常州大学数值分析课后习题答案第二章第三章第四章节
数值分析课程第五版课后习题答案
=
1 = 1.7863 × 10 − 2 。 55.982
8、当 N 充分大时，怎样求 ∫ [解]因为 ∫
N +1 N
1 dx ？ 1+ x2
1 dx = arctan( N + 1) − arctan N ，当 N 充分大时为两个相近数相 1+ x2
减，设 α = arctan( N + 1) ， β = arctan N ，则 N + 1 = tan α ， N = tan β ，从而 tan(α − β ) = 因此 ∫
5、计算球体积要使相对误差限为 1%，问度量半径 R 允许的相对误差是多少？ 4 ε * ( π (R* )3 ) 4 3 [解]由 1% = ε r* ( π ( R * ) 3 ) = 可知， 4 3 * 3 π (R ) 3 ′ 4 4 4 ε * ( π ( R * ) 3 ) = 1% × π ( R * ) 3 = π ( R * ) 3 ε * ( R * ) = 4π ( R * ) 2 × ε * ( R * ) ， 3 3 3
ε * ( y n ) = 10ε * ( y n −1 ) = 10 n ε * ( y 0 ) ，
1 1 从而 ε * ( y10 ) = 1010 ε * ( y 0 ) = 1010 × × 10 − 2 = × 10 8 ，因此计算过程不稳定。 2 2 12、计算 f = ( 2 − 1) 6 ，取 2 ≈ 1.4 ，利用下列公式计算，哪一个得到的结果最 好？ 1 ( 2 + 1)
* r
x= x
*
ε ( x * ) = n( x * ) n −1 2% x * = 2n% ⋅ x * ，
2020年智慧树知道网课《数值分析》课后章节测试满分答案
第一章测试1【单选题】(20分)在数值计算中因四舍五入产生的误差称为（）A.方法误差B.舍入误差C.模型误差D.观测误差2【多选题】(20分)当今科学活动的三大方法为（）。
A.理论B.科学计算C.实验D.数学建模3【判断题】(20分)计算过程中如果不注意误差分析，可能引起计算严重失真。
A.对B.错4【判断题】(20分)算法设计时应注意算法的稳定性分析。
A.错B.对5【判断题】(20分)在进行数值计算时，每一步计算所产生的误差都是可以准确追踪的。
A.对B.错第二章测试•第1部分•总题数:71【单选题】(14分)A.B.C.D.2【单选题】(14分)某函数过(0,1)，(1,2)两点，则其关于这两点的一阶差商为A.B.2C.3D.13【单选题】(14分)A.B.C.D.4【单选题】(14分)下列说法不正确的是A.分段线性插值的几何图形就是将插值点用折线段依次连接起来B.分段线性插值的导数一般不连续C.高次多项式插值不具有病态性质D.分段线性插值逼近效果依赖于小区间的长度5【多选题】(20分)下列关于分段线性插值函数的说法，正确的是A.对于光滑性不好的函数优先用分段线性插值B.一次函数的分段线性插值函数是该一次函数本身C.二次函数的分段线性插值函数是该二次函数本身D.对于光滑性较好的函数优先用分段线性插值6【多选题】(20分)A.B.C.D.7【判断题】(14分)同一个函数基于同一组插值节点的牛顿插值函数和拉格朗日插值函数等价。
A.对B.错第三章测试1【单选题】(15分)A.B.C.D.2【单选题】(15分)以下哪项是最佳平方逼近函数的平方误差A.B.C.D.3【单选题】(15分)当区间为[-1,1],Legendre多项式族带权()正交。
A.B.C.D.4【单选题】(15分)n次Chebyshev多项式在(-1,1)内互异实根的个数为A.n+1B.nC.n+2D.n-15【多选题】(10分)用正交函数族做最小二乘法有什么优点A.得到的法方程非病态B.不用解线性方程组，系数可简单算出C.每当逼近次数增加1时，之前得到的系数不需要重新计算D.每当逼近次数增加1时，系数需要重新计算6【判断题】(10分)用正交多项式作基求最佳平方逼近多项式，当n较大时，系数矩阵高度病态，舍入误差很大。
数值分析第三版课本习题及答案
数值分析第三版课本习题及答案第⼀章绪论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五⼊得到的近似数,即误差限不超过最后⼀位的半个单位,试指出它们是⼏位有效数字:*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====?4. 利⽤公式求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=…)计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多⼤误差?7. 求⽅程25610x x -+=的两个根,使它⾄少具有四位有效数字.8. 当N 充分⼤时,怎样求211Ndx x +∞+?9. 正⽅形的边长⼤约为100㎝,应怎样测量才能使其⾯积误差不超过1㎝210. 设212S gt =假定g 是准确的,⽽对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,⽽相对误差却减⼩. 11. 序列{}n y 满⾜递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多⼤?这个计算过程稳定吗?12.计算61)f =,1.4≈,利⽤下列等式计算,哪⼀个得到的结果最好?13.()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平⽅⽤六位函数表,问求对数时误差有多⼤?若改⽤另⼀等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多⼤?14. 试⽤消元法解⽅程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只⽤三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三⾓形⾯积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c 证明⾯积的误差s ?满⾜.s a b cs a b c ≤++第⼆章插值法1. 根据定义的范德蒙⾏列式,令200011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==LLL L L L L L L证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -L ,且101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--L L .2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的⼆次插值多项式.3. 给出f (x )=ln x 的数值表⽤线性插值及⼆次插值计算ln 的近似值.x 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i)0()(0,1,,);nkkj jj x l x x k n =≡=∑Lii)()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑L7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表,若⽤⼆次插值求x e 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使⽤函数表的步长h 应取多少?9. 若2n n y =,求4n y ?及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ?=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)kf x k m ?≤≤是m k -次多项式,并且()0(m lf x l +?=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +?=?+?.12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==?=--?∑∑13. 证明12n j n j y y y -=?=?-?∑14. 若1011()n nn n f x a a x a x a x --=++++L 有n 个不同实根12,,,n x x x L ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i) 若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =L L ;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+L L L .16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f L 及0182,2,,2f L . 17. 证明两点三次埃尔⽶特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔⽶特插值的误差限.18. 求⼀个次数不⾼于4次的多项式()P x ,使它满⾜(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔⽶特插值的误差限.19. 试求出⼀个最⾼次数不⾼于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满⾜以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造⼀个台阶形的零次分段插值函数()n x ?并证明当n →∞时,()n x ?在[],a b 上⼀致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()hI x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差. 23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔⽶特插值,并估计误差.24. 给定数据表如下:(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)[][][][]222()()()()2()()()bbbba a a a f x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx "-"="-"+""-";ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==L ,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=L ,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'?.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可⽤式的表达式).第三章函数逼近与计算1. (a)利⽤区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做⽐较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳⼀致逼近多项式.4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳⼀致逼近多项式.5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极⼩,⼜问这个解是否唯⼀?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳⼀次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳⼀次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最⼩?r 是否唯⼀? 9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*的正交多项式.12. 在[]1,1-上利⽤插值极⼩化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极⼩化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若nf L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ?=-----,试将()x ?降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[ ]1,1-上利⽤幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dxπ+-?为最⼩.并与1题及6题的⼀次逼近多项式误差作⽐较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+??问它们是否构成内积?19. ⽤许⽡兹不等式估计6101x dx x +?的上界,并⽤积分中值定理估计同⼀积分的上下界,并⽐较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最⼩值:112221110010121,,,span x span x x 1?=?=,分别在1?、2?上求出⼀个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平⽅逼近,并⽐较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ?=上的最佳平⽅逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第⼆类切⽐雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切⽐雪夫多项式展开,求三次最佳平⽅逼近多项式并画出误差图形,再计算均⽅误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切⽐雪夫级数.26. ⽤最⼩⼆乘法求⼀个形如2y a bx =+的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均⽅误差.28. 在某化学反应⾥,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下:⽤最⼩⼆乘拟合求.29. 编出⽤正交多项式做最⼩⼆乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出⼀张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试⽤改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =L第四章数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量⾼,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度: (1)101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++?;(2)21012()()(0)()hh fx dx A f h A f A f h --≈-++?;(3)[]1121()(1)2()3()/3()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'?.2. 分别⽤梯形公式和⾟普森公式计算下列积分: (1)120,84xdx n x =+?; (2)1210(1),10x e dx n x --=?;(3)1,4n =?; (4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式具有5次代数精度.4. ⽤⾟普森公式求积分1xedx-?并计算误差.5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2baf f x dx b a f a b a 'η=-+-?; (2)2()()()()()2baf f x dx b a f b b a 'η=---?;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-?.6. 证明梯形公式和⾟普森公式当n →∞时收敛到积分7. ⽤复化梯形公式求积分()baf x dx,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍⼊误差)?8.1x e dx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是⼀个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这⾥a 是椭圆的半长轴,c 是地球中⼼与轨道中⼼(椭圆中⼼)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公⾥为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第⼀颗⼈造卫星近地点距离439h =公⾥,远地点距离2384H =公⾥,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin3!5!n nn n ππππ=-+-L试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,⽤外推算法求π的近似值.11. ⽤下列⽅法计算积分31dyy ?并⽐较结果.(1) 龙贝格⽅法;(2) 三点及五点⾼斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,⽤复化两点⾼斯公式.12. ⽤三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =第五章常微分⽅程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉⽅法和改进的尤拉⽅法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相⽐较。
数值分析部分答案
计算， 解
Q f(x) ln(x Jx21),f(30)In(30 s/899)设u ^y899, y f (30)则u*
yu
u
1*
g u
0.0167
3
若改用等价公式
ln(x•.厂1)In (x1)
贝卩f(30)In(30x899)
此时
* *
yr u
u
1*
u
59.9833
7
第二章插值法
2
X
0.4
0.5
(y2*)10 (y「)
2
(y2*)10 (y°*)
S*)1010(yo*)
101011022
(x1)7
6* *
7y x
(x 1)
* *
y x
*2*
(32x)g x
6* *
*y g x
3 2x
* *
y x
(3 2.2)3计算y值，则
1
(3 2x )4
1*
7y x
(3 2x )7'
* *
y x
(3 2 <2)
(3)(x2/x4)
0.031 385.6
1.1021 385.6
x；
*ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(X4)
X4(X2)
* 2
X4
131
1056.43010
2 2
56.430 56.430
5
解：球体体积为V 4R
3
则何种函数的条件数为
2
Rgl R
1 V丨
43
-R3
3
3
r(V*) Cpgr(R*)3r(R*)
Cp
又Qr(V*)1
数值分析课后习题答案
7、计算的近似值，取。
利用以下四种计算格式，试问哪一种算法误差最小。
〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕解：计算各项的条件数由计算知，第一种算法误差最小。
解：在计算机上计算该级数的是一个收敛的级数。
因为随着的增大，会出现大数吃小数的现象。
9、通过分析浮点数集合F=〔10，3，-2，2〕在数轴上的分布讨论一般浮点数集的分布情况。
10、试导出计算积分的递推计算公式，用此递推公式计算积分的近似值并分析计算误差，计算取三位有效数字。
解：此算法是数值稳定的。
第二章习题解答1.〔1〕 R n×n中的子集“上三角阵〞和“正交矩阵〞对矩阵乘法是封闭的。
〔2〕R n×n中的子集“正交矩阵〞，“非奇异的对称阵〞和“单位上〔下〕三角阵〞对矩阵求逆是封闭的。
设A是ｎ×ｎ的正交矩阵。
证明A-1也是ｎ×ｎ的正交矩阵。
证明：〔2〕A是ｎ×ｎ的正交矩阵∴A A-1 =A-1A=E 故〔A-1〕-1=A∴A-1〔A-1〕-1=〔A-1〕-1A-1 =E 故A-1也是ｎ×ｎ的正交矩阵。
设A是非奇异的对称阵，证A-1也是非奇异的对称阵。
A非奇异∴A可逆且A-1非奇异又A T=A ∴〔A-1〕T=〔A T〕-1=A-1故A-1也是非奇异的对称阵设A是单位上〔下〕三角阵。
证A-1也是单位上〔下〕三角阵。
证明：A是单位上三角阵，故|A|=1，∴A可逆，即A-1存在，记为〔b ij〕n×n由A A-1 =E，那么〔其中 j＞i时，〕故b nn=1, b ni=0 (n≠j)类似可得，b ii=1 (j=1…n) b jk=0 (k＞j)即A-1是单位上三角阵综上所述可得。
R n×n中的子集“正交矩阵〞，“非奇异的对称阵〞和“单位上〔下〕三角阵〞对矩阵求逆是封闭的。
2、试求齐次线行方程组Ax=0的根底解系。
A=解：A=～～～故齐次线行方程组Ax=0的根底解系为，3.求以下矩阵的特征值和特征向量。
数值分析第五版课后习题答案
数值分析第五版课后习题答案数值分析是一门应用数学的分支学科，主要研究如何利用数值方法解决实际问题。
在学习这门课程的过程中，课后习题是不可或缺的一部分。
本文将对《数值分析第五版》的课后习题进行一些探讨和解答。
第一章是数值分析的导论，主要介绍了误差分析和计算方法的基本概念。
在课后习题中，有一道题目是关于误差传播的。
假设有一个函数f(x, y) = x^2 + y^2，其中x和y的测量误差分别为Δx和Δy，要求计算f(x, y)的误差。
解答：根据误差传播公式，可以得到f(x, y)的误差为Δf = √[(∂f/∂x)^2 *(Δx)^2 + (∂f/∂y)^2 * (Δy)^2]。
对于本题而言，∂f/∂x = 2x，∂f/∂y = 2y。
代入公式，得到Δf = √[(2x)^2 * (Δx)^2 + (2y)^2 * (Δy)^2] = 2√(x^2 * (Δx)^2+ y^2 * (Δy)^2)。
第二章是插值与多项式逼近的内容。
其中一道习题涉及到拉格朗日插值多项式。
给定n+1个数据点(x0, y0), (x1, y1), ..., (xn, yn)，要求构造一个n次多项式p(x)，使得p(xi) = yi (i = 0, 1, ..., n)。
解答：拉格朗日插值多项式的表达式为p(x) = Σ(yi * Li(x))，其中Li(x) = Π[(x - xj) / (xi - xj)]，j ≠ i。
将数据点代入表达式中，即可得到所求的多项式。
第三章是数值微积分的内容，其中一道习题是关于数值积分的。
给定一个函数f(x)，要求使用复化梯形公式计算定积分∫[a, b]f(x)dx。
解答：复化梯形公式的表达式为∫[a, b]f(x)dx ≈ h/2 * [f(a) + 2Σf(xi) + f(b)]，其中h = (b - a)/n，xi = a + i * h (i = 1, 2, ..., n-1)。
根据给定的函数f(x)，代入公式中的各个值，即可得到近似的定积分值。
数值分析课后习题答案
第一章习题解答1. 在下列各对数中，X 是精确值ａ的近似值（1） ａ=π，x=3.1 （2） ａ=1/7，x=0.143 （3） ａ=π/1000，x=0.0031 （4） ａ=100/7，x=14.3 试估计x 的绝对误差和相对误差。
解：（1） e=∣3.1-π∣≈0.0416， δr = e/∣x ∣≈0.0143 （2） e=∣0.143-1/7∣≈0.0143 δr = e/∣x ∣≈0.1 （3） e=∣0.0031-π/1000∣≈0.0279 δr = e/∣x ∣≈0.9 (4) e=∣14.3-100/7∣≈0.0143 δr = e/∣x ∣≈0.0012. 已知四个数：x 1=26.3，x 2=0.0250， x 3= 134.25，x 4=0.001。
试估计各近似数的有效位数和误差限，并估计运算μ1= x 1 x 2 x 3和μ1= x 3 x 4 /x 1的相对误差限。
解：x 1=26.3 ｎ=3 δx 1=0.05 δr x 1=δx 1/∣x 1∣=0.19011×10-2x 2=0.0250 ｎ=3 δx 2=0.00005 δr x 2=δx 2/∣x 2∣=0.2×10-2x 3= 134.25 ｎ=5 δx 3=0.005 δr x 3=δx 3/∣x 3∣=0.372×10-4x 4=0.001 ｎ=1 δx 4=0.0005 δr x 4=δx 4/∣x 4∣=0.5由公式：e r （μ）= e （μ）/∣μ∣≦1/∣μ∣Σni=1∣∂f/∂x i ∣δx ie r （μ1）≦1/∣μ1∣［x 2 x 3δx 1+ x 1 x 3δx 2 +x 1x 2δx 3］ =0.34468/88.269275 =0.0039049e r （μ2）≦1/∣μ2∣［-x 3 x 4/ x 21δx 1+ x 4/ x 1δx 3 + x 3/ x 1δx 4］ =0.497073. 设精确数ａ>0，x 是ａ的近似值，x 的相对误差限是0.2，求㏑x 的相对误差限。
数值分析第三章答案
数值分析第三章答案【篇一：常州大学数值分析作业第三章】答：matlab 程序function [a,y]=lagrange(x,y,x0) %检验输入参数if nargin 2 || nargin 3error(incorrect number of inputs); endif length(x)~=length(y)error(the length of x must be equal to it of y); endm=length(x);n=m-1;l=zeros(m,m); %计算基本插值多项式的系数for i=1:n+1 c=1;for j=1:n+1if i~=jif abs(x(i)-x(j))eps abs(x(i)-x(j))epserror(there are two two same nodes);endc=conv(c,poly(x(j)))/(x(i)-x(j));end endl(i,:)=c; end%计算lagrange插值多项式的系数 a=y*l;%计算f(x0)的近似值 if nargin==3y=polyval(a,x0);工程（专）学号：14102932enda=fliplr(a); return[a,y] = lagrange(x,y,x0); p1 = vpa(poly2sym(a),3) y[a,y] = lagrange(x,y,x0); p2=vpa(poly2sym(a),3) yp2 = x2 - 0.109x - 0.336 y =0.5174[a,y]=lagrange(x,y,x0); p4=vpa(poly2sym(a),3) yp4 =x4 + 0.00282x3 - 0.514x2 + 0.0232x + 0.0287 y =0.5001次多项式在2.8处的值。
答：matlab 程序 function[t,y0]=aitken(x,y,x0,t0) if nargin==3 t0=[]; endn0=size(t0,1);m=max(size(x)); n=n0+m;t=zeros(n,n+1);t(1:n0,1:n0+1)=t0; t(n0+1:n,1)=x; t(n0+1:n,2)=y; if n0==0 i0=2; elsei0=n0+1; endfor i=i0:nfor j=3:i+1t(i,j)=fun(t(j-2,1),t(i,1),t(j-2,j-1),t(i,j-1),x0); end endy0=t(n,n+1); returnfunction [y]=fun(x1,x2,y1,y2,x) y=y1+(y2-y1)*(x-x1)/(x2-x1); return%选取0、1、3、4四个节点，求三次插值多项式 x=[0,1,3,4];y=[0.5,1.25,3.5,2.75]; x0=2.8;[t,y0]=aitken(x,y,x0) t =0 0.5000 00 0 1.01.25002.6000 0 0 3.03.50003.29993.23000 4.02.75002.07502.28503.4190 y0 =3.41900000000000016、选取适当的函数y=f(x)和插值节点，编写matlab程序,分别利用lagrange插值方法,newton插值方法确定的插值多项式，并将函数y=f(x)的插值多项式和插值余项的图形画在同一坐标系中，观测节点变化对插值余项的影响。
数值分析课后习题及答案
第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。
[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。
3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。
若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。
常州大学数值分析作业(共六章)
第二章：20.（1）用 Jacobi 迭代法解方程组 AX=b. function [x,iternum,flag]=jacobi(A,b,x0,delta,max1) %检验输入参数，初始化 if nargin<2,error('more augments are needed');end if nargin<3,x0=zeros(size(b));end if nargin<4,delta=1e-13;end if nargin<5,max1=100;end if nargin>5,error('incorrect number of input');end n=length(b);x=0*b;flag=0;iternum=0; %用Jacobi迭代法解方程组 for k=1:max1 iternum=iternum+1; for i=1:n if abs(A(i,i))<eps error('A(i,i) equal to zero,divided by zero'); end x(i)=(b(i)-A(i,[1:i-1,i+1:n])*x0([1:i-1,i+1:n]))/A(i,i); end err=norm(x-x0); relerr=err/(norm(x)+eps); x0=x; if (err<delta)||(relerr<delta) flag=1; break; end end if flag==1 disp('The Jacobi method converges.') x=x; else disp(['The Jacobi method does not converge with '... ,num2str(max1),' iterations']) end return A=[1 2 -2;1 1 1;2 2 1]; b=[1;1;1]; [x,iternum,flag]=jacobi(A,b) 输出结果为： The Jacobi method converges. ans = -3 3 1 iternum =4 flag = 1
数值分析参考答案(第二章)doc资料
证明：
（1）
得证。
+
得证。
14． 求 及 。
解：
若
则
15．证明两点三次埃尔米特插值余项是
解：
若 ，且插值多项式满足条件
插值余项为
由插值条件可知
且
可写成
其中 是关于 的待定函数，
现把 看成 上的一个固定点，作函数
根据余项性质，有
由罗尔定理可知，存在 和 ，使
即 在 上有四个互异零点。
根据罗尔定理， 在 的两个零点间至少有一个零点，
数值分析参考答案(第二章)
第二章插值法
1．当 时， ,求 的二次插值多项式。
解：
则二次拉格朗日插值多项式为
2．给出 的数值表
X
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
lnx
-0.916291
-0.693147
-0.510826
-0.356675
-0.223144
用线性插值及二次插值计算 的近似值。
解：由表格知，
若采用线性插值法计算 即 ，
则
若采用二次插值法计算 时，
3．给全 的函数表，步长 若函数表具有5位有效数字，研究用线性插值求 近似值时的总误差界。
解：求解 近似值时，误差可以分为两个部分，一方面，x是近似值，具有5位有效数字，在此后的计算过程中产生一定的误差传播；另一方面，利用插值法求函数 的近似值时，采用的线性插值法插值余项不为0，也会有一定的误差。因此，总误差界的计算应综合以上两方面的因素。
解：函数 的 展式为
其中
又 是次数为 的多项式
为 阶多项式
为 阶多项式
依此过程递推，得 是 次多项式
(完整版)数值分析课后习题答案
第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(1.2.4)有已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取，利用：式计算误差最小。
四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。
线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。
数值分析详细答案(全)
第二章 插值法习题参考答案2.)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0)(2+-+-⋅+------⋅-+-+-+⋅=x x x x x x x L3723652-+=x x . 3. 线性插值：取510826.0,693147.0,6.0,5.01010-=-===y y x x ，则620219.0)54.0()54.0(54.0ln 0010101-=-⋅--+=≈x x x y y y L ；二次插值：取510826.0,693147.0,916291.0,6.0,5.0,4.0210210-=-=-====y y y x x x ，则)54.0(54.0ln 2L ≈))(()54.0)(54.0())(()54.0)(54.0())(()54.0)(54.0(120210221012012010210x x x x x x y x x x x x x y x x x x x x y ----⋅+----⋅+----⋅=＝－0.616707 .6. i) 对),,1,0(,)(n k x x f k==在n x x x ,,,10 处进行n 次拉格朗日插值，则有)()(x R x P x n n k +=)())(()!1(1)(0)1(0n n ni k j j x x x x f n x x l --++=+=∑ ξ由于0)()1(=+ξn f，故有kni k j jxx x l≡∑=0)(.ii) 构造函数,)()(kt x x g -=在n x x x ,,,10 处进行n 次拉格朗日插值，有∑=-=ni j k j n x l t x x L 0)()()(.插值余项为 ∏=+-+=--nj j n n kx x n g x L t x 0)1()()!1()()()(ξ， 由于).,,2,1(,0)()1(n k g n ==+ξ故有 .)()()()(0∑=-==-ni j k j n kx l t x x L t x令,x t =即得 ∑==-ni j k jx l t x)()(.8. 截断误差].4,4[),)()((61)(2102-∈---=ξξx x x x x x e x R其中 ,,1210h x x h x x +=-= 则hx x 331+=时取得最大值321044392|))()((|max h x x x x x x x ⋅=---≤≤- .由题意， ,10)392(61|)(|6342-=⋅⋅≤h e x R所以，.006.0≤h16. ;1!7!7!7)(]2,,2,2[)7(71===ξf f .0!7)(]2,,2,2[)8(810==ξf f19. 采用牛顿插值，作均差表：i x)(i x f一阶均差 二阶均差0 1 20 1 11 0-1/2],,[))((],[)()()(210101000x x x f x x x x x x f x x x p x p --+-+=))()()((210x x x x x x Bx A ---++)2)(1()()2/1)(1(0--++--++=x x x Bx A x x x又由 ,1)1(,0)0(='='p p 得,41,43=-=B A 所以 .)3(4)(22-=x x x p第三章 函数逼近与计算习题参考答案4.设所求为()g x c =，(,)max(,),max (),min ()a x ba x bf g M c m c M f x m f x ≤≤≤≤∆=--==，由47页定理4可知()g x 在[],a b 上至少有两个正负交错的偏差点，恰好分别为()f x 的最大值和最小值处，故由1(),()2M c m c c M m -=--=+可以解得1()()2g x M m =+即为所求。
数值分析习题(含答案)
第一章 绪论XX 学号 班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字？〔有效数字的计算〕 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？〔有效数字的计算〕 解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取〔3.14109 , 3.14209〕之间的任意数，都具有4位有效数字。
3已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字？〔有效数字的计算〕解：3*1021-⨯≤-aa ，2*1021-⨯≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。
4设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？〔误差的计算〕 解：已知δ=-**xx x ，则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
常州大学数值分析作业—第二章
20.分别用Jacobi 迭代法、Gauss-seidel 迭代法解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=-+.122,1,122321321321x x x x x x x x x解：Jacobi 迭代法收敛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡133321x x x ，Gauss-seidel 迭代法不收敛。
27.编写LU 分解法、改进平方根法、追赶法的Matlab 程序，并进行相关数值实验。
3.将矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=1100110211100201A 进行Doolittle 和Crout 分解 解：Doolittle 分解：结果如下，程序见后面。
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==2.100015001110020112.000010200100001LU A Crout 分解：结果如下，程序见后面。
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-==1002.0100111002012.1100050200100001LU A 7.用改进平方根法解方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----000142002511013101144321x x x x 解：结果如下，程序见后面。
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡0256.00513.00769.02821.04321x x x x 8（2）.用追赶法求解方程组⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------00001210001210001210001210001254321x x x x x解：结果如下，程序见后面。
⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡1429.02413.02857.03571.04321x x x x%检验输入参数，初始化if nargin<2,error('more augments are needed');endif nargin<3,x0=zeros(size(b));endif nargin<4,delta=1e-13;endif nargin<5,max1=100;endif nargin>5,error('incorrect number of input');endn=length(b);x=0*b;flag=0;iternum=0;%用Jacobi迭代法解方程组for k=1:max1iternum=iternum+1;for i=1:nif abs(A(i,i))<epserror('A(i,i) equal to zero,divided by zero');endx(i)=(b(i)-A(i,[1:i-1,i+1:n])*x0([1:i-1,i+1:n]))/A(i,i); x(i)=(b(i)-A(i,[1:i-1,i+1:n])*x0([1:i-1,i+1:n]))/A(i,i);enderr=norm(x-x0);relerr=err/(norm(x)+eps);x0=x;if (err<delta)||(relerr<delta)flag=1;break;endendif flag==1disp('The Jacobi method converges.')x=x;elsedisp(['The Jacobi method does not converge with '...,num2str(max1),' iterations'])endA=[1 2 -2;1 1 1;2 2 1] b=[1;1;1]A =1 2 -21 1 12 2 1b =111 jacobi(A,b)The Jacobi method converges. ans =-331%检验输入参数，初始化if nargin<2,error('more augments are needed');end if nargin<3,x0=zeros(size(b));end if nargin<4,delta=1e-13;end if nargin<5,max1=100;endif nargin>5,error('incorrect number of input');end n=length(b);flag=0;iternum=0;%用Gauss-Seidel 迭代法解方程组 for k=1:max1iternum=iternum+1; x=x0;for i=1:nif abs(A(i,i))<epserror('A(i,i) equal to zero,divided by zero'); endx0(i)=(b(i)-A(i,[1:i-1,i+1:n])*x0([1:i-1,i+1:n]))/A(i,i); enderr=norm(x-x0);relerr=err/(norm(x0)+eps);if (err<delta)||(relerr<delta) flag=1; break ; end endif flag==1disp('The Gauss-seidel method converges.') x=x0; elsedisp(['The Gauss-seidel method does not converge with '... ,num2str(max1),' iterations']) end returngseid(A,b) The Gauss-seidel method does not converge with 100 iterations ans = 1.0e+31 * -9.1905 9.2222 -0.0634 A=[1 2 -2;1 1 1;2 2 1] b=[1;1;1] A = 1 2 -2 1 1 1 2 2 1 b = 1 1 1%检验输入参数，初始化b=size(A);n=b(1);if b(1)~=b(2)error('Matrix A should be a Square matrix.'); endif n~=rank(A)error('Matrix A should be FULL RANK.');endL=zeros(n,n);U=zeros(n,n);for i=1:nU(i,i)=1;end%将矩阵A进行Crout分解for k=1:nfor i=k:ntemp_sum=0;for t=1:k-1temp_sum=temp_sum+L(i,t)*U(t,k);endL(i,k)=A(i,k)-temp_sum;endfor j=k+1:ntemp_sum=0;for t=1:k-1temp_sum=temp_sum+L(k,t)*U(t,j);endU(k,j)=(A(k,j)-temp_sum)/L(k,k);endendreturnA=[1 0 2 0;0 1 1 1;2 0 -1 1;0 0 1 1]A =1 02 00 1 1 12 0 -1 10 0 1 1 [L,U]=Crout(A)L =1.0000 0 0 00 1.0000 0 02.0000 0 -5.0000 00 0 1.0000 1.2000 U =1.0000 02.0000 00 1.0000 1.0000 1.00000 0 1.0000 -0.20000 0 0 1.0000%检验输入参数，初始化b=size(A);n=b(1);if b(1)~=b(2)error('Matrix A should be a Square matrix.'); endif n~=rank(A)error('Matrix A should be FULL RANK.');endL=zeros(n,n);U=zeros(n,n);for i=1:nU(i,i)=1;end%将矩阵A进行Doolittle分解for k=1:nfor i=k:ntemp_sum=0;for t=1:k-1temp_sum=temp_sum+L(i,t)*U(t,k);endL(i,k)=A(i,k)-temp_sum;endfor j=k+1:ntemp_sum=0;for t=1:k-1temp_sum=temp_sum+L(k,t)*U(t,j);endU(k,j)=(A(k,j)-temp_sum)/L(k,k);endendreturnA=[1 0 2 0;0 1 1 1;2 0 -1 1;0 0 1 1]A =1 02 00 1 1 12 0 -1 10 0 1 1 [L,U]=Doolittle(A)L =1.0000 0 0 00 1.0000 0 02.0000 0 1.0000 00 0 -0.2000 1.0000 U =1.0000 02.0000 00 1.0000 1.0000 1.00000 0 -5.0000 1.00000 0 0 1.2000function [x]=improvecholesky(A,b,n)%检验输入参数，初始化L=zeros(n,n);D=diag(n,0);S=L*D;for i=1:nL(i,i)=1;endfor i=1:nfor j=1:nif (eig(A)<=0)|(A(i,j)~=A(j,i))disp('Matrix A should be a Positive-definite matrix.');break;endendendD(1,1)=A(1,1);%用改进平方根法解方程组for i=2:nfor j=1:i-1S(i,j)=A(i,j)-sum(S(i,1:j-1)*L(j,1:j-1)');L(i,1:i-1)=S(i,1:i-1)/D(1:i-1,1:i-1);endD(i,i)=A(i,i)-sum(S(i,1:i-1)*L(i,1:i-1)');endy=zeros(n,1);x=zeros(n,1);for i=1:ny(i)=(b(i)-sum(L(i,1:i-1)*D(1:i-1,1:i-1)*y(1:i-1)))/D(i,i); endfor i=n:-1:1x(i)=y(i)-sum(L(i+1:n,i)'*x(i+1:n));endreturnA=[4 1 -1 0;1 3 -1 0;-1 -1 5 2;0 0 2 4] b=[1;0;0;0]A =4 1 -1 01 3 -1 0-1 -1 5 20 0 2 4b =10 n=4[x]=improvecholesky(A,b,n)n =4x =0.2821-0.07690.0513-0.0256function [L,U,x]=pursue(a,b,c,f)n=length(b);u(1)=b(1);for i=2:nif(u(i-1)~=0)l(i-1)=a(i-1)/u(i-1);u(i)=b(i)-l(i-1)*c(i-1);elsebreak;endendL=eye(n)+diag(l,-1);U=diag(u)+diag(c,1);x=zeros(n,1);y=x;y(1)=f(1);for i=2:ny(i)=f(i)-l(i-1)*y(i-1);endif(u(n)~=0)x(n)=y(n)/u(n);endfor i=n-1:-1:1x(i)=(y(i)-c(i)*x(i+1))/u(i);enda=[1 -1 -1 -1];b=[2 2 2 2 2];c=[-1 -1 -1 -1];f=[1 0 0 0 0 ];[L,U,x]=pursue(a,b,c,f)L =1.0000 0 0 0 00.5000 1.0000 0 0 00 -0.4000 1.0000 0 00 0 -0.6250 1.0000 00 0 0 -0.7273 1.0000 U =2.0000 -1.0000 0 0 00 2.5000 -1.0000 0 00 0 1.6000 -1.0000 00 0 0 1.3750 -1.00000 0 0 0 1.2727 x =0.3571-0.2857-0.2143-0.1429。
常州大学数值分析课后习题答案第二章第三章第四章节资料
数值分析作业第二章1、用Gauss消元法求解下列方程组：2x1-x2+3x3=1,(1) 4x1+2x2+5x3=4,x1+2x2=7;(2) 解：A=[2 -1 3 1;4 2 5 4;1 2 0 7]n=size(A,1);x=zeros(n,1);flag=1;% 消元过程for k=1:n-1for i=k+1:nif abs(A(k,k))>epsA(i,k+1:n+1)=A(i,k+1:n+1)-A(k,k+1:n+1)*A(i,k)/A(k,k); elseflag=0;returnendendend% 回代过程if abs(A(n,n))>epsx(n)=A(n,n+1)/A(n,n);elseflag=0;returnendfor i=n-1:-1:1x(i)=(A(i,n+1)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n))/A(i,i); endreturnxA = 2 -1 3 14 25 41 2 0 7x = 9-1-611x1-3x2-2x3=3,(2)-23x1+11x2+1x3=0,x1+2x2+2x3=-1;(2) 解：A=[11 -3 -2 3;-23 11 1 0;1 2 2 -1]n=size(A,1);x=zeros(n,1);flag=1;% 消元过程for k=1:n-1for i=k+1:nif abs(A(k,k))>epsA(i,k+1:n+1)=A(i,k+1:n+1)-A(k,k+1:n+1)*A(i,k)/A(k,k);elseflag=0;returnendendend% 回代过程if abs(A(n,n))>epsx(n)=A(n,n+1)/A(n,n);elseflag=0;returnendfor i=n-1:-1:1x(i)=(A(i,n+1)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n))/A(i,i);endreturnxA = 11 -3 -2 3-23 11 1 01 2 2 -1x = 0.21240.5492-1.15544、用Cholesky分解法解方程组3 2 3 x1 52 2 0 x2 33 0 12 x3 7解：.A=[3 2 3;2 2 0;3 0 12];b=[5 3 7];lambda=eig(A);if lambda>eps&isequal(A,A')[n,n]=size(A);R=chol(A);%解R'y=by(1)=b(1)/R(1,1);if n>1for i=2:ny(i)=(b(i)-R(1:i-1,i)'*y(1:i-1)')/R(i,i);endend%解Rx=yx(n)=y(n)/R(n,n);if n>1for i=n-1:-1:1x(i)=(y(i)-R(i,i+1:n)*x(i+1:n)')/R(i,i);endendx=x';elsex=[];disp('该方法只适用于对称正定的系数矩阵!');endR= 1.7321 1.1547 1.73210 0.8165 -2.44950 0 1.7321y= 2.8868 -0.4082 0.5774x= 1.0000 0.5000 0.33335. 用列主元Doolittle分解法解方程组解：A=[3 4 5; -1 3 4; -2 3 -5;]; 3 4 5 X1 2 b=[2,-2 6]'; -1 3 4 X2 -2 [L,U,pv]=luex(A); -2 3 -5 X3 6y = L\b(pv);x = U\y结果如下：x = 11-114.已知，计算.解：A=[100 99;99 98];cond(A,inf)ans =3.9601e+04cond(A,2)ans =3.9206e+0427.编写LU分解法，改进平方根法，追赶法的Matlab程序，并进行相关数值试验。
数值分析第4章答案
第四章数值积分与数值微分1.确定下列求积公式中的特定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：h(1) h f (x)dx A 1f ( h) A0f (0) A1f(h);2h(2) 2h f(x)dx A1f ( h) A0 f (0) A1f(h);1(3) 1f(x)dx [f( 1) 2f(x1) 3 f ( x2)]/ 3; h2(4) 0f(x)dx h[ f (0) f(h)]/ 2 ah2[f (0) f (h)];解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1 次多项式就不准确成立，进行验证性求解。
h(1)若(1) f(x)dx A 1f( h) A0 f (0) A1f(h)令f (x) 1 ，则2h A 1 A0 A1令f (x) x ，则0 A 1h A1h2令f (x) x2，则23 2 2h3 h2A 1h2A13从而解得A04h031A11h31A 1 h13令f (x) x3，则hhf (x)dx x3dx 0hhA1f ( h) A0 f (0) A1f(h) 0h故f (x)dx A1f ( h) A0 f (0) A1f ( h)成立。
令f (x) x4，则h h4 25 f (x)dxx 4dx h 5hh 525 A 1f ( h) A 0 f (0) A 1f(h) h 53故此时，hf (x)dx A 1 f ( h) A 0 f(0) A 1 f(h)h故f (x)dx A 1f ( h) A 0 f (0) A 1f (h) 具有 3 次代数精度。
2h(2)若 f ( x)dx A 1f ( h) A 0 f (0) A 1f (h)令 f (x) 1 ，则4h A 1 A 0 A 1 令 f (x) x ，则 0A 1h A 1h令 f (x) x 2 ，则从而解得A 0 43hA 1 83h3令 f (x) x 3 ，则A 1f ( h) A 0 f (0) A 1f(h) 0 2h故 2h f(x)dx A 1f( h) A 0f (0) A 1f(h) 成立。
数值分析课后习题及答案
数值分析课后习题及答案第一章绪论（12）第二章插值法（40-42）2、当时，，求的二次插值多项式。
[解]。
3、给出的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144 [解]若取，，则，，则，从而。
若取，，，则，，，则，从而补充题：1、令，，写出的一次插值多项式，并估计插值余项。
[解]由，可知，，余项为，故。
2、设，试利用拉格朗日插值余项定理写出以为插值节点的三次插值多项式。
[解]由插值余项定理，有，从而。
5、给定数据表：，1 2 4 6 7 4 1 0 1 1 求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。
[解]一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商 1 42 1 -34 0 6 17 1 0 由差商表可得4次牛顿插值多项式为：，插值余项为。
第三章函数逼近与计算（80-82）26、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。
19 25 31 38 44 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8[解]由。
又，，，故法方程为，解得。
均方误差为。
27、观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t（秒）0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s（米）0 10 30 5080 110 [解]设直线运动为二次多项式，则由。
，。
又，，，故法方程为，解得。
故直线运动为。
补充题：1、现测得通过某电阻R的电流I及其两端的电压U如下表：I ……U ……试用最小二乘原理确定电阻R的大小。
[解]电流、电阻与电压之间满足如下关系：。
应用最小二乘原理，求R使得达到最小。
对求导得到：。
令，得到电阻R为。
2、对于某个长度测量了n次，得到n个近似值，通常取平均值作为所求长度，请说明理由。
[解]令，求x使得达到最小。
对求导得到：，令，得到，这说明取平均值在最小二乘意义下误差达到最小。
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数值分析作业第二章1、用Gauss消元法求解下列方程组：2x1-x2+3x3=1,(1) 4x1+2x2+5x3=4,x1+2x2=7;(2) 解：A=[2 -1 3 1;4 2 5 4;1 2 0 7]n=size(A,1);x=zeros(n,1);flag=1;% 消元过程for k=1:n-1for i=k+1:nif abs(A(k,k))>epsA(i,k+1:n+1)=A(i,k+1:n+1)-A(k,k+1:n+1)*A(i,k)/A(k,k); elseflag=0;returnendendend% 回代过程if abs(A(n,n))>epsx(n)=A(n,n+1)/A(n,n);elseflag=0;returnendfor i=n-1:-1:1x(i)=(A(i,n+1)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n))/A(i,i); endreturnxA = 2 -1 3 14 25 41 2 0 7x = 9-1-611x1-3x2-2x3=3,(2)-23x1+11x2+1x3=0,x1+2x2+2x3=-1;(2) 解：A=[11 -3 -2 3;-23 11 1 0;1 2 2 -1]n=size(A,1);x=zeros(n,1);flag=1;% 消元过程for k=1:n-1for i=k+1:nif abs(A(k,k))>epsA(i,k+1:n+1)=A(i,k+1:n+1)-A(k,k+1:n+1)*A(i,k)/A(k,k);elseflag=0;returnendendend% 回代过程if abs(A(n,n))>epsx(n)=A(n,n+1)/A(n,n);elseflag=0;returnendfor i=n-1:-1:1x(i)=(A(i,n+1)-A(i,i+1:n)*x(i+1:n))/A(i,i);endreturnxA = 11 -3 -2 3-23 11 1 01 2 2 -1x = 0.21240.5492-1.15544、用Cholesky分解法解方程组3 2 3 x1 52 2 0 x2 33 0 12 x3 7解：.A=[3 2 3;2 2 0;3 0 12];b=[5 3 7];lambda=eig(A);if lambda>eps&isequal(A,A')[n,n]=size(A);R=chol(A);%解R'y=by(1)=b(1)/R(1,1);if n>1for i=2:ny(i)=(b(i)-R(1:i-1,i)'*y(1:i-1)')/R(i,i);endend%解Rx=yx(n)=y(n)/R(n,n);if n>1for i=n-1:-1:1x(i)=(y(i)-R(i,i+1:n)*x(i+1:n)')/R(i,i);endendx=x';elsex=[];disp('该方法只适用于对称正定的系数矩阵!');endR= 1.7321 1.1547 1.73210 0.8165 -2.44950 0 1.7321y= 2.8868 -0.4082 0.5774x= 1.0000 0.5000 0.33335. 用列主元Doolittle分解法解方程组解：A=[3 4 5; -1 3 4; -2 3 -5;]; 3 4 5 X1 2 b=[2,-2 6]'; -1 3 4 X2 -2 [L,U,pv]=luex(A); -2 3 -5 X3 6y = L\b(pv);x = U\y结果如下：x = 11-114.已知，计算.解：A=[100 99;99 98];cond(A,inf)ans =3.9601e+04cond(A,2)ans =3.9206e+0427.编写LU分解法，改进平方根法，追赶法的Matlab程序，并进行相关数值试验。
解：LU分解法程序Function [L,U]=lup(A)%lup: LU factorization%Synopsis:[L,U]=lup(A)%Input: A=coefficient matrix%Output: L:lower triangular matrix% U upper triangular matrixFormat short[m,n]=size(A);If m~=n,error(`A matrix needs to be square`); EndPv=(1:n)`;%LU factorizationFor i=1:n-1Pivot=A（i,i）;For k=i+1;nA(k,i)=A(k,i)/pivot;A(k,i+1;n)=A(k,i+1;n)-A(k,i)*A(i,i+1;n); EndEndL=eye(size(A))+tril(A,-1);%extract L and UU=triu(A)改进平方根法程序Function[x]=ave(A,b,n)L=zeros(n,n);D=diag(n,0);S=L*D;For i=1:nL(i;i)=1;EndFor i=1;nFor j=1;nIf (eig(A)<=0)|(A(i,j)~=A(j,i))disp(`wrong`);Break;EndEndEndD(1,1)=A(1,1)；For i=2;nFor j=1;i-1S(i,j)=A(i,j)-sum(S(i,1;i-1)*L(j,1;j-1)`);L(i,1;i-1)=S(i,1;i-1)/D(1;i-1, 1;i-1);endD(i,i)=A(i,i)-sum(L(i,1;i-1)*L(i,1;i-1)`);EndD(i,i)=A(i,i)-sum(S(i,1;i-1)*D(1;i-1, 1;i-1)*y(1;i-1)))/D(i,i);Y=zeros(n,1);X=zero(n,1);For i=1;nY(i)=(b(i)-sum(L(i,1;i-1)*D(1;i-1, 1;i-1)*y(1;i-1)))/D(i,i); EndFor i=n;-1;1X(i)=y(i)-sum(L(i+1;n,i)`*x(i+1;n));End追赶法程序Function[x,L,U]=Thomas(a,b,c,f)N=length(b);%对A进行分解U(1)=b(1);For i=2;nIf(u(i-1)`=0)L(i-1)=a(i-1)/u(i-1);U(i)=b(i)-l(i-1)*c(i-1);ElseBreak;EndL=eye(n)+diag(1,-1);U=diag(u)+diag(c,1);X=zeros(n,1);Y=x;%?求解ly=b?Y(1)=f(1);For i=2;nY(i)=f(i)-l(i-1)*y(i-1);End%?求解Ux=y?If(u(n)`=0)X(n)=y(n)/u(n);EndFor i=n-1;-1;1X(i)=(y(i)-c(i)*x(i+1))/u（i）；End第三章1、设节点x0=0,x1=π/8,x2=π/4,x3=3π/8,x4=π/2,适当选取上述节点用Lagrange插值法分别构造cosx在区间[0, π/2]上的一次，二次和四次插值多项式P1(x)P2(x)和P4(x),并分别计算P1(x),P2(x),P4(x)其中X取π/3。
A=fliplr(A); Returnx = [π/8,3π/8]; y = cos(x); x0 = π/3;[A,Y] = lagrange(x,y,x0); P1 = vpa(poly2sym(A),3) YP1 =1.19x - 0.689 Y =0.4729 x0 = π/3;[A,Y] = lagrange(x,y,x0); P2=vpa(poly2sym(A),3) YP2 = x2 - 0.109x - 0.336 Y =0.5174x = [0,π/8,π/4,3π/8,π/2]; y= cos(x); x0 = π/3;[A,Y]=lagrange(x,y,x0); P4=vpa(poly2sym(A),3) YP4 =x4 + 0.00282x3 - 0.514x2 + 0.0232x + 0.0287 Y =0.50017.根据列表函数选取适当的节点，用逐次线性插值法给出三次多项式在2.8处的值。
答：Matlab 程序 function[T,y0]=aitken(x,y,x0,T0) if nargin==3 T0=[];endn0=size(T0,1);m=max(size(x));n=n0+m;T=zeros(n,n+1);T(1:n0,1:n0+1)=T0;T(n0+1:n,1)=x;T(n0+1:n,2)=y;if n0==0 i0=2;elsei0=n0+1;endfor i=i0:nfor j=3:i+1T(i,j)=fun(T(j-2,1),T(i,1),T(j-2,j-1),T(i,j-1),x0);endy0=T(n,n+1);returnfunction [y]=fun(x1,x2,y1,y2,x) y=y1+(y2-y1)*(x-x1)/(x2-x1); return%选取0、1、3、4四个节点，求三次插值多项式 x=[0,1,3,4];y=[0.5,1.25,3.5,2.75];x0=2.8;[T,y0]=aitken(x,y,x0)y0 =3.4190000000000008.根据上题中的列表函数，写出差商表，并写出Newton插值多项式N2（x）和N4（x）。
答：差商表：由Nn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)(x-x1)+…+an(x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)得(x) =0.5+0.75(x-0.00) + 0.375(x-0.0)(x-1.0)N2=0.375x2+0.375x+0.5N(x) =0.5+0.75(x-0.00) + 0.375(x-0.0)(x-1.0) - 0.25(x-0.0)(x-1.0) 4(x-2.0) + 0.03125(x-0.0)(x-2.0)(x-1.0)(x-3.0)=0.03125x4-0.4375x3+1.46875x2-0.3125x+0.516、选取适当的函数y=f(x)和插值节点，编写Matlab程序,分别利用Lagrange插值方法,Newton插值方法确定的插值多项式，并将函数y=f(x)的插值多项式和插值余项的图形画在同一坐标系中，观测节点变化对插值余项的影响。