圆锥曲线关于面积的最大值

面积的最大值

(2012·高考北京卷)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个顶点为A (2，0)，离心率为2

2，直线y ＝k (x －1)与椭圆C

交于不同的两点M ，N .

(1)求椭圆C 的方程； (2)当△AMN 的面积为10

3

时，求k 的值．

21.（本小题满分14分）

已知椭圆方程为)0(12222>>=+b a b

y a x ，它的一个顶点为)1,0(M ，离心率36

=e ．（1）求椭圆的方程；（2）

设直线l 与椭圆交于A ，B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2

，求△AOB 面积的最大值．

20．(2013课标全国Ⅱ，理20)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：22

22=1x y a b

+(a ＞b ＞0)右焦点的直线0

x y +=交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为1

2

.

(1)求M 的方程；

(2)C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD ⊥AB ，求四边形ACBD 面积的最大值．

23．已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴，y 轴上运动，且|AB |＝8，动点P 满足AP ＝3

5

PB ，设点P 的轨迹为

曲线C ，定点为M (4,0)，直线PM 交曲线C 于另外一点Q . (1)求曲线C 的方程； (2)求△OPQ 面积的最大值．

20.【2012高考真题浙江理21】(本小题满分15分)如图，椭圆C ：22

22+1x y a b

=(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，

1)O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．

(Ⅰ)求椭圆C 的方程；

(Ⅱ) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程．

24.【2012高考真题广东理20在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>的离心率e=

2

3

，且

椭圆C上的点到Q（0，2）的距离的最大值为3.

（1）求椭圆C的方程；

（2）在椭圆C上，是否存在点M（m,n）使得直线l：mx+ny=1与圆O：x2+y2=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及相对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

9. (2008湖北文)已知双曲线

22

22

:1(0,0)

x y

C a b

a b

-->>的两个焦点为:(2,0),:(2,0),7)

F F P

-点的曲线C上.

（Ⅰ）求双曲线C的方程；

（Ⅱ）记O为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，若△OEF的面积为2,求直线l的方程

10. (2008湖北理)如图，在以点O为圆心，|AB|=4为直径的半圆ADB中，OD⊥AB，P是半圆弧上一点，

∠POB=30°，曲线C是满足||MA|-|MB||为定值的动点M的轨迹，且曲线C过点P.

（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

（Ⅱ）设过点D的直线l与曲线C相交于不同的两点E、F.

若△OEF的面积不小于

．．．．

2，求直线l斜率的取值范围.

18．(2008全国Ⅱ卷文、理)设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．

（Ⅰ）若6ED DF =，求k 的值；

（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．

23．已知O 为坐标原点，点A 、B 分别在x 轴，y 轴上运动，且|AB |＝8，动点P 满足AP ＝3

5

PB ，设点P 的轨迹为

曲线C ，定点为M (4,0)，直线PM 交曲线C 于另外一点Q . (1)求曲线C 的方程； (2)求△OPQ 面积的最大值．

22、解：(1)设A (a,0)，B (0，b )，P (x ，y )， 则AP ＝(x －a ，y )，PB ＝(－x ，b －y )，

∵AP ＝3

5PB ，∴⎩⎨⎧

x －a ＝－3

5x ，

y ＝3

5(b －y ).

∴a ＝85x ，b ＝8

3

y .

又|AB |＝

a 2＋

b 2＝8，∴

x 225＋y 29＝1. ∴曲线C 的方程为x 225＋y 2

9

＝1. (2)由(1)可知，M (4,0)为椭圆x 225＋y 2

9＝1的右焦点， 设直线PM 方程为x ＝my ＋4，

由⎩⎪⎨⎪⎧

x 2

25＋y 2

9＝1，x ＝my ＋4，

消去x 得(9m 2＋25)y 2＋72my －81＝0，

∴|y P －y Q |＝(72m )2＋4×(9m 2＋25)×819m 2＋25＝90m 2＋1

9m 2＋25

.

∴S △OPQ ＝12|OM ||y P －y Q |＝2×90m 2＋19m 2＋25＝20m 2＋1m 2＋259＝20m 2＋1m 2＋1＋169＝20

m 2＋1＋

169m 2＋1

≤2083

＝152， 当m 2＋1＝16

9m 2＋1， 即m ＝±73时，△OPQ 的面积取得最大值为15

2

，此时直线方程为3x ±7y －12＝0.

20.【2012高考真题浙江理21】(本小题满分15分)如图，椭圆C ：22

22+1x y a b

=(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，

1)的距离为10．不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．

(Ⅰ)求椭圆C 的方程；

(Ⅱ) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程． 【答案】(Ⅰ)由题：1

2

c e a =

=； (1) 左焦点(﹣c ，0)到点P (2，1)的距离为：22(2)1d c =++=10 (2) 由(1) (2)可解得：222431a b c ===，，． ∴所求椭圆C 的方程为：22

+143

x y =．

(Ⅱ)易得直线OP 的方程：y ＝12x ，设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，R (x 0，y 0)．其中y 0＝12

x 0． ∵A ，B 在椭圆上， ∴22

02

2

0+12333

43

4422

+14

3A A A B A B AB A B A B B B x y x y y x x k x x y y y x y ⎧=⎪-+⎪⇒=

=-⨯=-⨯=-⎨-+⎪=⎪⎩．

设直线AB 的方程为l ：y ＝﹣32

x m +(m ≠0)，

代入椭圆：22

22+143

333032

x y x mx m y x m ⎧=⎪⎪⇒-+-=⎨

⎪+⎪⎩＝-．

显然222(3)43(3)3(12)0m m m ∆=-⨯-=->． 12m 12m ≠0．