泛函完整37题缩印便携版v1.0

1.设(X,d)是距离空间，令.求证(X,d)也是距离空间。

9.设

X

为距离空间，F1，F2为X中不相交的闭集，证明存在开集G1，G2，使得

13.设f是定义在距离空间X上的实函数，证明f连续的充分必要条件是下列条件之

一成立：(1)对任何实数a,{x:f(x)>a}及{x:f(x)=a}

及{x:f(x)<=a}均为闭集

是x上的连续函数

31、设D是[0,1]区间上具有连续函数（在端点1,0tt==分别具有左右导数）的实

函数全体，在D定义试证明：（1）D是距离空间（2）指出D中点列按距离收敛的意义；（3）证D完备。证明：（1）证明D是距离空间：

（2）指出D中点列按距离收敛的意义：

（3）证明D的完备性。

设{x n(t)}时D上的Cauchy列，要证{x n(t)}在D中存在极限；因为：

7、设X是[]0,1上所有连续函数()xxt=的集合，证明是X上的范数，但X在这种范数下不完备。8.

设

(X,||

·

||)是赋范空间，X<>{0}。证明X为Banach空间的充要条件是X中的单位球面S={x∈X|||x||=1}完备。

10、设H是在直线R上平方可积，导数也平方可积的连续函数集合，对于每个fH∈,

定义证明H是Banach空间。

21.设C(0,1]表示(0,1]上连续且有界的函数x(t)的全体。令||x||=sup{|x(t)||0

证明(1)||·||是C(0,1]空间上的范数(2)l∞与C(0,1]的一个子空间等距同构

33.设(X1,||x||1),(X2,||x||2)是Banach空间，在乘积线性空间Z=X1*X2中定义

||z||1=||x||1+||x||2,其中z∈Z，z=(x1,x2).证明Z是Banach空间。

11.对于内积空间H，下述条件等价：(1)x⊥y(2)||x+ay||>=||x||,∨a∈C (3)||x+ay||=||x-ay||,∨a∈C

13.设M={x|x={x n}∈l2,x2n=0,n=1,2,…}，证明M是l2的闭子空间，且求出M⊥

29.设H为Hilbert空间，若E H是线性子空间并且对于任意的x∈H，x在E上的投影

存在，则E是闭的。

证：因为X，Y是Banach空间，且T:X→Y是满射和单射，则根据逆算子定理有：

12.考虑算子T：C1[-1,1]→C[-1,1]:

这里C1[-1,1]是在[-1,1]中一阶导数连续的全体函数

(1)若C1[-1,1]中的范数是

问T是否有界

(2)若C1[-1,1]中的范数是问T是否有界。

22题

证明

25

题证

32.

设X 是l ∞

中只有有限个零项的序列构成的子空间，定义证明

（1）

T ∈B(X )并计算||T||（2）T -1

无界(3)这是否与Banach 逆算子定理矛盾？证33题目.39.设X,Y 是线性赋范空间。若T1:X →Y 是闭算子且T2∈B(X,Y)，证明T1+T2是闭算子

3.

证明