金属塑性加工原理：第五章主应力法及其应用

第五章 主应力方法
第一讲 平面问题主应力法
第一讲 平面问题主应力法
主应力法基本原理 平行砧板镦粗问题 倾斜砧板镦粗问题
主应力法的基本原理
塑性力学分析的目的
1.确定变形力(功),合理选用设备、设计模具、制定工 艺
2.分析金属流动规律，合理选用毛坯尺寸、设计型腔
主应力法的基本原理
塑性力学分析的基本方法
xh ( x d x )[h (tan tan )dx]
dx cos dx cos
cos
cos
u
dx
cos
sin
l
dx
cos
sin
0
整理
xh ( x d x )[h (tan tan )dx] 2dx u tandx l tan dx 0
倾斜砧板问题
α,β 使 流 道 变 宽 为 正，且 tan(- α)=-tan(α)
倾斜砧板问题
倾斜砧板问题
❖ 平衡方程
xh ( x d x )[h (tan tan )dx]
dx cos cos
u
dx cos
sin
dx cos cos
l
dx cos
sin
❖ 平衡方程
倾斜砧板问题
代入 u y tan l y tan
x (tan tan )dx hd x 2dx y tandx tan2 dx y tan dx tan2 dx 0
x (tan tan )dx hd x 2dx y (tan tan )dx (tan2 tan2 )dx 0
0
mKxe h
ye
平行砧板问题
❖ 讨论分析
无摩擦时(τ=0),如
y
2mK h
( xe
x)
ye
直线mn所示。 σy=2K
1. 若xe为相邻变形区边界，则σye, σy,由边界条Δ增g件加m定n值为；。τ引起的σy
2. 若xe为自由表面，σxe=0,则σye=2K。
当x=xe时， y ye 2K (
x
x
yx
y
0
xy
y
0
x y
主应力法的基本原理
主应力方法的基本假设
1. 把问题简化成平面问题或轴对称问题；或看成两者的拼合；
2. 根据金属的流动趋向和选取的坐标系，对变形体截取包括接触面在 内的基元体，切面上的应力假设为主应力，且均匀分布（与一坐标 轴无关），则平衡微分方程由两个变为一个，偏微分方程变为常微 分方程；
倾斜砧板问题
❖ 平衡方程简化
1. 把问题简化成平面问题或轴对称问题；或看成两者的拼合；
主应力法的基本原理
主应力方法的基本假设
1. 把问题简化成平面问题或轴对称问题；或看成两者的拼合；
2. 根据金属的流动趋向和选取的坐标系，对变形体截取包括接触面在 内的基元体，切面上的应力假设为主应力，且均匀分布（与一坐标 轴无关），则平衡微分方程由两个变为一个，偏微分方程变为常微 分方程；
3. 忽略摩擦切应力的影响，认为基元体上的应力为主应力，塑性条件简化。
平面应变： ( x
y )2
4
2 xy
4K 2
x y 2K
主应力法：以主应力表示的近似平衡方程与近似塑性 条件联解以求接触面上应力分布的一种方法。
主应力法的基本原理
主应力方法的本质
主应力法又称切块法、切片法、切条法
实质：平衡微分方程和塑性条件联解
ij 0
x j
f ( ij ) C
主应力方法的适用范围
镦粗型流动：金属流动方向⊥模具运动方向；
挤压型流动：金属流动方向∥模具运动方向。
平行砧板问题
❖ 例一
例一：平行砧板间的平面应变镦粗 设 mK , K Y / 3
求：变形力和平均应力
平行砧板问题
❖ 列平衡方程
对基元板块，列平衡方程：
Px xlh ( x d x )lh 2ldx 0
2 Y) 3
x=0
时，
y
2mKxe h
ye
m
gy
n
2K
b
平行砧板问题
❖ 讨论分析
➢与材料有关
➢与摩擦系数有关
p
mKxe h
ye
➢与边界条件有关 ➢与几何形状有关
宽度b,高度h的工件平面自由镦粗时：
y
2 K [1
m (b h2
x)]
p 2K (1 m b) 4h
❖ 角度定义
倾斜砧板问题
为了使推导的σy和p 的计算公式适合于 所有类型，规定α,β 的正负号：
ij 0 （3个）
x j
f ( ij ) C （1个）
dij d ij '
（6个）
dij
1 2
(dui x j
)
(du xi
j
)
（6个）
未知量： ij , dij , dui 共15 个
各方程不完全独立，且为偏微分方 程，无足够边界条件，不可解。
主应力法的基本原理
主应力方法的基本假设
xh ( x d x )h 2 dx 0
整理
d
x
2
h
dx
平行砧板问题
❖ 带入近似屈服条件
d
x
2
h
dx
由近似塑性条件： y x 2K
得 d x d y
d y
2
h
dx
2mK h
dx
平行砧板问题
❖ 求解微分方程
d y
2
h
dx
2mK h
dx
y
2mK h
x
C
当x xe时, y ye ,
略去高阶微量
xh xh x (tan tan )dx d xh d x (tan tan )dx 2dx u tandx l tan dx 0
x (tan tan )dx d xh 2dx u tandx l tan dx 0
倾斜砧板问题
❖ 平衡方程简化 x (tan tan )dx d xh 2dx u tandx l tan dx 0
❖ 局部平衡条件
由静力平衡关系：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱPy=0
ydx
sin( ) dx cos
u
cos
dx
cos
0
y tan u 0
u y tan 同理： l y tan
且h hb (tan tan )x
u
y dx
倾斜砧板问题
❖ 平衡方程简化
xh ( x d x )[h (tan tan )dx] 2dx u tandx l tan dx 0
则
ye
2mK h
xe
C
C
ye
2mK h
xe
得：
y
2mK h
( xe
x)
ye
平行砧板问题
❖ 平均流动应力
y
2mK h
( xe
x)
ye
单位流动压力：
p P 1
A xe
xe 0
y dx
1 xe
xe 0
[ 2mK h
( xe
x)
ye ]dx
1 xe
mK h
(2 xe
x
x2
)
|xe
0
1 xe
ye
|xe