)3
1．信号分解为直流分量与交流分量
连续时间信号
x(t ) xDC (t ) + xAC (t )
x (t)
1 b xDC (t ) a x(t )dt b-a
x(t ) xDC (t ) + xAC (t )
直流
t
交流
离散时间信号
x[k ] xDC [k ] + xAC [k ]
信号与系统
Signals and Systems
普通高等教育“十一五”国家级规划教材 《信号与系统》
陈后金，胡健，薛健
高等教育出版社， 2007年
信号的时域分析
连续时间信号的时域描述 连续时间信号的基本运算
离散时间信号的时域描述
离散时间信号的基本运算 确定信号的时域分解
离散时间信号的基本运算
翻转 (x[k] x[-k] ) 位移 ( x[k] x[kn] ) 内插与抽取 序列相加 序列相乘 差分与求和
1. 翻转
x[k] x[-k]
将 x[k] 以纵轴为中心作180度翻转
x[k] 2 1 -1 0 1 2 3 k
-2 -1 0 1
3 2
x[-k] 2
3 2 1 2 k
2. 位移 x[k] x[kn]
n>0
x[k-n]表示将x[k]右移n个单位。 x[k+n]表示将x[k]左移n个单位。
原信号x
4倍抽取后信号x1
8倍抽取后信号x1
4. 序列相加
指将若干离散序列序号相同的数值相加
y[k ] x1[k ] + x2[k ] + + xn [k ]
x1[ k ]
1 k 0 -1
信号与系统SignalsandSystemsppt课件
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
一、基本信号的MATLAB表示
% rectpuls
t=0:0.001:4; T=1; ft=rectpuls(t-2*T,T); plot(t,ft) axis([0,4,-0.5,1.5])
rand
产生(0,1)均匀分布随机数矩阵
randn 产生正态分布随机数矩阵
四、数组
2. 数组的运算
数组和一个标量相加或相乘 例 y=x-1 z=3*x
2个数组的对应元素相乘除 .* ./ 例 z=x.*y
确定数组大小的函数 size(A) 返回值数组A的行数和列数（二维） length(B) 确定数组B的元素个数（一维）
0.3
0.2
0.1
function [f,k]=impseq(k0,k1,k2) 0
-50 -40 -30 -20 -10
0
10 20 30 40 50
%产生 f[k]=delta(k-k0)；k1<=k<=k2
k=[k1:k2];f=[(k-k0)==0];
k0=0;k1=-50;k2=50;
[f,k]=impseq(k0,k1,k2);
已知三角波f(t)，用MATLAB画出的f(2t)和f(2-2t) 波形
信号与系统国家精品课程建设课件资料
掌握信号与系统的基本理论 时域与变换域分析理论，抽样定理等 掌握信号与系统的基本方法 信号表示与分析方法，系统描述与分析方法等
掌握信号与系统的基本技术
软件仿真分析技术，DSP系统开发应用技术
提高应用理论和技术解决问题的实践能力
学科领域应用，工程实际应用，综合交叉应用
主要内容
课程历史沿革 课程教学目标 课程教学体系 课程教学方法
……
课程历史沿革
“信号与系统”课程教材建设
北京交通大学陈后金教授编著出版“信号与系统”教材 （高等教育“十一五”国家级规划教材、北京市高等教育精品教材）
清华大学郑君里教授编著出版“信号与系统”第3版教材。
（高等教育“十一五”国家级规划教材） 西安电子科技大学郭宝龙教授编著出版“信号与系统”教材。 （高等教育“十一五”国家级规划教材） 东南大学孟桥教授编著出版“信号与线性系统”教材。 （高等教育“十一五”国家级规划教材） 武汉理工大学刘泉教授编著出版“信号与线性系统”教材。
电子电路、电磁场、 信号处理并重 理论教学、实验教学、自主教育并重
基础理论、分析方法、综合技术并重
课程教学体系
课程教学体系
突出实验教学与理论教学之间的密切关系，构 建了以实验目标为导向、实验内容为载体、创新能 力为核心的实验教学体系。该体系层次清晰、目标
2006年武汉理工大学“信号与系统”课程被评为第四批
国家级精品课程（刘泉主持）。
课程历史沿革
“信号与系统”课程教材建设
1980年原南京工学院管致中教授编著出版“信号与线性系统”教材。 1981年清华大学郑君里教授编著出版“信号与系统”教材。 1981年西安电子科大吴大正教授编著出版“信号与线性系统分析”教材。 1982年北方交通大学朱钟霖教授编著出版“信号与线性系统分析”教材。
掌握信号与系统的基本技术
软件仿真分析技术，DSP系统开发应用技术
提高应用理论和技术解决问题的实践能力
学科领域应用，工程实际应用，综合交叉应用
主要内容
课程历史沿革 课程教学目标 课程教学体系 课程教学方法
……
课程历史沿革
“信号与系统”课程教材建设
北京交通大学陈后金教授编著出版“信号与系统”教材 （高等教育“十一五”国家级规划教材、北京市高等教育精品教材）
清华大学郑君里教授编著出版“信号与系统”第3版教材。
（高等教育“十一五”国家级规划教材） 西安电子科技大学郭宝龙教授编著出版“信号与系统”教材。 （高等教育“十一五”国家级规划教材） 东南大学孟桥教授编著出版“信号与线性系统”教材。 （高等教育“十一五”国家级规划教材） 武汉理工大学刘泉教授编著出版“信号与线性系统”教材。
电子电路、电磁场、 信号处理并重 理论教学、实验教学、自主教育并重
基础理论、分析方法、综合技术并重
课程教学体系
课程教学体系
突出实验教学与理论教学之间的密切关系，构 建了以实验目标为导向、实验内容为载体、创新能 力为核心的实验教学体系。该体系层次清晰、目标
2006年武汉理工大学“信号与系统”课程被评为第四批
国家级精品课程（刘泉主持）。
课程历史沿革
“信号与系统”课程教材建设
1980年原南京工学院管致中教授编著出版“信号与线性系统”教材。 1981年清华大学郑君里教授编著出版“信号与系统”教材。 1981年西安电子科大吴大正教授编著出版“信号与线性系统分析”教材。 1982年北方交通大学朱钟霖教授编著出版“信号与线性系统分析”教材。
信号与系统第3章(陈后金)4
y[k] = 0
k
k < 0时, RN [n]与RN [kn]图形没有相遇
0 k N 1时，重合区间为[0，k]
N1 < k 2N 2时，
y[k ] 1 k 1
n பைடு நூலகம்0
重合区间为[k (N1) ，N1]
RN[k]*RN[k] N
y[k ]
n k ( N 1)
y[k]
y[k ] a k n
n 0
1 k
0
例2 计算 y[k] = RN[k]* RN[k]
1 0 k N 1 R N [k ] 0 otherwise
RN[k] 或 RN[k]
1 k 0
RN[-n] 1 n
N- 1
n
-(N-1)
0
例2 计算 y[k] = RN[k]* RN[k]
4201??kx3541??kh1422?????kkkkxddd利用位移特性1422khkkkkhkx?????ddd1422?????khkhkh12262615741???khkxky冲激响应表示的系统特性级联系统的冲激响应并联系统的冲激响应因果系统稳定系统一级联系统的冲激响应h1txtztyth2t1thtxtz?212ththtxthtzty??根据卷积积分的结合律性质有2121ththtxththtxty??ht一级联系统的冲激响应结论
例4 计算 x[k ] k u[k ] 与 h[k ] k u[k ]
的卷积和。
解:
k u[k ] * k u[k ]
n
n u[n] k n u[k n]
k 1 k 1 k 0 u[k ] k k <0 ( k 1) a u[k ]
k
k < 0时, RN [n]与RN [kn]图形没有相遇
0 k N 1时，重合区间为[0，k]
N1 < k 2N 2时，
y[k ] 1 k 1
n பைடு நூலகம்0
重合区间为[k (N1) ，N1]
RN[k]*RN[k] N
y[k ]
n k ( N 1)
y[k]
y[k ] a k n
n 0
1 k
0
例2 计算 y[k] = RN[k]* RN[k]
1 0 k N 1 R N [k ] 0 otherwise
RN[k] 或 RN[k]
1 k 0
RN[-n] 1 n
N- 1
n
-(N-1)
0
例2 计算 y[k] = RN[k]* RN[k]
4201??kx3541??kh1422?????kkkkxddd利用位移特性1422khkkkkhkx?????ddd1422?????khkhkh12262615741???khkxky冲激响应表示的系统特性级联系统的冲激响应并联系统的冲激响应因果系统稳定系统一级联系统的冲激响应h1txtztyth2t1thtxtz?212ththtxthtzty??根据卷积积分的结合律性质有2121ththtxththtxty??ht一级联系统的冲激响应结论
例4 计算 x[k ] k u[k ] 与 h[k ] k u[k ]
的卷积和。
解:
k u[k ] * k u[k ]
n
n u[n] k n u[k n]
k 1 k 1 k 0 u[k ] k k <0 ( k 1) a u[k ]
信号与系统第7章(陈后金)3
一、系统函数
2. H(z)与h[k]的关系
[k]
h[k] yzs [k] = [k]*h[k] h[k ]
Z { yzs [k ]} Z {h[k ]} H ( z) Z {h[k ]} Z { [k ]} 1
H ( z ) Z {h[k ]}
h[k ] Z [H ( z)]
H(z)
2.5 1.25 z 1 0.5 z 2 H ( z) 1 0.25 z 2
二、系统函数的零极点分布
系统函数可以表达为零极点增益形式，即
( z r1 )( z r2 )( z rm ) N ( z) H ( z) K D( z ) ( z z1 )( z z2 )( z zn )
-
-
-
W(z)
an-1 an
z域框图
二、离散系统的模拟框图
2. 级联型结构
将系统函数的N(z) 和D(z)分解为一阶或二阶实系
数因子形式，将它们组成一阶和二阶子系统，即
H(z) = H1(z) H2(z) ….. Hn(z)
画出每个子系统直接型模拟流图，然后将各 子系统级联。
X(z)
H1(z)
H2(z)
D(z)=0的根是H(z)的极点，在z平面用表示。 N(z)=0的根是H(z)的零点，在z平面用 表示。 例如
(2) 1 Im (z) j 0. 5j (3) 0. 5 0 0. 5j j Re (z) 0. 5 1
H (z)
z3(z 1 j)(z 1 j)
(z 0.5)(z 1)2(z 0.5 j0.5)(z 0.5 j0.5)
w[k ] a j w[k j ] x[k ]
信号与系统第五章陈后金2
Yzs (e jΩ ) X (e jΩ )
DTFT {h[k ]}
DTFT{d [k]}
DTFT{h[k ]}
H(ej)一般可表示为幅度与相位的形式
H (e j ) | H (e j ) | e jj( )
幅度响应
相位响应
(magnitude response) (phase response)
( ) dj( ) 群延时 ( group delay )
即在间断点的前后出现了振荡，其振荡 的最大峰值约为阶跃突变值的9%左右， 且不随滤波器带宽的增加而减小。
结论
1. 输出响应的延迟时间取决于理想低通滤波器的 相位响应的斜率。
2. 输入信号在通过理想低通滤波器后，输出响应 在输入信号不连续点处产生逐渐上升或下降的 波形，上升或下降的时间与理想低通滤波器的 通频带宽度成反比。
低通变为无失真传输系统， h(t)也变为冲激信号。
五、理想模拟滤波器
2. 理想低通滤波器的冲激响应
分析：
2) h(t)主峰出现时刻 t = td 比输入信号d (t) 作用
时刻t = 0延迟了一段时间td 。td是理想低通 滤波器相位响应的斜率。
3) h(t)在 t<0 的区间也存在输出，可见理想低 通滤波器是一个非因果系统，因而它是一个 物理不可实现的系统。
Yzs (e j X (e j
) )
若n阶离散LTI系统的差分方程为
y[k] a1 y[k 1] an1 y [k n 1] an y[k n] b0x[k ] b1x[k 1] bm1x [k m 1] bm x[k m]
则离散系统的频率响应可表示为
H (e j
变，而相位没有失真。
四、线性相位的离散时间LTI系统
信号与系统第3章(陈后金)1
齐次解yh(t)的形式由齐次方程的特征根确定
特解yp(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定
一、系统的零输入响应
定义：系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系 统的初始状态单独作用而产生的输出响应。 数学模型:
y ( n) (t ) an1 y ( n1) (t ) a1 y ' (t ) a0 y(t ) 0 求解方法： 根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式
y ( n ) (t ) an 1 y ( n 1) (t ) a1 y ' (t ) a0 y (t ) bm x ( m ) (t ) bm 1 x ( m 1) (t ) b1 x ' (t ) b0 x(t )
ai 、 bj为常数。
离散LTI系统用n阶常系数线性差分方程描述
则
dx(t ) dy (t ) T{ } dt dt
离散时间系统， 若 T{x[k]}= y[k] 则 T{ x[k] -x[k-1]}= y[k] - y[k-1]
线性非时变(LTI)系统的特点
4．积分（求和）特性
连续时间系统，若 T{x(t)}=y(t) 则
T {
t
x( )d }
2
非线性系统 非线性系统 线性系统 线性系统
(3) y(t ) 4 y(0) x(t ) 3x(t )
dx(t ) (4) y(t ) 4 y(0) 2 sin t dt
不满足可分解性
(5) y[k ] ky[0]
i 0
k
x[i]
线性非时变(LTI)系统的特点
2．非时变特性
1
0
1
t
0
特解yp(t)的形式由方程右边激励信号的形式确定
一、系统的零输入响应
定义：系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系 统的初始状态单独作用而产生的输出响应。 数学模型:
y ( n) (t ) an1 y ( n1) (t ) a1 y ' (t ) a0 y(t ) 0 求解方法： 根据微分方程的特征根确定零输入响应的形式
y ( n ) (t ) an 1 y ( n 1) (t ) a1 y ' (t ) a0 y (t ) bm x ( m ) (t ) bm 1 x ( m 1) (t ) b1 x ' (t ) b0 x(t )
ai 、 bj为常数。
离散LTI系统用n阶常系数线性差分方程描述
则
dx(t ) dy (t ) T{ } dt dt
离散时间系统， 若 T{x[k]}= y[k] 则 T{ x[k] -x[k-1]}= y[k] - y[k-1]
线性非时变(LTI)系统的特点
4．积分（求和）特性
连续时间系统，若 T{x(t)}=y(t) 则
T {
t
x( )d }
2
非线性系统 非线性系统 线性系统 线性系统
(3) y(t ) 4 y(0) x(t ) 3x(t )
dx(t ) (4) y(t ) 4 y(0) 2 sin t dt
不满足可分解性
(5) y[k ] ky[0]
i 0
k
x[i]
线性非时变(LTI)系统的特点
2．非时变特性
1
0
1
t
0
信号与系统第六章(陈后金)1
L
s 2 s 2 0
Re(s) 0
sin 0 t u(t )
L
0 2 s 2 0
1 sn
Re(s) 0
Re(s) Re(s)
(t )
L L
( n) (t )
u(t )
tu(t ) t u (t )
n
L
L
Re(s) 0
五、单边拉普拉斯变换的性质
4. 卷积特性
x1 (t ) L X1 (s) Re(s) 1 x2 (t ) L X 2 (s) Re(s) 2 x1 (t ) * x2 (t ) X1 (s) X 2 (s)
L
Re(s) max( 1 , 2 )
1）当收敛域包含j 轴时，拉普拉斯变换和傅里 叶变换均存在。 X ( j ) X ( s )
s j
2）当收敛域不包含j 轴时，拉普拉斯变换存在 而傅里叶变换均不存在。 3）当收敛域的收敛边界位于j 轴时，拉普拉斯 变换和傅里叶变换均存在。
X ( j) X (s) s j π Kn ( n )
0
三、常用信号的拉普拉斯变换
2. 阶跃函数 u(t)
1 L[u(t )] lim L[e u(t )] 0 s
t
0或 Re(s) 0
三、常用信号的拉普拉斯变换
3. (t ), (t )
( n)
L[ (t )] (t )e st dt 1
L
1 s 1 s2 n! s n 1
1 2 (s )
Re(s) 0
Re(s) 0 Re(s) 0
te
t
s 2 s 2 0
Re(s) 0
sin 0 t u(t )
L
0 2 s 2 0
1 sn
Re(s) 0
Re(s) Re(s)
(t )
L L
( n) (t )
u(t )
tu(t ) t u (t )
n
L
L
Re(s) 0
五、单边拉普拉斯变换的性质
4. 卷积特性
x1 (t ) L X1 (s) Re(s) 1 x2 (t ) L X 2 (s) Re(s) 2 x1 (t ) * x2 (t ) X1 (s) X 2 (s)
L
Re(s) max( 1 , 2 )
1）当收敛域包含j 轴时，拉普拉斯变换和傅里 叶变换均存在。 X ( j ) X ( s )
s j
2）当收敛域不包含j 轴时，拉普拉斯变换存在 而傅里叶变换均不存在。 3）当收敛域的收敛边界位于j 轴时，拉普拉斯 变换和傅里叶变换均存在。
X ( j) X (s) s j π Kn ( n )
0
三、常用信号的拉普拉斯变换
2. 阶跃函数 u(t)
1 L[u(t )] lim L[e u(t )] 0 s
t
0或 Re(s) 0
三、常用信号的拉普拉斯变换
3. (t ), (t )
( n)
L[ (t )] (t )e st dt 1
L
1 s 1 s2 n! s n 1
1 2 (s )
Re(s) 0
Re(s) 0 Re(s) 0
te
t
信号与系统-陈后金-北京交通大学-全-课件
时不变系统
时不变特性
时不变的连续系统表示为
f ( t ) ⎯⎯ → y f ( t ) f ( t − t 0 ) ⎯⎯ → y f ( t − t 0 )
时不变的离散时间系统表示为
f [ k ] ⎯⎯ → y f [ k ] f [ k − n ] ⎯⎯ → y f [ k − n ]
线性时不变系统可由定常系数的线性微分方程式 或差分方程式描述。
• 其中α，β为任意常数
连续系统
连续系统
连续系统
具有线性特性的离散时间系统可表示为
f1[k] ⎯⎯→ y1[k], f2[k] ⎯⎯→ y2[k] α ⋅ f1[k] + β ⋅ f2[k] ⎯⎯→α ⋅ y1[k] + β ⋅ y2[k]
其中α，β为任意常数
• 非线性系统：不具有线性特性的系统。
• 系统的数学模型 • 系统的方框图表示
• 系统的分类
• 连续时间系统与离散时间系 统
• 线性系统与非线性系统 • 时不变系统与时变系统 • 因பைடு நூலகம்系统与非因果系统 • 稳定系统与不稳定系统
系统是指由相互作用和依赖的若干事物组 成的、具有特定功能的整体。
输入信号
输出信号
信息源 传感 器
发送 设备
信道
⎣
�f 2 x2
[k ]⎤ [0]⎥⎦
⎫ ⎬ ⎭
=
a
y1[k
]
+
b
y2
[k
]
结论: 具有初始状态的线性系统，输出响应等于零输入响应
与零状态响应之和。
3．时不变系统与时变系统
• 系统的输出响应与输入激励的关系不随输入 激励作用于系统的时间起点而改变，就称为时不 变系统。否则，就称为时变系统。
时不变特性
时不变的连续系统表示为
f ( t ) ⎯⎯ → y f ( t ) f ( t − t 0 ) ⎯⎯ → y f ( t − t 0 )
时不变的离散时间系统表示为
f [ k ] ⎯⎯ → y f [ k ] f [ k − n ] ⎯⎯ → y f [ k − n ]
线性时不变系统可由定常系数的线性微分方程式 或差分方程式描述。
• 其中α，β为任意常数
连续系统
连续系统
连续系统
具有线性特性的离散时间系统可表示为
f1[k] ⎯⎯→ y1[k], f2[k] ⎯⎯→ y2[k] α ⋅ f1[k] + β ⋅ f2[k] ⎯⎯→α ⋅ y1[k] + β ⋅ y2[k]
其中α，β为任意常数
• 非线性系统：不具有线性特性的系统。
• 系统的数学模型 • 系统的方框图表示
• 系统的分类
• 连续时间系统与离散时间系 统
• 线性系统与非线性系统 • 时不变系统与时变系统 • 因பைடு நூலகம்系统与非因果系统 • 稳定系统与不稳定系统
系统是指由相互作用和依赖的若干事物组 成的、具有特定功能的整体。
输入信号
输出信号
信息源 传感 器
发送 设备
信道
⎣
�f 2 x2
[k ]⎤ [0]⎥⎦
⎫ ⎬ ⎭
=
a
y1[k
]
+
b
y2
[k
]
结论: 具有初始状态的线性系统，输出响应等于零输入响应
与零状态响应之和。
3．时不变系统与时变系统
• 系统的输出响应与输入激励的关系不随输入 激励作用于系统的时间起点而改变，就称为时不 变系统。否则，就称为时变系统。
信号与系统第三章(陈后金)3.
离散时间LTI系统的响应
3. 卷积法: 系统完全响应 = 零输入响应+零状态响应
y[k] yzi [k] yzs [k] yzi [k] x[k]* h[k]
✓ 求解齐次差分方程得到零输入响应
✓ 利用信号分解和线性非时变特性可求出 零状态响应
一、零输入响应
定义：系统的零输入响应是输入信号为零，仅由系 统的初始状态单独作用而产生的输出响应。
离散时间LTI系统的响应
1. 迭代法
n
m
ai y[k i] bj x[k j]
i0
j0
已知 n 个初始状态{ y[1], y[2], y[2],∙∙∙∙, y[n] } 和输入，由差分方程迭代出系统的输出。
n
m
y[k] ai y[k i] bj x[k j]
C2
1 2
解得 C1=1，C2= 2
yzi [k] (1)k 2(2)k k 0
[例] 已知某线性时不变系统的动态方程式为: y[k]+4y[k1]+4y[k2]=x[k]
解： (2) 求非齐次方程y[k]5y[k1]+6y[k2] =x[k]的特解yp[k]
由输入x[k]的形式，设方程的特解为
yp[k] Ak2k , k 0
将特解带入原差分方程即可求得常数A= 2。
[例]已知某二阶线性时不变离散时间系统的差分方程
y[k]5y[k1]+6y[k2] = x[k] 初始条件y[0] = 0，y[1] = 1，输入信号 x[k] = 2k u[k]，求系统的完全响应y[k]。
1) 若初始条件不变，输入信号 x[k] = sin0 k u[k]，
信号与系统-课件(陈后金)
f2(t) 0.5
0
t
y(t)=f1(t)+f2(t) 1
t 0
5 . 信号的相乘
f(t)=f1(t)·f2(t) ·…… ·fn(t)
f1(t) 1
t
-1
1
f (t) f1(t) f1(t) 1
f2(t) 1
t
-1
1
t
-2
2
6 . 信号的微分
y(t)=df(t)/dt=f '(t)
f (t) 1
0 t0
t
sin w0 (t - t0 ) u(t - t0 )
t 0 t0
2. 冲激信号
1)冲激信号的引出
单位阶跃信号加在电容两端，流过电容的电流 i(t)=C du(t)/dt可用冲激信号表示。 2)冲激信号的定义
狄拉克定义式：
(t)=0 , t0
+
(t) dt = 1 -
3) 冲激信号的图形表示
dt
性质：
'(t)dt 0
- t
'( )d (t)
-
f (t) ' (t) f (0) ' (t) - f ' (0) (t)
f (t) '(t)dt - f '(0)
-
'(t) (1)
t 0
冲激偶信号图形表示
•四种奇异信号具有微积分关系
'(t) d (t)
dt
t) du(t)
e j0k 的振荡频率不随角频率0的增加而增加。
e e e e j(0 +n2 )k
j0k j 2nk
j0k
周期性：
若e j0N 1
信号与系统第四章(陈后金)1
-2 1
0
2
t
解:
由
~ (t ) C 2 x Re( Cn e jn0t ) 0
n 1
周期三角脉冲信号的三角形式傅里叶级数展开式为
1 4 ~(t ) x [(2m 1)π]2 cosn0t 2 m=1
2π 0 π T0
1 4 4 4 2 cos 0 t 2 cos 3 0 t cos 5 0 t 2 2 π 9π 25π
0
~(t ) cos(n t )dt x 0
纵轴对称周期信号其傅里叶级数展开式中只含 有直流项与余弦项。
一、周期信号的傅里叶级数展开
4. 对称特性
(2) 原点对称信号
A
T0 / 2
T0 / 2
~(t ) ~(t ) x x
~(t ) x
0 T0 / 2 -A
t
2 ~(t ) cos(n t )dt 0 0 T0 / 2 x T0 2 T0 / 2 ~ 4 T0 / 2 ~ bn x (t ) sin(n0t )dt x (t ) sin(n0t )dt T0 / 2 0 T0 T0 an
周期信号的傅里叶级数表示 周期信号的频谱 傅里叶级数的基本性质 周期信号的功率谱
连续周期信号的频域分析
为什么进行信号的频域分析？
什么是频域的频谱？
如何进行信号的频域分析？
为什么进行信号的频域分析
进行信号频域分析的意义
1. 连续时间信号(周期为T0) jn0t ~ (t ) x X (n0 ) e
4. 对称特性
(4) 半波镜像信号
A T0/2 0 -A T0 t
~(t ) ~(t T / 2) x x 0
陈后金 信号与系统3 PPT
例2 已知某线性时不变系统的动态方程式为:
系统的初始状态为y(0)=1，y' (0)=3，求系统的零 输入响应yx(t)。
[解]
d2y dy 5 6 y (t ) 4 f (t ) 2 dt dt
t 0
系统的特征方程为 系统 2，s2 3
= 2(1 e 3t )u (t )
t 0 t 0
t 0 t0
连续时间系统的单位冲激响应
• 连续时间系统单位冲激响应的定义 • 冲激平衡法求系统的单位冲激响应 • 连续时间系统的单位阶跃响应
连续时间系统单位冲激响应的定义
在系统初始状态为零的条件下，以单位冲 激信号激励系统所产生的输出响应，称为系统的 单位冲激响应，以符号h(t)表示。
信号线性组合作用在系统上的响应，即系统在
任意信号f(t)激励下的零状态响应yf(t) 。
卷积法求解系统零状态响应yf (t)推导
(t ) h(t )
由时不变特性 由均匀特性 由积分特性
f (t )
(t ) h(t )
f ( ) (t ) f ( )h(t )
yh (t ) K1e s1t K 2e s2t K n e snt
(2) 特征根是相等实根s1=s2==sn
yh (t ) K1e s t K 2tes t K nt n1e s t
(3) 特征根是成对共轭复根 si i ji , i n / 2
1 t e 3
讨论
1) 若初始条件不变，输入信号 f(t) = sin t u(t)，则系 统的完全响应y(t) =？ 2) 若输入信号不变，初始条件y(0)=0, y’(0)=1, 则系 统的完全响应y(t)=？
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4. 信号的相加
f(t)=f1(t)+ f2(t)+ ……fn(t)
f1(t) 0.5 0 t -0.5 0.5 0
f2(t)
t
y(t)=f1(t)+f2(t) 1
0
t
5 . 信号的相乘
f(t)=f1(t)·2(t) · f …… ·n(t) f
f1(t) 1
f (t ) f 1 (t ) f 1 (t )
或r (t ) t u (t )
与阶跃信号之间的关系：
r (t )
r (t ) u ( ) d
-
t
1 1
t
dr(t ) u(t ) dt
4.冲激偶信号
定义： 性质：
d (t ) ' (t ) dt
-
t
' (t )dt 0
'(t)
(1)
-
一、典型普通信号
1 正弦信号
f (t ) A sin(w0t + j )
A: 振幅 w0:角频率弧度/秒 j:初始相位
sin(w 0 t + j ) A
t
j w0
-A
2 指数信号——实指数信号
f (t ) Ae
f (t ) Aeat
at
a <0
a >0
A
t
2 指数信号——虚指数信号
1 1
f (t )
t
T 2T T 2T
t
(b)
(a )
阶跃信号的作用：
2．利用阶跃信号的单边性表示信号的时间范围
sin w0t u(t )
sin w0 (t - t0 ) u(t )
t
0 0
t0
t
sin w0t u(t - t0 )
sin w0 (t - t0 ) u(t - t0 )
t
7. 信号的积分
y(t ) f ( ) d f -1 (t )
- t
y (t )
f (t) 1
t
-
f ( )d
2 1
t
-1
0
1
-1
0
1
t
[例题] 已知f(t)的波形如图所示，试画出f(6-2t)的波形。
1 -2
f(t)
0
3
t
缩2 翻转 右移3 f (t ) f (2t ) f (-2t ) f (-2(t - 3))
r (t ) u( )d
- t
t
u(t ) r ( )d
-
t
(t ) ' ( )d
-
[例题] 计算下列各式的值
(1) sin( t ) (t - )dt - 4
(2) e-5t (t - 1)dt
(3) e-2t (t + 8)dt
f(2t) 1 -1 t
-1.5
1
f(-2t)
1
f(-2t+6)
1.5
1
t
1.5
4
t
b f (-at b) f [-a(t )] a
先翻转
再展缩
后平移
-：右移b/a单位 +：左移b/a单位
0<a<1，扩展a倍 a>1， 压缩1/a倍
离散时间信号的时域描述
• 离散时间信号的表示 • 基本离散时间序列
4) 冲激信号的极限模型
h (t )
f (t ) 1 2
g (t ) 1
t
2
-
ห้องสมุดไป่ตู้-
t
-
1/
t
(t ) lim f (t ) lim g (t ) lim h (t )
0 0 0
5) 冲激信号的性质 (1)筛选特性
f (t )
t
0 t0 0
t
t0
2. 冲激信号
1)冲激信号的引出 单位阶跃信号加在电容两端，流过电容的电流 i(t)=C du(t)/dt可用冲激信号表示。 2)冲激信号的定义 狄拉克定义式：
(t)=0 , t0
+
-
(t ) dt = 1
3) 冲激信号的图形表示
(t )
(1)
t
t0
(t - t 0 )
(4) e -t (2 - 2t )dt
-
+
+3
t (5) (t + 3t ) ( - 1)dt -2 3
2
+2
-2 +6
(6)(t + 2t + 3) (t - 2)
3 2
-4 +
(7)e-4t (2 + 2t )
(8)e-2t u(t ) (t + 1)
2. 信号的翻转 f (t) f (-t)
将f (t)以纵轴为中心作180翻转
f (t) 1
f (-t) 1
0
2
4
t
-4
-2
0
t
3. 时移（平移）
f (t) 1
f(t) f(t-t0)
0
2
4
t
f (t-2) 1 1
f (t+2)
0
4
6
t
0
t 2
f(t-t0)，则表示信号右移t0单位； f(t+t0)，则表示信号左移t0单位。
取a= -1 即可得 (t)=(-t) 推论：冲激信号是偶函数。
5) 冲激信号的性质
(4) 冲激信号与阶跃信号的关系
1 t > 0 ( )d 0 t < 0 -
t
u(t )
du(t ) dt
(t )
3.斜坡信号
定义：
t r (t ) 0 t0 t<0
t
t
3.抽样函数
Sa (t ) sin t / t
抽样函数具有以下性质： Sa (0) 1
Sa (k ) 0, k 1,2
1
Sa (t )
-
Sa (t)dt
-
2 3
t
与Sa(t)函数类似的是sinc(t) 函数，其定义为
sinc(t ) sin(t ) /(t )
-
(t - t0 )dt f (t0 )
5) 冲激信号的性质 (3)展缩特性 证明：
1 (at) (t ) a
at x
-
g (t ) (at)dt
-
x dx g ( ) ( x) a a
g ( 0) a
-
g (t )
(t )
a
dt
g ( 0) a
信号的时域分析
• • • • •
连续时间信号的时域描述 连续时间信号的基本运算 离散时间信号时域描述 离散时间信号的基本运算 确定信号的时域分解
连续时间信号的时域描述
• 典型普通信号
• • • • • 正弦信号 实指数信号 虚指数信号 复指数信号 抽样函数
• 奇异信号
• • • • 单位阶跃信号 冲激信号 斜坡信号 冲激偶信号
' ( )d (t )
0
f (t ) ' (t ) f (0) ' (t ) - f ' (0) (t )
t
-
f (t ) ' (t )dt - f ' (0)
冲激偶信号图形表示
•四种奇异信号具有微积分关系
d (t ) ' (t ) dt du (t ) (t ) dt dr (t ) u (t ) dt
1 jwt - jwt sin(wt ) (e - e ) 2j
2 指数信号——复指数信号
f (t ) Aest s + jw0
f (t ) Aet e jw0t Aet cosw0t + jAet sin w0t
et sin w0t et sin w0t
<0
[解]
(1) sin( t ) (t - )dt sin( ) 2 / 2 - 4 4
+
(2) e -5t (t - 1)dt e -5 1 1 / e5
(3) e -2t (t + 8)dt 0
-4
+3
-2 +6
1 1 (4) e (2 - 2t )dt e (t - 1) dt - - 2 2e +2 +2 t 2 (5) (t + 3t ) ( - 1)dt (t 2 + 3t ) 3 (t - 3) dt 0 -2 -2 3 (6)(t 3 + 2t 2 + 3) (t - 2) (23 + 2 22 + 3) (t - 2) 19 (t - 2) 1 - 4 (-1) 1 4 - 4t - 4t 1 (7)e (2 + 2t ) e (t + 1) e (t + 1) e (t + 1) 2 2 2 (8)e-2t u(t ) (t + 1) e-2 (-1)u(-1) (t + 1) 0 (t + 1) 0
例：尺度变换变换后语音信号的变化