试论微分的意义及文化价值

试论微分的意义及文化价值

【摘要】微分的作用主要是使人们获得了做近似计算的操作模式，在微分定义中，函数的

增量被写成了两部分：一部分是△x的线性部分，这是主要部分，是要保留的部分，另一部

分是△x的高阶无穷小，这是要去掉的部分，这样的作法有助于人们抓住事物的主要矛盾，

因而具有方法论的意义。

【关键词】近似计算线性主部函数微分高阶无穷小微元法

我们知道，生活中的估算、科学中的计算基本上是近似计算，要使计算比较精确，能达到人

们预期的效果，不是一件容易的事，这里既有度量所带来的误差，又存在计算的难度。特别

是当计算相当复杂时，要想得到精确值，几乎是一件不可能的事情。那么，摆在我们面前的

任务就是：①即使测量中有误差，但我们通过计算既可以求出结果，也可估计出结果的误差

限度，即绝对误差限和相对误差限；②复杂的计算对我们获得结果很不利，那么能否简化计算，使在简单的计算下既完成问题的答案，又能保证其精确度。

以上两点是在生产和科学的实际计算中经常遇到又不得不解决的问题。恐怕也是每一个解决

实际问题的人所遇到的最头疼、也可能是最棘手的问题，这时人们就会想尽一切办法来进行

估算或简化计算。如：对数与三角函数的计算，就曾消耗了人们很大的精力。也许对于一些

具体的问题，我们能找到某些特殊的途径来处理，但如果要寻找一个普遍适用的近似计算方法，可决不是轻而易举的事。

微积分的创立给我们提供了可能。微积分不仅在数学和科学中占有极其重要的地位，可以帮

助我们解决在近似计算中所出现的难题，更重要的是微积分开创了一块新天地，创造出了具

有方法论意义的新思想、新方法。这是我们的前辈们对人类所作的巨大贡献。无论是牛顿、

莱布尼茨还是同时代的其他数学家，他们以超人的智慧，对这种无穷小数学进行探究、研究，摸清了其本质意义，创造出了无矛盾的逻辑体系，真正实现了应用于科学计算的理想。

我们来分析微分定义：主要问题是研究当自变量发生改变时，求相应的函数的改变量为多少？为此若能把函数的增量写成两部分，即△y=f（x0+△x）-f（x0）=A△x+0（△x），其中△x前

一部分是△x的线性形式，后一部分表示x0的高阶无穷小，则称此函数在x0点可微，把△x

的线性形式即前一部分，叫做此函数的微分。分析此式可发现，微分所去掉的是函数增量中

较△x更高阶的无穷小，而微分本身的表达式是△x的线性形式，这也是计算中最简单的形式，因此，如果函数增量确实能分解为上面的形式，那将是很优越的结果。这就有助于我们在近

似计算中做出准确的取舍，当然这里所谓的准确性，其精确度肯定依赖于其误差|△x|的值，即只要|△x|不是太小，那微分与增量的差别就可能增大或很大，这样计算的误差一定很大。然而当|△x|很小时，其误差必定是△x的高阶无穷小。

当然，微分的这种近似计算只是一个非常粗浅的模型，在实际计算中的误差将会很大，所以

并不适用于高精度的科学计算，但这一种处理问题的办法却是革命性的，仔细捉摸把函数增

量所分成的两部分：第一部分是主干，也是极为简单的△x的线性函数；第二部分是０

（△x），即△x的高阶无穷小，这部分运算式往往是很复杂的。微分就取其第一部分，而去

掉的量从理论上说是高阶无穷小量，是微不足道的。这种方法的创立，决不仅仅是为了解决

几个数学问题，而是具有方法论的意义。这正是体现了辩证法中的抓主要矛盾的思想。就是

在一个问题中善于抓住主流、主干，而忽略支叶的思想。当然这种思想也就是莱布尼茨微分

的主要思想。事实上欧拉关于无穷小阶的思想更有效实用。

由微分的意义所导致的微分的思想方法给人类解决问题带来了革命性的变化，这种变化主要

表现在两个方面：

其一，是泰勒级数以及新学科数值分析的发展，事实上微分就是泰勒级数的特例。这给人们

进行高精度的近似计算提供了极大的方便。如对数函数、指数函数、三角函数等的计算，由

于有了精确的泰勒级数，使得计算可以达到我们所要求的任何精度。这显然是对科学计算的

极大支持，尤其是计算机的高速发展，使得计算忽然变成了一件简单的事情。就是这在今天

看来极其简单的事情，在微积分出现以前的十五、六世纪，却是一件非常难的任务，如雷蒂

库斯推算详细的三角函数表，制作每隔10的正弦、正切及正割表。当时全凭手算，雷蒂库

斯和他的助手勤奋工作达12年之久，直到死后才由他的弟子奥托完成。

其二，由微分概念所产生的“微元法”及其思想，由于解决问题方法的简捷性、先进性和巧妙性，使积分的计算变得简单，并引起了许多新型学科的产生和发展，如微分方程、微分几何，还有在数学建模中，都是非常有用和适用的。但其中无穷小的阶的思想却是其中的关键问题。对此大数学家欧拉的理解与贡献是很大的。

当然，人类在解决实际问题的过程中，也经常会判别事情的大小与轻重，选择抓事物的主要

矛盾，舍小取大。但此处的大小与微分概念中的意义往往是截然不同的，因为微分定义中把

函数的增量写成两部分，这两部分是不同阶的无穷小，其中舍弃的是更高阶的无穷小，而不

是通常我们所说的很小或很小很小。这两者之间存在本质的差别，因此微分的方法论意义就

显得更加深远。

人类的认识过程总是渐近的，从模糊的、朦胧的认识出发，经过千百次的碰壁、失败，在不

断的调整和修正中慢慢地清晰、深化，进而得到一个完美的概念系统。微分就是这样的概念

系统。由微分发展起来的许多新型学科在科学领域中发挥着越来越大的作用，正是体现了微

分的价值和意义。

当我们重新审视微分与导数时会发现，导数是抽取了大量实际问题的共性——平均变化率的

极限，其本身就是一个高度抽象的形式化表达式，是一个纯粹符号化的公式。也就是说，导

数定义本身并没有实际意义，只有给它赋予具体的几何或物理的含义时才有明显的实际意义。但正是由于导数的高度抽象性，使其在实际问题中的应用极其广泛，利用导数我们可以解决

很多的实际问题。然而微分不同，微分定义本身就有许多值得我们思考的东西，这里既有解

决实际问题的思考办法，具有方法论的意义，又含有深刻的哲学思想，能给人回味无穷的遐想。这是一个很好的数学教育的课题。

因此，我们在教学中所要揭示的就不应该仅仅是对其定义的粗浅理解及与导数的等价性，我

们更应关注微分概念所要揭示的事实和其丰富的内涵。当然，这是一个渐近的过程，需要逐

步加深理解，这种概念通过一节或几节课的教学是很难让学生掌握的，需要教师对微分概念

的渗透有一个长期的、合理的、整体的安排。

参考文献

１[美]波耶.微积分概念发展史[M].上海：复旦大学出版社，2007