第21讲三角函数值域问题的破解策略p

三角函数值域问题的破解策略

策略1：逆用两角和与差的正弦(或余弦)公式、倍角公式转化为一次函数b kx y +=型,再由三角函数的有界性得解.(其中x 为正弦或余弦函数,b k ,为常数)

1.1形如c b a y ++=ααcos sin 的函数,可设22sin b a b +=ϕ,22cos b a a +=ϕ,逆用和角公式得到

(),sin 22c b a y +++=ϕα化为一次函数b kx y +=型.

例1：定义在R 上的函数x x x f cos 3sin )(+=的最大值是 . 1.2形如d x c x x b x a y +++=22cos cos sin sin 的函数可先逆用倍角公式化归为例1的形式再求解. 例2：已知函数)cos (sin sin 2)(x x x x f +=.求函数)(x f 的最大值.

1.3形如)cos(sin ϕ++=x b x a y 或)cos(sin ϕ+=x x a y 的的函数（式中也可以是同名函数），可先用和角公式展开，化归为例1、例2的形式求最值.

例3：函数)80sin(5)20sin(300+++=x x y 的最大值是（ ）A. 211 B. 6

37 C. 7 D. 6 0000:20,3sin 5sin(60)3sin 5(sin cos60cos sin 60)x y θθθθθθ=+=++=++解设则

11531153sin cos 7(sin cos )7sin()221414

θθθθθϕ=+=⋅+⋅=+ (其中1435sin ,1411cos ==

ϕϕ)，7,1)sin(取得最大值时当y =+∴ϕθ. 例4：求函数x x y cos )6sin(⋅-

=π的最小值.

解: x x y cos )6sin(⋅-=π 231(sin cos

cos sin )cos sin cos cos 6622x x x x x x π

π=-=- 31111sin 2cos 2sin(2)444264x x x π=--=-- 43,1)62sin(--=-∴取得最小值时当y x π. 1.4形如sin sin a x b y c x d

+=+的函数可分离常数，利用有界性求解. 例5： 求函数

的最大值和最小值. 1.5形如d

x c b x a y ++=

cos sin 的函数可将y 看作参数，化归为例1的形式求解. 例6：一条河宽1km ，两岸各有一座城市A 与B ，A 与B 的直线距离为4km ，今需铺设一条电缆线连接A 与B 。已知地下的电缆修建费是2万元/km ，水下电缆的修建费是4万元/km 。假定河两岸是平行的直线，问应如何铺设电缆方可使总施工费用达到最少

解：设θ=∠CAD ，则,sec ,θθ==AD tg CD

A

C D B θtg DB CB -==15,15设总费用为y 万元，则42sin 4sec 2215215(0)cos 2y tg θπθθθθ-=-+=

+<< 现求)2

0(cos sin 24πθθθ<<-=u 的最小值:

min

min

cos2sin4,sin()

3

2,1,,sin()1

2444

4,

2

3

u

u

u arctg arctg

u

y BD

θθθϕ

πππ

ϕθϕθϕ

π

θϕ

+=+=

>∴=>=<+<∴+≤

+==

∴==

由可得

故若即

即水下电缆应从距B城（

3

3

15-）km处向A城铺设。

1.6参数型,注意分类讨论,特别小心定义域对值域的限制.

例7：函数b

a

x

x

a

x

a

y+

+

-

=cos

sin

3

2

sin

22的定义域为⎥

⎦

⎤

⎢⎣

⎡

2

,0

π

,值域为[]1,5-,求常数b a,的值

.

:(1cos2)sin22cos2)2

2(sin2cos cos2sin)22sin(2)2

666

y a x x a b a x x a b

a x x a

b a x a b

πππ

=-++=-+++

=-+++=-+++

解

7

02,

2666

x x

ππππ

≤≤≤+≤

由知

1

sin(2)1

26

x

π

-≤+≤

故

,

)

6

2

sin(

2

2

,0

)a

x

a

a

a

i≤

+

-

≤

-

>

π

则

若2sin(2)23()3.

6

b a x a b a b b f x a b

π

≤-+++≤+≤≤+

即

312

,

55

a b a

b b

+==

⎧⎧

⎨⎨

=-=-

⎩⎩

由已知得即

)0,(),

)0,2sin(2)2,3().

6

ii a f x b

iii a a a x a a b f x b

π

==

<≤-+≤-+≤≤

若则不合题意

若则得

1222

,

35151

b a a a

a b b b b

==-==-

⎧⎧⎧⎧

⎨⎨⎨⎨

+=-==-=

⎩⎩⎩⎩

由已知得即综上所述或

策略2：通过换元转化为二次函数c

bt

at

y+

+

=2型,求一元二次函数在区间上的值域问题.

2.1求形如c

x

b

x

a

y+

+

=sin

sin2的函数的值域可利用换元化归为一元二次函数在区间上的值域问题，小心定义域对值域的限制.

例8：求函数⎥

⎦

⎤

⎢⎣

⎡

∈

+

-

-

=

3

2

,

3

,4

cos

4

sin

32

π

π

x

x

x

y的值域.

22

2

max min

21

:3cos4cos13(cos),

33

2112111

cos,,,,3(),,,

33223322

11511115

,;,,,

242444

y x x x

t x x t y t t

t y t y

ππ

=-+=--

⎡⎤⎡⎤⎡⎤

=∈∈-∴=--∈-

⎢⎥⎢⎥⎢⎥

⎣⎦⎣⎦⎣⎦

⎡⎤

∴=-===--⎢⎥

⎣⎦

解

设由得

当时当时故函数值域为

2.2求同时含有x

x cos

sin与x

x cos

sin+（或x

x cos

sin-）的函数的值域，一般令t

x

x=

+cos

sin(或t

x

x=

-cos

sin)可以化归为求c

bt

at

y+

+

=2在区间上的值域，要注意t的取值范围.

例9：当R

x∈时,求函数x

x

y cos

sin+

=+2

cos

sin

2+

x

x的最值.若⎥

⎦

⎤

⎢⎣

⎡

∈

2

,0

π

x呢？