连续介质力学-第四章1
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第四章 连续介质力学的基本原理
l 连续介质的运动应满足自然界的普遍规律 ，为质量守恒、动量守恒、动量矩守恒、能量 守恒以及热力学的基本定律，将这些物理普遍 规律以数学形式表达出来是本章的任务。
l 按表达形式可分成； ★ 积分型方程：在一个有限的域中表达
物理量的关系；—容许物理量可以有某种间断 存在。
• 控制体：相对于参考坐标系固定不变的某 体积内包含的流体。 • 控制体的形状、大小都不变； • 控制体的边界上可有质量的交换－开系统 • 讨论有限体积的流体在运动过程中遵循的 基本规律。
★输运公式
对于闭系统，物理量 在质量体（有限体
积）V*(t)内的总量是：I dV*
V*(t)
12
其物质（随体）导数的定义是质量体内物理量 总和对时间的变化率，即：:
V*
( t
V ) dV
* V dV
V*
*
V*
( t
V V ) dV
*
V*
[
t
( V )] dV
*
V*
(
t
) dV
* ( V ) dV
V*
*
V*
( t
) dV
*
n
V dA
A*
V*
( t
) dV
*
(
n
V
)
dA
A*
14
在t0时刻，V*与控制体的体积相重合，故有：
d2 Vd2xd2yd2z
9
为比较，均按变量转换原则，统一用 da1da2 da3
为积分变量。
即：
d1V((ax11ay21az13))d1ad2ad3a
dV 2((xa2 1ay22az32))d1ad2ad3a
其中
(x1 y1 z1 ) (a1 a2 a3 )
和 ( x2 y2 z2 )为Jacobi行列式， (a1 a2 a3 )
位时间内外界对系统所作的动和传人系统的热
量之和.
D D E tD DVt*(eV 22)d* VW Q
W
FVdV
PVdA
V
A
Q
qdV
V
A
TdA n
6
q：单位时间,单位质量吸收的外界的热量；
(体积热源，如：辐射热,生成热) 规定热量从 系统外传入系统内为正，否则热量从系统内
传出系统外，则为负。
D D D D I tV * td* V V *D (D d * V t ) V *D D d * t V V *D ( D d * V t)
注意到散度的概念（单位体积的变形率 ），
有：
D(dV *)dV*(V) Dt
13
D D D D I t V * td* V V *D (D d * V t ) V *D D d * t V V *D ( D d * V t)
3. 性质：
l质量体的边界面形状将随时间变化（可以发生
运动 、变形等）
l 边界面上无质量交换——热力学中的闭系统
l边界上可存在力的作用以及能量（热，动）的
交换；
2
（二）质量体(闭系统）上的守恒律描述—— 经典力学守恒律描述。
1.质量守恒： 原理：若不存在质量源(汇), 则质量体（闭系 统）内的总质量不随时间而变化(物质不灭定律
定义为：
10
x y z
a1 a1 a1
(x J
y
z)
x
y
z
(a1 a2 a3 ) a2 a2 a2
x y z
a3 a3 a3
1J1d1d a2d a3a பைடு நூலகம்J2d1d a2d a3a
V 0
V 0
1J12J2const
若取t1为初始时刻（t=0）, 则 J1=1 所以：
0 J 11
§4－2 Euler 座标中的基本原理描述
而在 t2 时刻，流体的封闭面为A2 ， 体积为Γ2
在Lagrange描述中,采用变量是 a1a2a3t 则在时刻 t1
其位置 x1 f1 (a1 a2 a3 t1 )
y1 f 2 (a1 a2 a3 t1 )
z1 f3 (a1 a2 a3 t1 )
a1a2a3 分别为质点在时刻 t 0 的位置. 同样在时刻 t 2
T ndAq n dA
上式表示通过微元边界面的传导热。 q 为热
通量矢量。右边多的一个负号是由于规定边
界的外法向为正，而规定系统获得热量为正
7
★Lagrange 坐标系中的连续方程
t 在Lagrange坐标系中，考察同一个流体微团,在时刻 1 和 t 时刻 2 的两个位置：
1．在 t 1 时刻 , 流体的封闭面为A1，体积为Γ1
D DItD D V *td * V V td V A(n V )dA
结论：任一瞬时，质量体内物理量的物质导数 等于该瞬时形状、体积相同的控制体内物理量 的局部导数与通过该控制体表面的输运量之和 ――输运公式。
利用输运公式可以在Euler描述的时空坐标系中 建立对有限域内的基本守恒律(积分型方程)以 及微元体内的基本守恒律(微分型方程).
★微分型方程：表达微元体的物理量关系 ;严格地讲要求物理量处处是可导的;
1
§4－1 Lagrange 座标中的基本原理描述
（一）质量体（系统）的概念
1. 定义：由确定的质点所组成的质点集合；
流场中闭合流面所包含的全部流体质点（微团）
；
2. 边界面；质量体（或系统）用真实的或假想的
边界，将选定的质量体与外界分隔开。
) m dV*
V*
D Dm tD DtV*dV*0
D
Dt 为物质（随体）导数
3
2.动量守恒律：动量方程;
原理：系统总动量 K对时间的变化率等于该瞬时
系统所受外力的合力。
K V d m V dV *
M
V*
D D K t F D D V * tV d * V V *F d * V A * P d* A
4
3.动量距守恒-动量距方程 系统对某一定点O的动量距 M 0 随时间的变化
率等于系统所受外力对同一点的合力矩。
D D M 0 D D t V *r t V d* V V *r F d* V A * r P d* A
5
4.能量守恒律(热力学第一定律) 系统总能量E(动能+内能)随时间的变化率=单
x2 f1 (a1 a2 a3 t2 )
y2 f 2 (a1 a2 a3 t2 )
z2 f3 (a1 a2 a3 t2 )
质点的密度在时刻t1 , t 2 分别为 1, 2
8
根据质量守恒定理，对于无源流场：
Dm D dV*0
Dt DtV*
即： 1dV12dV2
V1
V2
其中
d1Vd1xd1yd1z
l 连续介质的运动应满足自然界的普遍规律 ，为质量守恒、动量守恒、动量矩守恒、能量 守恒以及热力学的基本定律，将这些物理普遍 规律以数学形式表达出来是本章的任务。
l 按表达形式可分成； ★ 积分型方程：在一个有限的域中表达
物理量的关系；—容许物理量可以有某种间断 存在。
• 控制体：相对于参考坐标系固定不变的某 体积内包含的流体。 • 控制体的形状、大小都不变； • 控制体的边界上可有质量的交换－开系统 • 讨论有限体积的流体在运动过程中遵循的 基本规律。
★输运公式
对于闭系统，物理量 在质量体（有限体
积）V*(t)内的总量是：I dV*
V*(t)
12
其物质（随体）导数的定义是质量体内物理量 总和对时间的变化率，即：:
V*
( t
V ) dV
* V dV
V*
*
V*
( t
V V ) dV
*
V*
[
t
( V )] dV
*
V*
(
t
) dV
* ( V ) dV
V*
*
V*
( t
) dV
*
n
V dA
A*
V*
( t
) dV
*
(
n
V
)
dA
A*
14
在t0时刻，V*与控制体的体积相重合，故有：
d2 Vd2xd2yd2z
9
为比较，均按变量转换原则，统一用 da1da2 da3
为积分变量。
即：
d1V((ax11ay21az13))d1ad2ad3a
dV 2((xa2 1ay22az32))d1ad2ad3a
其中
(x1 y1 z1 ) (a1 a2 a3 )
和 ( x2 y2 z2 )为Jacobi行列式， (a1 a2 a3 )
位时间内外界对系统所作的动和传人系统的热
量之和.
D D E tD DVt*(eV 22)d* VW Q
W
FVdV
PVdA
V
A
Q
qdV
V
A
TdA n
6
q：单位时间,单位质量吸收的外界的热量；
(体积热源，如：辐射热,生成热) 规定热量从 系统外传入系统内为正，否则热量从系统内
传出系统外，则为负。
D D D D I tV * td* V V *D (D d * V t ) V *D D d * t V V *D ( D d * V t)
注意到散度的概念（单位体积的变形率 ），
有：
D(dV *)dV*(V) Dt
13
D D D D I t V * td* V V *D (D d * V t ) V *D D d * t V V *D ( D d * V t)
3. 性质：
l质量体的边界面形状将随时间变化（可以发生
运动 、变形等）
l 边界面上无质量交换——热力学中的闭系统
l边界上可存在力的作用以及能量（热，动）的
交换；
2
（二）质量体(闭系统）上的守恒律描述—— 经典力学守恒律描述。
1.质量守恒： 原理：若不存在质量源(汇), 则质量体（闭系 统）内的总质量不随时间而变化(物质不灭定律
定义为：
10
x y z
a1 a1 a1
(x J
y
z)
x
y
z
(a1 a2 a3 ) a2 a2 a2
x y z
a3 a3 a3
1J1d1d a2d a3a பைடு நூலகம்J2d1d a2d a3a
V 0
V 0
1J12J2const
若取t1为初始时刻（t=0）, 则 J1=1 所以：
0 J 11
§4－2 Euler 座标中的基本原理描述
而在 t2 时刻，流体的封闭面为A2 ， 体积为Γ2
在Lagrange描述中,采用变量是 a1a2a3t 则在时刻 t1
其位置 x1 f1 (a1 a2 a3 t1 )
y1 f 2 (a1 a2 a3 t1 )
z1 f3 (a1 a2 a3 t1 )
a1a2a3 分别为质点在时刻 t 0 的位置. 同样在时刻 t 2
T ndAq n dA
上式表示通过微元边界面的传导热。 q 为热
通量矢量。右边多的一个负号是由于规定边
界的外法向为正，而规定系统获得热量为正
7
★Lagrange 坐标系中的连续方程
t 在Lagrange坐标系中，考察同一个流体微团,在时刻 1 和 t 时刻 2 的两个位置：
1．在 t 1 时刻 , 流体的封闭面为A1，体积为Γ1
D DItD D V *td * V V td V A(n V )dA
结论：任一瞬时，质量体内物理量的物质导数 等于该瞬时形状、体积相同的控制体内物理量 的局部导数与通过该控制体表面的输运量之和 ――输运公式。
利用输运公式可以在Euler描述的时空坐标系中 建立对有限域内的基本守恒律(积分型方程)以 及微元体内的基本守恒律(微分型方程).
★微分型方程：表达微元体的物理量关系 ;严格地讲要求物理量处处是可导的;
1
§4－1 Lagrange 座标中的基本原理描述
（一）质量体（系统）的概念
1. 定义：由确定的质点所组成的质点集合；
流场中闭合流面所包含的全部流体质点（微团）
；
2. 边界面；质量体（或系统）用真实的或假想的
边界，将选定的质量体与外界分隔开。
) m dV*
V*
D Dm tD DtV*dV*0
D
Dt 为物质（随体）导数
3
2.动量守恒律：动量方程;
原理：系统总动量 K对时间的变化率等于该瞬时
系统所受外力的合力。
K V d m V dV *
M
V*
D D K t F D D V * tV d * V V *F d * V A * P d* A
4
3.动量距守恒-动量距方程 系统对某一定点O的动量距 M 0 随时间的变化
率等于系统所受外力对同一点的合力矩。
D D M 0 D D t V *r t V d* V V *r F d* V A * r P d* A
5
4.能量守恒律(热力学第一定律) 系统总能量E(动能+内能)随时间的变化率=单
x2 f1 (a1 a2 a3 t2 )
y2 f 2 (a1 a2 a3 t2 )
z2 f3 (a1 a2 a3 t2 )
质点的密度在时刻t1 , t 2 分别为 1, 2
8
根据质量守恒定理，对于无源流场：
Dm D dV*0
Dt DtV*
即： 1dV12dV2
V1
V2
其中
d1Vd1xd1yd1z