《平面向量与复数》测试卷及答案解析

2021年新高考数学总复习第五章《平面向量与复数》测试卷
及答案解析
一、选择题
1．设a 是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( )
A ．a 与λa 的方向相反
B ．a 与λ2a 的方向相同
C ．|－λa |≥|a |
D ．|－λa |≥|λ|·a
答案 B
解析 对于A ，当λ>0时，a 与λa 的方向相同，当λ<0时，a 与λa 的方向相反；B 正确；对于C ，|－λa |＝|－λ||a |，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa |与|a |的大小关系不确定；对于D ，|λ|a 是向量，而|－λa |表示长度，两者不能比较大小．
2．(2020·联考)已知向量a ＝(0,1)，b ＝(2,1)，且(b ＋λa )⊥a ，则实数λ的值为( )
A ．2
B ．－2
C ．1
D ．－1
答案 D
解析 已知向量a ＝(0,1)，b ＝(2,1)，b ＋λa ＝(2,1＋λ)，(b ＋λa )⊥a ，即(b ＋λa )·a ＝1＋λ＝0⇒λ＝－1. 故选D.
3．(2020·诊断)若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，m )，且a －b 与b 的夹角为钝角，则实数m 的取值范围是( )
A ．(0,2)
B ．(－∞ ,2)
C ．(－2,2)
D ．(－∞，0)∪(2，＋∞) 答案 D
解析 a －b ＝(0,2－m )，由于两个向量的夹角为钝角，由夹角公式得(a －b )·b |a －b ||b |＝2m －m 2
|2－m |·1＋m 2<0，即2m －m 2<0，解得m <0或m >2.故选D.
4．(2020·诊断)已知向量a ＝(4，－7)，b ＝(3，－4)，则a －2b 在b 方向上的投影为( )
A ．2
B ．－2
C ．－2 5
D ．2 5
答案 B
解析 向量a ＝(4，－7)，b ＝(3，－4)，
∴a －2b ＝(－2,1)，
∴(a －2b )·b ＝(－2,1)·(3，－4)＝－10，
|b |＝32＋(－4)2＝5，
∴向量a －2b 在向量b 方向上的投影为
|a －2b |cos 〈(a －2b )，b 〉＝(a －2b )·b |b |＝－105
＝－2. 故选B. 5.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的
两点M ，N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案 B
解析 ∵O 为BC 的中点，
∴AO →＝12
(AB →＋AC →) ＝12(mAM →＋nAN →)＝m 2AM →＋n 2
AN →， ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n 2
＝1， ∴m ＋n ＝2.
6．已知△ABC 为等腰三角形，满足AB ＝AC ＝3，BC ＝2，若P 为底边BC 上的动点，则AP →·(AB
→＋AC →)( )
A ．有最大值8
B ．是定值2
C ．有最小值1
D ．是定值4 答案 D
解析 如图，设AD 是等腰三角形底边BC 上的高，长度为3－1＝ 2.故AP →·(AB →＋AC →)＝(AD
→＋DP →)·2AD →＝2AD →2＋2DP →·AD →＝2AD →2＝2×(2)2＝4.故选D.
7．(2019·福建闽侯五校期中联考)设单位向量e 1，e 2对于任意实数λ，都有⎪
⎪⎪⎪e 1＋12e 2≤|e 1－λe 2|成立，则向量e 1，e 2的夹角为( )。